Случайные события

Выполнил:
Ученик 9 «А» класса
Шраер Семен
Учитель: Дюпина Е.А.

Куб

Тетраэдр

Число граней: 6

Число граней: 4

Игральная кость

Колода карт

Набор костяшек
домино

Типы событий

Невозможные

Достоверные

Случайные

Под событием понимают любое явление, которое происходит или не происходит. Событиями являются и результаты экспериментов (опытов), наблюдений и измерений, производимых людьми.

Совместные
Несовместные

Равновозможные

Невозможным называют событие, которое в данных условиях произойти не может.

- Вода в реке Волге замерзла при температуре +25 градусов Цельсия

Достоверным называют событие, которое в данных условиях обязательно произойдет.

- После четверга наступила пятница

Случайным называют событие, которое в данных условиях может произойти, а может и не произойти.

- При телефонном звонке абонент оказался занят

Совместными называют события, которые в данных условиях могут происходить одновременно

«Пошел дождь» и «наступило утро»
«Во вторник в 8 лицее прозвенел звонок на 1 урок» и «У 11В началась химия»

Несовместными называют события, которые не могут происходить одновременно

«Наступила ночь» и «Наступило утро»
«Стрелок попал точно в цель» и «Стрелок промахнулся» при одном выстреле

«Появление орла» и «Появление решки» при одном бросании монеты

В данном случае нет оснований полагать, что в наступлении одного из событий есть какое-то преимущество. Такие событие называются Равновозможными

«Падение бутерброда маслом вверх» и «Падение бутерброда маслом вниз» при одном падении бутерброда.

Бутерброд чаще падает маслом вниз из-за смещения центра тяжести. Поэтому данные события называются неравнозможными.

Каким является событие? Невозможным, достоверным или случайным?
а) из 25 учащихся класса двое справляют день рождения 30 января
б) все учащиеся класса справляют день рождения 30 января



Какие события являются совместными, а какие – несовместными? Катя играет в шахматы со Славой
а) Катя выиграла; Слава проиграл
б) Катя проиграла; Слава проиграл

Вероятность события

Долю успеха того или иного события математики называют вероятностью этого события и обозначают буквой Р (по первой букве латинского слова probabilitas – вероятность)

Если обозначить событие «выпало 6 очков при одном бросании игральной кости» буквой А, то вероятность запишем Р(А)=1/6.

Вероятность события

Элементарные события (исходы) – попарно несовместные события, одно из которых обязательно происходит в результате испытания.
Часто используется понятие благоприятствующих событию исходов и всех возможных исходов.

Если в некотором испытании существует n равновозможных элементарных событий (исходов) и m из них благоприятствуют событию А, то вероятностью наступления события А называют отношение m/n и записывают

Р(А)= 𝑚 𝑛 𝑚𝑚 𝑚 𝑛 𝑛𝑛 𝑚 𝑛

Пример

Найти вероятность появления при одном бросании игральной кости числа очков, большего 4.

Пример

Найти вероятность появления при одном бросании игральной кости числа очков, большего 4.

Событию А – «появление числа очков, большего 4», благоприятствуют 2 исхода (появление 5 и появление 6 очков), т.е. m=2. Число всех равновозможных исходов n=6, поэтому
P(A) = 𝑚 𝑛 𝑚𝑚 𝑚 𝑛 𝑛𝑛 𝑚 𝑛 = 2 6 2 2 6 6 2 6 = 1 3 1 1 3 3 1 3

Если событие А невозможное, то не существует исходов, благоприятствующих его появлению, т.е. m=0. Тогда P(A) = 0

Если событие А случайное, то число m благоприятствующих его появлению исходов удовлетворяет условию 00 < P(A) < 1

Таким образом, для вероятности Р(А) любого события А справедливы неравенства
0 ≤ P(A) ≤ 1

Решение вероятностных задач с помощью комбинаторики

Необходимо помнить правило произведения!

Если существует n вариантов первого элемента и для каждого из них есть m вариантов выбора второго элемента, то существует n*m различных пар с выбранными первым и вторым элементами.

Пример

Брошены 2 игральные кости: одна белого, другая красного цвета. Какова вероятность того, что на белой кости выпадет 6 очков, а на красной – нечетное число очков?

Пример

В ящике имеется 3 одинаковых по размеру кубика: два черных (ч1 и ч2) и один белый (б). Вытаскивая кубики наугад один за другим, их ставят последовательно на стол. Какова вероятность того, что сначала будут вынуты два черных кубика, а последним – белый?

исходы

ч1

ч2

б

ч2

б

ч1

б

ч1

ч2

б

ч2

б

ч1

ч2

ч1

ч1бч2

ч2бч1

бч1ч2

бч2ч1

Сложение и умножение вероятностей

Сложение вероятностей

Суммой событий А и В (которые могут произойти в одном испытании) называется событие А+В, которое состоит в том, что происходит хотя бы одно из этих событий

Теорема!
Вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий:
P (A+B) = P (A) + P (B)

Для каждого события А можно рассматривать противоположное ему событие А А А , которое наступает тогда, когда не наступает событие А.

Очевидно, что событие А + А А А образует достоверное событие, поэтому P (А + А А А ) = 1

Применив теорему:
P (А + А А А ) = P (A) + P ( А А А ) = 1

Пример

Какова вероятность того, что сумма очков, выпавших на двух игральных костях (в результаты одного броска), будет не меньше 4.

Решение
Пусть событие А – сумма выпавших на двух костях очков оказалась не меньше 4, тогда событие А А А - сумма выпавших очков меньше 4 (т.е. сумма равна либо 2, либо 3). Число всех возможных исходов испытания равно 36. Число пар очков, благоприятствующих событию А А А , равно 3 (это пары 1 и 1, 1 и 2, 2 и 1). Таким образом,
Р( А А А ) = 3 36 3 3 36 36 3 36 = 1 12 1 1 12 12 1 12
По формуле из предыдущего слайда имеем
Р(А) = 1 – Р( А А А ) = 1 – 1 12 1 1 12 12 1 12 = 11 12 11 11 12 12 11 12

2. Умножение вероятностей

Произведением событий А и В (которые могут произойти в одном испытании) называется событие АВ, которое состоит в том, что происходят оба этих события.

Пары событий, наступление или ненаступление каждого из которых не влияет на вероятность наступления другого называются независимые события.

Для независимых событий справедливо:
Р(АВ) = Р(А) * Р(В)

Пример

Стрелок делает по мишени два выстрела. Вероятность попадания по мишени при первом выстреле равна 0,8, а при втором 0,9. Найти вероятность того, что стрелок попадет по мишени при первом выстреле, а при втором промахнется.

Решение
Пусть событие С3 – стрелок попал по мишени при первом выстреле и промахнулся при втором, т.е. С3=А В В В . События А и В В В независимые, поэтому
Р (С3) = Р (А В В В ) = Р (А) * Р ( В В В )
Р ( В В В ) = 1 – Р (В) = 1 – 0,9 = 0,1
Р (А) = 0,8 по условию
Р (С3) = 0,8 * 0,1 = 0,8

Относительная частота и закон больших чисел

Относительной частотой события А в данной серии испытаний называют отношение числа испытаний М, в которых это событие произошло, к числу всех проведенных испытаний N. При этом число М называют частотой события А.

Обозначение – W(A). Тогда по определению:

W(A)= 𝑀 𝑁 𝑀𝑀 𝑀 𝑁 𝑁𝑁 𝑀 𝑁

Пример

Во время тренировки в стрельбе по цели было сделано 30 выстрелов и зарегистрировано 26 попаданий. Какова относительная частота попадания по цели в данной серии выстрелов?

Решение:
Событие А – «попадание по цели» произошло в 26 случаях, т.е. М = 26. Общее число испытаний N = 30, поэтому

W(A) = 26 30 26 26 30 30 26 30 = 13 15 13 13 15 15 13 15

Закон больших чисел, сформулированный Якобом Бернулли:

Можно считать достоверным тот факт, что при большом числе испытаний относительная частота события W(A) практически не отличается от его вероятности P(A), т.е.

P(A) ≈ W(A)