События, виды событий, вероятность случайного события.

Событие, виды событий, вероятность события.

Повторение

Элементы комбинаторики(перестановки, размещения, сочетания)
Что такое событие?
Что такое случайное событие?
Какие события Вы знаете?
Что такое вероятность события?
События(классификация событий)
Классическое определение вероятности

Элементы комбинаторики

Перестановками из n элементов называются такие соединения из n элементов, которые отличаются друг от друга лишь порядком следования элементов.
𝑷 𝒏 𝑷𝑷 𝑷 𝒏 𝒏𝒏 𝑷 𝒏 =𝒏𝒏!

Элементы комбинаторики

Размещениями из n элементов по m называются такие соединения, которые отличаются друг от друга либо самими элементами, либо порядком их следования.
𝑨 𝒏 𝒎 𝑨𝑨 𝑨 𝒏 𝒎 𝒏𝒏 𝑨 𝒏 𝒎 𝒎𝒎 𝑨 𝒏 𝒎 = 𝒏! 𝒏−𝒎 ! 𝒏𝒏! 𝒏! 𝒏−𝒎 ! 𝒏−𝒎 𝒏𝒏−𝒎𝒎 𝒏−𝒎 ! 𝒏! 𝒏−𝒎 !

Элементы комбинаторики

Сочетаниями из n элементов по m называются такие соединения, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом.
𝑪 𝒏 𝒎 𝑪𝑪 𝑪 𝒏 𝒎 𝒏𝒏 𝑪 𝒏 𝒎 𝒎𝒎 𝑪 𝒏 𝒎 = 𝒏! 𝒏−𝒎 !𝒎! 𝒏𝒏! 𝒏! 𝒏−𝒎 !𝒎! 𝒏−𝒎 𝒏𝒏−𝒎𝒎 𝒏−𝒎 !𝒎𝒎! 𝒏! 𝒏−𝒎 !𝒎!

События

Комплекс определенных условий, в результате реализации которых наблюдается явление называется опытом или испытанием.Е~ опыт (испытание)Явление, наблюдаемое в результате опыта, называется событие. Событие – результат испытания.А ~ событие

Классификация событий

Классификация событий

Случайные события
Событие называется случайным по отношению к некоторому испытанию(опыту), если в ходе этого испытания оно может произойти, а может и не произойти.

Классификация событийСлучайные события

Пример: Если испытание состоит в одном бросании кубика, то в ходе этого испытания возможны следующие события(исходы испытания): на верхней грани кубика окажется число 1, число2, …, число 6. Каждое из этих событий является случайным, так как оно может произойти, а может и не произойти.
Случайные события обычно обозначаются начальными буквами латинского алфавита A,B,C и т.д.

Классификация событийДостоверные события

Событие называется достоверным 𝜴𝜴(или 𝑼𝑼) по отношению к некоторому испытанию, если в ходе этого испытания оно обязательно произойдет.

Классификация событийДостоверные события

Пример: Достоверным событием будет появление одного из шести чисел 1,2,3,4,5,6 при одном бросании кубика.

Пример: Если в коробке лежат только белые шары, то извлечение из коробки белого шара будет являться достоверным событием.

Классификация событийНевозможные события

Событие называется невозможным ∅(или 𝑽𝑽) по отношению к некоторому испытанию, если в ходе этого испытания событие заведомо не произойдет.

Классификация событийНевозможные события

Пример: Выпадение числа 7 на кубике при однократном бросании является невозможным событием.

Классификация событийЗадача

(Устно.) Каким событием (достоверным, невозможным или случайным) является событие:
Изъятая из колоды одна карта оказалась семёркой треф?
При комнатной температуре и нормальном атмосферном давлении медь оказалась в жидком состоянии?

Классификация событийЗадача

(Устно.) Каким событием (достоверным, невозможным или случайным) является событие:
3) При температуре 20°С и нормальном атмосферном давлении вода оказалась в жидком состоянии?
4) Наугад названное натуральное число оказалось больше нуля?

Классификация событийЗадача

(Устно.) Каким событием (достоверным, невозможным или случайным) является событие:
5)Вынутый наудачу цветок из букета гвоздик оказался розой?
6)В результате броска игрального кубика появилось число 5?

Классификация событий

Совместные – появление одного события не исключает появление другого.
Е ~ подбрасывание 2-х монет.
А ~ появление орла.
В ~ появление решки.
Несовместные – появление одного события исключает появление другого.
Е ~ подбрасывание 1 монеты.
А ~ появление орла.
В ~ появление решки.

Классификация событий

Равновозможные. Если условия их появления одинаковые и у какого-либо из них нет больше шансов, чем у другого.
Е ~ подбрасывание монеты.
А ~ появление орла.
В ~ появление решки.
Не равновозможные. Одно имеет больше шансов, чем другое.
Е ~ подбрасывание 1 игральной кости.
А ~ выпадение 3-х очков.
В ~ выпадение более 3-х очков.

Классификация событийПротивоположные события

Событие А А А называют противоположным событию А, если событие А А А происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие А. (читается А с чертой)

Классификация событийПротивоположные события

Пример: Если событие А – выпадение чётного числа при бросании игральной кости, то А А А -выпадение нечётного числа; если А – попадание по мишени при одном выстреле, то А А А - непопадание (промах).

Классификация событийПротивоположные события

На рисунке проиллюстрирована взаимосвязь событий А и А А А на множестве всех элементарных исходов испытания (событие А А А изображено закрашенной областью).

События А1, А2, А3,….Аn образуют полную группу, если в результате опыта 1 из этих событий обязательно произойдет.Пример:Е ~ подбрасывание 1 игральной кости.А ~ выпадение четного числа очков.В ~ выпадение нечетного числа очков.А и В образуют полную группу

Операции над событиями

Пусть в определенном испытании могут произойти события А и В. Рассмотрим некоторые комбинации этих событий.
Суммой(объединением) событий А и В называется событие, которое состоит в том, что происходит хотя бы одно из данных событий. Сумму событий А и В обозначают
А + В(или А∪В).

Операции над событиями

На рисунке с помощью кругов Эйлера проиллюстрировано понятие суммы событий А и В: большой круг изображает все элементарные события, которые могут произойти в рассматриваемом испытании, левый круг изображает событие А, правый – событие В, а закрашенная область – событие А + В.

Операции над событиями

Пример: Допустим, испытание состоит в определении числа на верхней грани игрального кубика после одного броска, при этом событие А – выпало чётное число, событие В – выпало число, кратное трём. Тогда событие А + В состоит в том, что на верхней грани кубика появится либо чётное, либо кратное трём ( либо чётное, кратное трём) число, т.е. событие А + В означает, что появится одно из чисел 2,3,4,6

Операции над событиями

Произведением(пересечением) событий А и В называется событие, которое состоит в том, что происходят оба этих события. Произведение событий А и В обозначают АВ (или А∩В).

Операции над событиями

Рисунок иллюстрирует с помощью кругов Эйлера произведение событий А и В: закрашенная область (общая часть кругов А и В) иллюстрирует событие АВ.

Операции над событиями

Пример: Если событие А – выпадение чётного числа, а событие В – выпадение числа, кратного 3, в результате одного броска игрального кубика, то событие АВ – выпадение чётного числа, кратного 3( такое число одно – это 6).

Операции над событиями

Пример: ( самостоятельно) Из колоды карт наугад вынимают одну карту и рассматривают два события: А - вынута карта пиковой масти, В – вынут король. Описать события А + В и АВ.

Операции над событиями

Пример: ( самостоятельно) Из колоды карт наугад вынимают одну карту и рассматривают два события: А - вынута карта пиковой масти, В – вынут король. Описать события А + В и АВ.
Ответ: Событие А + В – вынута карта пиковой масти или вынут король; событие АВ – из колоды вынут король пиковой масти.

ВЕРОЯТНОСТЬ СОБЫТИЯ

Теория вероятностей – раздел математики, изучающий закономерности случайных событий, случайных величин, их свойств и операций над ними.
Вероятность – численная характеристика реальности появления того или иного события; - численная мера правдоподобия события.

Математическая монета

В теории вероятностей математическая монета лишена многих качеств настоящей монеты. У математической монеты нет цвета, размера, веса и достоинства. Она не сделана ни из какого материала и не может служить платежным средством. Имеет только 2 стороны, одна из которых называется «орел», а другая – «решка». Монету бросают и она падает одной из сторон верх. Математическая монета считается симметричной, т.е. брошенная на стол монета имеет равные шансы выпасть «орлом» или «решкой».

Игральный кубик или игральная кость

Также служит прекрасным средством для получения случайных событий. Правильные (симметричные) кости обеспечивают одинаковые шансы выпадения каждой грани. Для этого все грани должны иметь одинаковую площадь, быть плоскими и одинаково гладкими. Вершины и ребра кубиков должны иметь правильную форму. Если они скруглены, то все округления должны быть одинаковыми. Отверстия, маркирующие очки на гранях, должны быть просверлены на одинаковую глубину. Сумма очков на противоположных гранях правильной кости равна 7. выпадение всех граней равновозможны.