СОСТАВЛЕНИЕ ДРОБНОГО РАЦИОНАЛЬНОГО1

Составление дробного рационального
уравнения по условию задачи

Цели: формировать умение составлять дробное рациональное уравнение по условию текстовой задачи и решать его.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Решите уравнение:

а) х² – 4х + 4 = 0;                                   г) у² + 13х + 22 = 0;

б) 3х² + 6 = 0;                                         д) ;

в) –2х² – 8х = 0;                         е) .

2. Заполните таблицу.

III. Проверочная работа.

В а р и а н т  1

Найти корни уравнений:

1)  = 3;              2) .

В а р и а н т  2

Найти корни уравнений:

1)  = 2;                   2) .

IV. Объяснение нового материала.

Учащиеся уже знакомы с алгебраическим методом решения текстовых задач. Единственное отличие от ранее решаемых задач состоит в том, что математической моделью будет являться дробное рациональное уравнение. Это можно продемонстрировать, используя примеры, разобранные в учебнике. При этом основное внимание следует уделять процессу перевода условия задачи на математический язык.

Затем следует ещё раз напомнить учащимся  о с н о в н ы е    э т а п ы  решения текстовой задачи алгебраическим методом:

1-й  э т а п. Анализ условия задачи и его схематическая запись.

2-й  э т а п. Перевод  естественной  ситуации  на  математический  язык (построение математической модели: введение переменной и составление дробного рационального уравнения).

3-й  э т а п. Решение полученного уравнения.

4-й  э т а п. Интерпретация полученного результата.

Первые два этапа являются для учащихся наиболее сложными, поэтому на этом уроке основной целью является формирование у учащихся умения составлять дробное рациональное уравнение по условию задачи.

V. Формирование умений и навыков.

Большая часть урока должна быть посвящена анализу условий задач, их схематичной записи, обоснованию выбора переменной и составлению уравнений. Решение самих уравнений можно также предлагать учащимся для самостоятельной работы.

1. № 617.

Р е ш е н и е

А н а л и з:    <  на .

Пусть х – числитель обыкновенной дроби, тогда (х + 3) – её знаменатель. Увеличив числитель на 7, а знаменатель на 5, мы получили дробь . Зная, что дробь увеличилась на , составим уравнение:

;                              ОДЗ: х ≠ –3; х ≠ –8.

Общий знаменатель 2(х + 3)(х + 8).

2х(х + 8) = 2(х + 7)(х + 3) – (х + 3)(х + 8);

2х² + 16х = 2х² + 20х + 42 – х² – 11х – 24;

х² + 7х – 18 = 0.

По теореме, обратной теореме Виета, х₁ = 2, х₂ = –9. Смыслу задачи удовлетворяет только х = 2, тогда дробь равна .

О т в е т: .

Обращаем внимание учащихся, что уравнение исходное можно было записать и по-другому:

 (из большего значения вычитаем меньшее и получаем разницу) или .

2. № 619.

Р е ш е н и е

А н а л и з:

Пусть х км/ч – скорость лыжника, тогда (х + 2) км/ч – скорость второго лыжника. Первый лыжник затратил времени  ч, второй –  ч. Зная, что второй лыжник затратил на 20 мин, или  ч, меньше первого, составим уравнение:

;                                  ОДЗ: х ≠ 0, х ≠ –2.

3х(х + 2) – общий знаменатель.

60(х + 2) – 60х = х(х + 2);

60х + 120 – 60х – х² – 2х = 0;

–х² – 2х + 120 = 0;

х² + 2х – 120 = 0.

По теореме, обратной теореме Виета, х₁ = –12, х₂ = 10. Корень х = –12 не удовлетворяет условию задачи. Значит, 10 км/ч – скорость второго лыжника.

О т в е т: 10 км/ч; 12 км/ч.

3. № 621.

Р е ш е н и е

А н а л и з:

Пусть х км/ч – скорость поезда по расписанию, тогда (х + 10) км/ч – действительная скорость поезда.  ч – время, которое должен был идти поезд по расписанию, а  ч – время, затраченное поездом в действительности. Зная, что поезд затратил на 1 ч меньше, чем должен был по расписанию, составим уравнение:

 = 1;                                ОДЗ: х ≠ 0, х ≠ –10.

720(х + 10) – 720х = х(х + 10);

720х + 7200 – 720х – х² – 10х = 0;

х² + 10х – 7200 = 0.

По теореме, обратной теореме Виета, х₁ = –90, х₂ = 80. Корень х = –90 не удовлетворяет условию задачи.

О т в е т: 80 км/ч.

4. № 623.

Р е ш е н и е

А н а л и з:

Пусть х р. – цена лотерейного билета «Надежда», тогда (х – 5) р. – цена лотерейного билета «Удача».  билетов лотереи «Надежда» купил Андрей, и  билетов лотереи «Удача» мог бы купить Андрей. Зная, что Андрей мог бы купить на 4 билета лотереи «Удача» больше, составим уравнение:

 = 4;                                  ОДЗ: х ≠ 5; х ≠ 0.

240х – 240(х – 5) = 4х(х – 5);

60х – 60х + 300 – х² + 5х = 0;

х² – 5х – 300 = 0;

D = (–5)² – 4 · 1 · (–300) = 1225, D > 0, 2 корня.

х₁ =  = 20;

х₂ =  = –15 – не удовлетворяет условию задачи.

О т в е т: 20 р.

VI. Итоги урока.

В о п р о с ы   у ч а щ и м с я:

– Каковы этапы решения задач на составление дробного рационального уравнения.

– Каков алгоритм решения дробного рационального уравнения?

– Как проводится интерпретация полученных решений?
    – В каких случаях полученные корни уравнения могут не удовлетворять условию задачи?

Домашнее задание: № 618, № 620, № 624, № 639.