Составление платежной матрицы и решение игры

Задача скачана с сайта www.MatBuro.ru

©МатБюро - Решение задач по исследованию операций, ЭММ и другим предметам

Составление платежной матрицы и решение игры

ЗАДАНИЕ.   

Швейное предприятие реализуется свою продукцию через магазин. Сбыт зависит от состояния погоды. В условиях теплой погоды предприятие реализует a костюмов и b платьев, а при прохладной погоде - c костюмов и d платьев. Затраты на изготовление одного костюма равны α₀ , а платья - β₀ рублям, цена реализации соответственно равна α₁ рублей и

β₁ рублей. Определить оптимальную стратегию предприятия. 

a =1000,b = 2300,c =1400,d = 700,

α β α β₀ = 20, ₀ = 5, ₁ = 40, ₁ =12 . 

РЕШЕНИЕ.  

Составим математическую модель задачи. В связи с возможными состояниями спроса фирма располагает двумя стратегиями. 

1. F₁ = (1000, 2300) – произвести 1000  костюмов и  2300 платьев,  2. F₂ = (1400, 700) - произвести 1400 костюмов и 700 платьев. 

Природа (рынок) располагает также двумя  стратегиями:

1.        D₁ = погода теплая, 

2.        D₂ = погода прохладная. 

Если фирма примет стратегию F₁ и спрос действительно будет находиться в первом состоянии, то есть погода будет теплой (D₁), то выпущенная продукция будет полностью реализована и доход составит w₁₁ =1000*(40-20) + 2300*(12-5) = 36100.

Если фирма примет стратегию F₁, а спрос будет находиться в состоянии D₂ (погода прохладная), то платья будут реализованы лишь частично, и доход составит:

w₁₂ = 1000*(40-20) + 700*(12-5) – (2300-700)*5= 16900.

Аналогично, если фирма выберет стратегию F₂, а природа – стратегию D₁ (погода теплая), то доход составит (будут недораспроданы костюмы):

w₂₁ =1000*(40-20) + 700*(12-5) – (1400-1000)*20= 16900, а если природа выберет стратегию D₂, то w₂₂ = 1400*(40-20) + 700*(12-5) = 32900. 

Рассматривая фирму и природу в качестве двух игроков, получим платежную матрицу игры 

           36100    16900

W =                         

           16900    32900

которая будет служить игровой моделью задачи. 

Поскольку максиминная стратегия игры составляет   a = max  (16900, 16900) = 16900, а

минимаксная b = min (36100, 3290) = 32900, то цена игры лежит в диапазоне 16900 ден. ед. < v < 32900 ден. ед.

                                                                                  1

Задача скачана с сайта www.MatBuro.ru

©МатБюро - Решение задач по исследованию операций, ЭММ и другим предметам

Решения игры в чистых стратегиях не существует, поэтому будем искать решение в смешанных стратегиях.

Решим данную игру аналитическим методом.

Средний выигрыш первого игрока, если он использует оптимальную смешанную стратегию x^{* =}(x x₁^*, ₂^*) , а второй игрок – чистую стратегию, соответствующую первому столбцу

платежной матрицы, равен цене игры v:

36100x₁^* +16900x₂^* =v . 

Тот же средний выигрыш получает первый игрок, если второй игрок применяет стратегию, соответствующую второму столбцу платежной матрицы, то есть  16900x₁^* +32900x₂^* =v .

Учитывая, что x₁^* + =x₂^* 1 , получаем систему уравнений для определения оптимальной стратегии первого игрока и цены игры:

^36100x₁^* +16900x₂^* =v, 

16900x₁^* +32900x₂^* =v,

 *                *

x₁ + =x₂       1.

Решаем эту систему и находим:

x₁^* = 5/11,



x₂^* = 6/11,        



v= 281900/11.

Оптимальная стратегия фирмы:

*                    _{*                  *}                 5                          6                        13400 15700 

P =x F x F1 1 + 2 2 = (1000,2300)+ (1400,700)=          ;            ≈(1218;1427)

                                        11                        11                         11          11 

Таким образом, фирме оптимально произвести 1218 костюмов и 1427 платьев. 

                                                                                  2