Статья "Бенуа Мандельброт и фракталы"

Бенуа Мандельброт и фракталы.

 «Если вам нравятся фракталы, это потому,

что вы сделаны из них.

Если вам неприятны фракталы,

значит вы неприятны самому себе»

HomerSmith

Бенуа Мандельброт - французский и американский математик. Родился в Варшаве в 1924 году. У Бенуа Мандельброта рано открылся необычный математический дар -  великолепное пространственное воображение. Даже алгебраические задачи он решал геометрическим способом. В середине 1960-х годов он разработал теорию так называемой фрактальной геометрии, или геометрии природы. Целью фрактальной геометрии был анализ сломанных, «морщинистых» и нечетких форм. Для описания таких объектов Мандельброт придумал слово «фрактал», которое происходит от латинского слова fractus — «сломанный» или «разбитый».

Что же представляет из себя фрактал? Это фигура, отдельные части которой повторяют весь рисунок в целом. Если увеличить произвольный фрагмент фрактала, то он покажет схожую с цельной фигурой структуру, с теми же деталями, но меньшего масштаба. А если увеличить и их, то все повторится. Фракталы как математические объекты можно увеличивать сколь угодно сильно и получать при этом новые изображения. Бесконечное по красоте и разнообразию множество фигур можно получить из относительно простых конструкций при помощи всего двух операций — копирования и масштабирования. Одним из самых известных фракталов является фрактальная кривая Коха.

Кривая Коха является типичным геометрическим фракталом. Процесс её построения выглядит следующим образом: берём единичный отрезок, разделяем на три равные части и заменяем средний интервал равносторонним треугольником без этого сегмента. В результате образуется ломаная, состоящая из четырёх звеньев длины 1/3. На следующем шаге повторяем операцию для каждого из четырёх получившихся звеньев и т. д… Предельная кривая и есть кривая Коха.

Три копии кривой Коха, построенные (остриями наружу) на сторонах правильного треугольника, образуют замкнутую кривую бесконечной длины, называемую снежинкой Коха. Снежинка Коха имеет конечную площадь, а периметр ее бесконечен.

Рассмотрим треугольник Серпинского. Берется треугольник со стороной, равной единице. Затем каждая из его сторон делится пополам, полученные 3 точки соединяют линиями. Таким образом треугольник оказывается разделенным на 4 треугольника. Центральный вырезается, а остальные три подвергаются той же процедуре и т.д.Если в известном треугольнике Паскаля все нечётные числа окрасить в чёрный цвет, а чётные — в белый, то образуется треугольник Серпинского.

Ковер Серпинского. Берется квадрат с длиной стороны, равной единице. Затем каждая из сторон квадрата делится на три равные части, а весь квадрат, соответственно, на девять одинаковых квадратиков со стороной, равной 1/3. Из полученной фигуры вырезается центральный квадрат. Затем такой же процедуре подвергается каждый из 8 оставшихся квадратиков и т. д.

Все эти объекты имеют нулевую площадь.

Мандельброту принадлежит целый ряд попыток рассмотреть фракталы с самых неожиданных сторон, ученый даже предположил, что звезды расположены на небе по фрактальному принципу. Вселенная из-за ее бесконечности является единственным в природе «настоящим» фракталом. В этой структуре лю­бая информация закономерно повторяется на различных масштабных уровнях. Так, атом содержит исчерпывающую информацию о строении Вселенной, и наоборот. Поэтому, изучая атом и его со­ставляющие, постигая тайны микромира, мы тем самым раскрываем тайны строения нашей Вселенной. Распределение материи подобно фракталу: тысячи звёзд сгруппированы в галактики, галактики формируют кластеры, а кластеры образуют суперкластеры.

Исследования, связанные с фракталами, меняют привычные представления об окружающем нас мире. Фракталы описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика.

Растения нашей планеты являются самыми древнейшими природными фракталами. Эта фрактальность особенно ярко выражена в листе папоротника. Строение кроны деревьев и корневой системы не оставляют сомнений в своей фрактальной природе. Так же сюда можно отнести морских звезд, морских ежей, кораллы, морские раковины, хвост павлина.

Если же рассматривать неживую природу, то там интересных примеров гораздо больше, нежели в живой. Молнии, снежинки, облака, всем известные узоры на окнах в морозные дни, кристаллики, горные хребты — все это является примерами природных фракталов из неживой природы.

     Наиболее полезным является использование фракталов в компьютерных системах при сжатие данных. В основе этого вида сжатия лежит тот факт, что реальный мир хорошо описывается фрактальной геометрией. При этом, картинки сжимаются гораздо лучше, чем это делается обычными методами. В компьютерной графике фракталы  применяются  для  построения  изображений  природных  объектов,  таких,  как поверхности морей, деревья, кусты,  горные  ландшафты 

С использованием фракталов могут строиться вполне реалистичные 

изображения: например, фракталы часто используются   при создании  облаков,  береговых  линий,  снега,  кустов,  деревьев  и  др.).  

Создаются такие изображения  путем  математических  расчетов, но базовым  элементом  фрактальной  графики  (в  отличие  от  векторной 

графики)  является  математическая  формула. 

Эффект Дросте – это международный термин, обозначающий особый вид фрактального изображения. Специфика данного эффекта состоит в том, что изображение включает в себя меньшую версию себя же самого. В этой меньшей версии, в свою очередь, содержится еще меньшая, и так до бесконечности. Такая композиция создаёт впечатление магической глубины. Существуют формулы, позволяющие рассчитать пропорции элементов изображения. 

  Изучение турбулентности в потоках очень хорошо подстраивается под фракталы. Турбулентные потоки хаотичны и поэтому их сложно точно смоделировать. И здесь помогает переход к фрактальному представлению, что сильно облегчает работу инженерам и физикам, позволяя им лучше понять динамику сложных потоков.При помощи фракталов также можно смоделировать языки пламени.

В физике твердых тел фрактальные алгоритмы позволяют точно описывать и предсказывать свойства твердых, пористых, губчатых тел, различных аэрогелей. Это помогает в создании новых материалов с необычными и полезными свойствами. Фракталы используются при моделировании пористых материалов, например, в нефтехимии.

 Фрактальные антенны — новый класс электрических малых антенн. принципиально отличающихся своей геометрией от известных решений. Фрактальные антенны с компактным дизайном обеспечивают превосходную широкополосную производительность в маленьком формате. Достаточно компактные для установки или встраивания в различных местах фрактальные антенны используются в морских, воздушных транспортных средствах или в персональных устройствах.

Если рассмотреть человека в целом, то окажется, что он тоже представляет собой фрактал. Фрактальность наблюдается во всех системах и органах человека. Рассмотрим лишь некоторые примеры.

   Так, кровеносные сосуды (аорты, вены, капилляры) образуют своего рода сплошную среду и отражают свою фрактальную природу. Многократно делясь и разветвляясь, они пронизывают все ткани и органы человека (общая протяженность всех сосудов человека около 100 тыс. км).

Легкие, представляющие собой пористое тело, демонстрируют уникальный пример того, как огромная площадь размещена в очень маленьком пространстве. При этом лабиринты дыхательных путей легких пронизаны сложнейшей сетью артерий и вен. Описание такой сети также вполне точно описывается фрактальным изображением.

Рассматривая электрокардиограмму сердца, также можно сделать вывод, что электрическая активность сердца фрактальный процесс.

Соединенные нейроны нашего мозга похожи на структуру Вселенной. В некотором смысле мозг создан по подобию Вселенной.

В настоящее время фракталы уже находят применение в медицине. Теория фракталов, например, может применяться для анализа электрокардиограмм. Фракталы могут использоваться также в обработке медицинских рентгеновских изображений. Рентгеновские снимки, обработанные с помощью фрактальных алгоритмов, дают более качественную картинку, а следовательно — и более качественную диагностику!

С помощью теории фракталов ученые планируют проводить раннюю диагностику некоторых заболеваний, например, онкологических.

Вероятно, что фракталы будут изучаться и в дальнейшем, находя все более широкое применение во всех фундаментальных и прикладных науках.

Скачано с www.znanio.ru