Статья Преобразование математических задач

             Преобразование математических задач.

Любая математическая задача – это единство цели и условия. Решая ту или иную задачу, мы получаем решение только применительно к данному конкретному условию. Между тем, в ее содержании, как правило, имеются такие важные структурные связи и отношения, которые не всегда выявляются в процессе решения. Поэтому для успешного формирования регуляционной деятельности школьников и развития гибкости их мышления необходимо целенаправленное создание в ходе обучения таких условий, при которых бы учащиеся с большей или меньшей долей самостоятельности переконструировали математические объекты, входящие в заданную ситуацию, более полно использовали информацию об этих объектах, выдвигали и проверяли новые гипотезы относительно структурных взаимосвязей , представленных в условии задачи. Такую работу принято называть развитием темы задачи. Существуют следующие направления развития темы задачи:

а) «обращение» задачи;

б) обобщение задачи;

в) специализация задачи;

г) замена данных исходной задачи другими данными без замены заключений;

д)  добавление новых заключений при сохранении данных;

е) исключение из задачи некоторых данных и добавления в нее новых.

Каждое направление предполагает составление и вешение целого цикла задач, в определенном смысле « родственных» исходной. При этом школьники либо сами переконструируют условие исходной задачи, изменяя ту или иную ее характеристику, либо осуществляют соответствующую работу под руководством учителя. Рассмотрим эти подходы.

1.     « Обращение» задачи предполагает составление и решение задачи, в которой часть данных исходной задачи принимается за искомые, а некоторые из искомых считаются данными. Наиболее часто этот прием используется при изучении школьного курса геометрии – при рассмотрении теорем, являющихся одновременно и необходимыми, и достаточными условиями. При этом вначале рассматривается исходная теорема, после чего условие и заключение этой теоремы меняются местами, и проверяется справедливость получившейся теоремы. Например, меняя в формулировке теоремы « Если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю» условие и заключение местами, получим обратную теорему: «Если скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны». При применении этого приема следует помнить, что обращенные задачи как по алгебре, так и по геометрии по сложности неравноценны исходным , а некоторые задачи не обращаются совсем (не для всякой теоремы верна обратная).

2.      Обобщение задачи осуществляется путем такого обобщения данных и искомых задачи, при котором исходная задача становится частным случаем задачи-обобщения или ее элементом. Приведем пример реализации данного приема.

Исходная задача.

    Восстановить равнобедренный треугольник по основаниям трех его высот. 

Для перехода к обобщенной задаче используем один из приемов обобщения – переход от данного множества элементов (множества равнобедренных треугольников) к более широкому множеству ( множеству произвольных треугольников).

      Задача – обобщение.

    Восстановить треугольник по основаниям трех его высот.

    Если  первая из предложенных задач по силам большинству  семиклассников , то решение второй, более сложной задачи, целесообразно осуществить на факультативном занятии по математике.

3.   Специализация задачи обратна обобщению. Она предполагает переход от более широкого по объему понятия к более узкому , либо замену переменной величины постоянной. Со  специализацией задачи мы фактически имеем дело при первичном закреплении большинства формул и теорем, изучающихся в школьном курсе. Например, после вывода формулы для поверхности правильной пирамиды мы закрепляем эту формулу при решении конкретных задач.

       Однако, специализированная задача далеко не всегда легче исходной, поскольку зачастую ученику, прежде чем применить какую-либо общую закономерность, необходимо преобразовать условие специализированной задачи с целью приведения его к виду, подходящему для осуществления решения. Как показывает практика, полностью самостоятельное составление учащимися нетривиальных задач-специализаций и задач-обобщений является достаточно сложной для них операцией. Поэтому соответствующую работу целесообразно проводить при участии учителя.

4.     Замена данных исходной задачи другими данными без замены заключения  используется на заключительном этапе овладения определенным методом решения класса задач. Так как замена может существенно усложнить решение или сделать это решение невозможным, учителю при использовании данного подхода необходимо предварительно вместе с учащимися осуществить тщательный анализ исходной задачи, в процессе которого выясняется, какими альтернативными данными можно воспользоваться для получения определенного решения.

 Пример. Исходная задача.

Построить равнобедренный треугольник по основаниям высот, опущенных из вершин этого треугольника на его стороны.

      После решения данной задачи было бы естественно учителю вместе с учащимися вспомнить , какие еще замечательные отрезки, связанные с треугольником, могли бы его однозначно определить. После этого легко сформулировать две новые задачи с тем же требованием, что и исходная .

Новая задача 1.

Построить равнобедренный треугольник по серединам его сторон.

Новая задача 2.

Построить равнобедренный треугольник по основаниям биссектрис его углов.

    Упрощенной модификацией этого подхода является самостоятельное составление учащимися текстовых задач по известной математической модели.

5.   Добавление новых заключений при сохранении данных.

В большинстве случаев учебные задачи предусматривают лишь один вывод, сориентированный на достижение некоторой узкой учебной цели. Между тем, входная информация многих задач позволяет сделать и некоторые другие выводы. Задача учителя в данном случае состоит в создании условий для более полного «исчерпывания» информации на основе содержащихся в условии взаимосвязей. Реализация этого приема происходит наиболее эффективно, если дополнительные вопросы к задаче формулируют сами ученики. В данном случае учитель может предлагать время от времени задачи вообще без сформулированного в явном виде требования. Учащиеся, анализируя условие, самостоятельно формулируют всевозможные вопросы к задаче и находят ответы на эти вопросы.

6. Исключение из задачи некоторых данных и добавление в нее новых.

     В результате реализации данного приема может получиться задача либо с недостающими , либо с излишними данными. При рассмотрении таких задач учащиеся ставятся перед необходимостью тщательно анализировать условие задачи, выделять необходимые для решения данные и отношения между ними. Задачи с недостающими данными целесообразно предлагать в том случае, когда рассматриваемая ситуация допускает неоднозначное толкование. В этом случае

Корректное решение предполагает выделение различных вариантов данной ситуации.

В заключение отмечу, что все рассмотренные преобразования задач могут применяться как изолированно, так и совместно. Комбинирование различных приемов в ряде случаев позволяет полнее реализовать их возможности и при этом способствует экономии учебного времени.