Статья на тему "Решение линейных алгебраических уравнений с использованием математического процессора MATHCAD "

Решение линейных алгебраических уравнений с использованием математического процессора MATHCAD   Эффективное   использование   компьютеров  для   решения  прикладных задач науки и техники, несомненно, является частью дисциплины «Численные методы»,   которая   представляет   собой   комбинацию   математики   и информатики. Одной из наиболее важных и объемных тем в курсе численных методов является решение системы линейных алгебраических уравнений. В настоящее время  разработан   арсенал численных методов решения линейных   алгебраических   уравнений   с   использованием   компьютерных программ.   Для   многих   методов   был   разработан   математический   аппарат, который оценивает точность полученного решения и определяет количество верных знаков вычислений на компьютере. Разновидность численных методов решения системы линейных алгебраических уравнений   можно разделить на прямые (точные) и итерационные/1 /. Прямые  методы  характеризуются  тем,  что  дают  решение  системы  за конечное число арифметических операций. Если все операции выполняются точно,   то   решение   заданной   системы   уравнений   также   является   точным. Такие методы, как методы Крамера, Гаусса и ортогонализации, относятся к прямым   методам.   решения   являются приближенными.    В   итерационных   методах, Для   выполнения   лабораторных   работ   по   курсу  «Численные   методы» удобно   использовать   современные   языки   программирования   и   другие программные   средства   прикладного   характера,   такие   как   электронная таблица  MSExcel,   математический   процессор   MathCad.   Применение   таких программных продуктов в основном зависит от условия поставленных задач.  Студенты   при   выполнении   конкретных   лабораторных   работ   будут сосредоточены на поиске такого программного обеспечения, которое найдет наиболее   эффективное   и   точное   решение   задачи.   А   это,   в   свою   очередь, научит  студентов  освоить языки программирования и мощные возможности прикладных программ /2/.  При   изучении   темы   «Решение   систем   линейных   алгебраических уравнений»   эффективно   будет   применить   математический   процессор MathCad.  Рассмотрим   систему   линейных   алгебраических   уравнений   с   тремя неизвестными:  x 21.0 1 30.0 x 1 60.0 x 1    x 45.0 2 25.0 x 35.0 x 2 2    x 20.0 3 43.0 x 25.0 x 3 3  (1)  91.1  32.0  83.1 Систему уравнения можно записать в матричном виде: А*x=b Здесь  А=   прямоугольная матрица размером 3*3, x=      21.0 30.0 60.0   45.0 25.0 35.0   20.0 43.0 25.0       ­ вектор 3­го порядка, а   ­вектор 3­го порядка. b       91.1 32.0 83.1                x 1 x x 2 3 чисел   Решением системы (1) называется такая упорядоченная совокупность ,  которая обращает все уравнения системы в верные x 1  xc , 1 2  , xc 2 3  c 3 равенства /1/  Рассмотрим   возможности   математического   процессора   MathCad   при решении   системы   линейных   алгебраических   уравнений.   Преимущество математического   процессора   MathCad   особенно   заметно   при   работе   с массивами.   Как   правило,   эта   работа   неоднократно   повторяет   один   тип вычислений со всеми элементами матрицы. Один   из   способов   создания   числового     массива   в   среде   MathCad   ­ заполнить   шаблон   матрицы,   который   содержит   пробелы   для   ввода   чисел. Заполним шаблон матрицы следующим образом: Сначала   загружаем   среду   MathCad.   В   рабочей   области   среды записываем матрицу, на панели Калькулятор щелкните оператор присвоения, а затем из математической панели выбрать  панель инструментов Матрица и Вектор  (рис1.). Рисунок 1. Панель инструментов Матрица и Вектор В открывающемся  диалогом  окне Insert Matrix для  матрицы  А, введем число столбцов и количество строк  и щелкнем кнопку  ОК. Тогда на экране для   матрицы  А  появляется   заготовка   размером   3   х   3   (рис.2).  Значения элементов матрицы вводим в эту заготовку. Этим способом создаем вектор В. Здесь   следует   отметить,   что   размер   матрицы   можно   изменить,   вставив   и удалив число строк и столбцов.  Рисунок 2. Шаблон заполнения матрицы В математическом процессоре MathCad имеются специальные функции и   операторы   для   работы   с   массивами.   Матричные   операторы   включают транспонирование   матрицы,   определение   обратной   матрицы,  определение единичной матрицы, определитель квадратной матрицы, операторы сложения, умножения  и   вычитания  матриц,   операторы   скалярного   произведения векторов / 3/. Для того, чтобы найти вектор X в системе уравнений  (1),    в рабочую область  среды Mathcad вводим следующую формулу: Х:=A­1*B,  где A­1­обратная матрица матрицы А.  Вставляем  эту формулу    с помощью  панели инструментов  матрица и вектор. Затем с клавиатуры вводим Х= и нажимаем Enter, тогда получаются значения Х1, Х2, Х3. Результаты выполнения данного примера представлены на рисунке 3. Рисунок 3. Алгоритм решения системы уравнений в среде MathCad Как мы видим из практики, решение системы линейных алгебраических уравнений   любого   порядка   можно   быстро  и  удобно  решить,  используя математический процессор, где данные вводяться в готовый шаблон. Системы   класса  MathCad  имеют   мощные   средства   для   реализации численных методов расчетов и математического моделирования в сочетании с возможностью выполнения многих операций символьной математики.  Используеая  литература 1. Заварыкин   В.М.,   Житомирский   В.Г.,   Лапчик   М.П.,   Численные методы. ­ М.: Просвещение, 1991 2. Ж.   Нысамбаев,   Л.А.   Смағұлова.   «Сандық   әдістер»   пәнінен оқулықтар жазу мәселесі // Вестник ЖГУ, 2008  3. Макаров Е.Г. Инженерные расчеты в. Учебный курс.­ СПб: Питер, 2005 – 448с. 4. В.П.   Дьяконов,   И.В.   Абраменкова.   MathCad         8  PRO  в математике, физике и Internet. М.: «Нолидж»,2009,512с.