Статья по математике на тему: " Прямые на плоскости" (7 класс, геометрия )

Прямые на плоскости Казарцева Л.Ф. МБОУ Каменская СШ Городищенский район Волгоградская область e-mail: [email protected] На уроках геометрии в 7 классе изучение разбиения плоскости прямыми ограничивается несколькими заданиями с 2-3 прямыми. А вот в олимпиадных заданиях эта тема популярна. Поэтому с помощью несложных исследовательских заданий мотивирую ребят для решения интересных и более сложных задач. В данной работе прослеживаются этапы рассмотрения процесса разбиения плоскости прямыми, начиная с элементарных примеров и заканчивая серьезными исследованиями для семиклассников. Ключевые слова: Точка, прямая, плоскость , пересекающиеся прямые, параллельные прямые, полуплоскость, пучок прямых,сводная таблица, геометрический рисунок. Содержание статьи. Семиклассники получают необычное и, как им кажется, невыполнимое задание: «На какое наибольшее число частей делит плоскость 100 прямых?» Оказалось, задача разрешима, её только надо уметь проанализировать, исследовать. Для исследования надо придумать более лёгкие задачи (экспериментальные), решив которые, получают маленький вывод. Экспериментальные задачи от этапа к этапу усложняются. И из всех результатов(маленьких выводов) и появляется искомое решение. Задача:Решить нестандартную геометрическую задачу, проведя полное её исследование. Цель решения задачи:Научиться думать, анализировать, выделять главное; делать выводы, подготовиться к решению олимпиадных задач по геометрии, глубже изучить предмет, сделать занятия геометрией интереснее. Учебное значение: Применение знаний и умений по теме: «Точка, прямая, плоскость» при решении задач на разбиение плоскости прямыми. Исследование проводим с помощью простейших задач. Задача 1 На сколько частей разбивают плоскость: а)1 прямая б)2 прямых, которые параллельны в)к параллельных прямых Решение а) 1часть а 2 часть Вывод:При проведении одной новой прямой прибавляется одна часть плоскости: 3 параллельные прямые – 4 плоскости 4 параллельные прямые – 5 плоскостей п параллельных прямых – п + 1 плоскостей к параллельных прямых – к +1 плоскостей Задача 2 На сколько частей разбивают плоскость а) 2 прямые, пересекающиеся в 1 точке б) 3 прямых,пересекающиеся в 1 точке в) п прямых пересекающихся в одной точке в) 1 часть 2 часть 3 часть 4 часть б) 1 часть 2 часть 3 часть 3 б) 5 6 8 в) 7 Решение а) 1 2 4 Вывод: При прибавлении одной новой прямой прибавляются 2 части плоскости: 4 прямых пересекаются в 1 точке – 6+2=8 частей плоскости 5 прямых пересекаются в 1 точке – 8+2=10 частей плоскости 6 прямых пересекаются в 1 точке – 10+2=12 частей плоскости п прямых пересекаются в 1 точке – 2пчастей плоскости Задача 3 На какое наибольшее число частей делят плоскость 3 прямые? Решение 1) Если прямые параллельны, то 4 части плоскости 2) Если прямые пересекаются в 1 точке, то 6 частей плоскости 3) 6ч. 4) 7ч. Вывод:На 7 частей: каждая прямая должна пересечь все другие прямые в разных точках: никакие 2 прямые не должны быть параллельны и никакие точки пересечения не должны совпадать. Задача 4 Как должны располагаться на плоскости п прямых, чтобы они делили плоскость на максимальное число частей? Решение а)Чтобы п прямых делили плоскость на максимальное число частей надо, чтобы сначала ( п – 1 ) прямых делили ее на максимальное число частей; б)каждая новая прямая пересекает все предыдущие плоскости; в)от числа точек их пересечения зависит число частей плоскости, по которым она проходит, значит зависит число прибавляющихся новых частей. Тогда число новых частей будет наибольшим. Вывод: обнаружена закономерность: Рn= Pn -1 + n 1 прямая – 2 части 2 прямые – 2 +2=4 части 3 прямые – 4+(2+1)= 4+3=7частей 4 прямые – 7+(3+1)=7+4=11 частей 5 прямых – 11+(4+1)=11+5=16частей 6 прямых – 16+(5+1)=16+6=22 части Задача 5 Пусть наибольшее число частей на которые делят плоскость 1,2,3,4,5… прямых обозначено Р1,Р2,Р3,Р4,Р5… 1)На сколько Р2 больше Р1 2)На сколько Р3больше Р2… Решение Р2 больше Р1 Р3больше Р2 Р4 больше Р3 на 4 Р5больше Р4на 5 Р6больше Р5на 6 на 2 n :Рn= Pn-1 + n n -ой прямой число частей плоскости на 3 Вывод:при проведении увеличивается на Задача 6 Найдите наибольшее число частей плоскости, на которые ее делят а)10 прямых б)100 прямых в)n- прямых п – число прямых р – наибольшее число плоскости частей 2 2+2=4 4+3=7 7+4=11 11+5=16 16+6=22 22+7=29 29+8=37 37+9=46 46+10=56 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Подсчёт результатов а)Р10=2+2+3+4+5+6+7+8+9+10= =1+(1+10)+ +(2+9)+(3+8)+(4+7)+(5+6)=1+11*5=5 6 ИЛИ: Р10=1+(10+1)*(10/2)=56 наибольшее число частей, на которые плоскость делят 10 прямых б)Р100=1+(100+1)/ (100/2)=1+101*50=5051 - наибольшее число частей, на которые плоскость делят 100 прямых в)Рn=1+(n+1)*(n/2)наибольшее число частей, на которые плоскость делят n прямых Задачи из олимпиад 1. В посёлке 100 домов. Сколько заборов, не пересекающих друг друга, можно построить, чтобы каждый забор огораживал хотя бы один дом и никакие два забора не огораживали бы одну и ту же совокупность домов? (Рассмотреть задачу для 1, 2,3….домов. Не более 2n -1) 2. На плоскости проведено несколько прямых (не менее трех), никакие две из которых не параллельны и никакие три не проходят через одну точку. Докажите, что среди частей, на которые они разбивают плоскость, найдется хотя бы один треугольник. (Рассмотрите некоторую прямую и точку пересечения двух других прямых, расположенную ближе всего к выбранной прямой.) 3. Можно ли так провести прямую на листе клетчатой бумаги размером 20х30, чтобы она пересекала 50 клеток? (Нельзя. Прямая, пересекающая50 клеток, должна пересечь не менее 49 разделяющих их линий, а на листе всего 19 вертикальных и 29 горизонтальных таких линий) 4. Какое наибольшее число клеток может пересечь прямая, проведённая на листке клетчатой бумаги размером mxn клеток?(n+m-1) 5. На листе бумаги проведено 11 горизонтальных и 11 вертикальных прямых, точки пересечения которых называются узлами. Звеном мы будем называть отрезок, соединяющий два соседних узла одной прямой. Какое наименьшее число звеньев надо стереть, чтобы после этого в каждом узле сходилось не более трёх звеньев?(41 звено. Звенья следует стирать через1 ) 6. Среди n прямых нет параллельных, и через любую точку пересечения двух из них проходит по крайней мере еще одна прямая. Доказать, что все прямые проходят через одну точку. Дополнением к решению элементом занимательности и удивления, может быть знакомство с -регулярным математическим искусством Эшера задач, разбиением плоскости, называемое "мозаикой" - это набор замкнутых фигур, которыми можно замостить плоскость без пересечений фигур и щелей между ними, где фигуры изменяются и взаимодействуют друг с другом, а иногда изменяют и саму плоскость. Используемая литература 1. Атанасян Л.Г., Геометрия 7-9.- М.: «Просвещение », 2008. 2. Спивак А.В.,Тысяча и одна задача по математике.- М.: «Просвещение»,2005 3. Н.Б.Мельникова,Г.Б.Лудина,Н.М.,Н.М.Лепихова,Г.А.Заха рова, Задачник-практикум(к учебнику Л.С.Атанасяна и др.)- М.: «Просвещение», 2014. 4. Г.А.Гальперин, А.К.Толпыго, Московские математические олимпиады - М.: «Просвещение»,2014 5. Математическое искусство М.К. Эшера.- Ростов н/Д:Феникс,2003 6. Бизам Д.,Герцег Я.,Многоцветная логика.- М.:Мир,1972 7. http://www.zaba.ru