Статья. Типичные ошибки при изучении темы " Тригонометрия"

Типичные ошибки при изучении темы  «Тригонометрия» Страшный зверь по имени "Тригонометрия" становится совсем ручным и послушным, если  относиться к нему с пониманием. А для этого его нужно вырастить  буквально с  «младенчества». Типичные ошибки: 1) некоторые уч­ся плохо понимают, что такое тригонометрическая окружность, как с нею  связаны тригонометрические функции; 2) не владеют умением распознавать разные типы тригонометрических уравнений и  применять нужные алгоритмы для их решения,  выбирать решения уравнения,  принадлежащие заданному интервалу; 3) допускают ошибки при определении знаков тригонометрических функций; 4) неправильно наносят точки поворота на целое число радиан;  5)  пользоваться формулами приведения, не заучивая их,  6) находить значения тригонометрических функций некоторых углов не только первой  четверти,  7) вычислять значения тригонометрических выражений ( незнание формул или неумение   их применять);  8) что такое обратные функции и как их находить; Методические рекомендации по предупреждению ошибок: 1. Типичная ошибка: при нахождении одной из тригонометрических функций через  заданное значение другой не учитываются знаки тригонометрических функций в  зависимости от положения угла.  1. Упражнение. Найти  ctg  α , если   sin  α  = 0,8. Неправильное решение.  ,α    =α  sin–2  1 + ctg2  1 + ctg2 α = 25/16, ctg2 α = 9/16, ctg α = 3/4. Комментарий: здесь ошибка заключается в том, что при извлечении корня мы можем  получить как положительное значение, так и отрицательное, то есть ctg  необходимо искать решение отдельно в каждой четверти.  = ±α  3/4, поэтому   Правильное решение. α может находиться только в I или во II четверти, значит: α  > 0, то Так как sin  1) если α – угол первой четверти, то ctg  2) если α – угол второй четверти, то ctg   =α  3/4;  = –α  3/4. Комментарий: При объяснении данной темы необходимо как можно больше внимания  уделять единичной окружности, работе с ней. Учащиеся должны четко усвоить, что от  того, в какой четверти может находиться искомая функция, зависит не только значение, но и знак функции, которую находим. Во избежание  подобных ошибок я использую  многократное повторение и решение  подобных упражнений, вырабатываю  у учащихся навык  работы с единичной окружностью. 2.При упрощении тригонометрических выражений необходимо не только хорошо знать  тригонометрические формулы, но и владеть навыками преобразования алгебраических  выражений: правилами раскрытия скобок и заключения в скобки, формулами  сокращенного умножения и т.п. Именно недостаточное знание формул курса алгебры  провоцирует неправильное решение упражнений. Пример. Упростить выражение:  1−tg2α+tg4α cos2α . Решение: Перепишем выражение в виде:  1−tg2α+tg4α cos2α = 1 cos2α ?(1­ tg2α ¿ ¿ tg2α++tg4α¿=(1+tg2α)∙(1−tg2α+tg4α)=13+¿ Здесь мы представили дробь в виде произведения, затем первый множитель заменили,  используя формулу, и получили произведение суммы двух выражений на неполный квадрат разности этих выражений – формулу суммы кубов двух выражений. Комментарий: Трудности и ошибки при упрощении данного выражения возникают именно  из­за незнания, либо плохого владения умением применить формулу суммы кубов двух  выражений, а также неумения преобразовать дробь в произведение. Поэтому необходимо  постоянное повторение формул с помощью упражнений для устного счета, выполнения  тестовых заданий и т.п. 3.При доказательстве тригонометрических тождеств учащиеся  из­за незнания некоторых  тригонометрических формул «придумывают свои», неправильно выполняют  преобразования: раскрывают скобки либо выносят за скобки, производят неправильное  сокращение дробей, а также не учитывают область допустимых значений. Пример: Доказать тождество: В данном тождестве некоторые учащиеся, например, производили неверное сокращение  синусов, что свидетельствует о незнании правил сокращения дробей, а также не учитывали  область допустимых значений. Правильное решение. 1 способ:    2 способ: Комментарии: перед изучением темы разрабатываю  комплекс устных, тестовых  и  письменных упражнений с целью минимализации подобных ошибок. При объяснении  материала  акцентирую  внимание учащихся на том, что тождество справедливо лишь при  допустимых значениях переменных.  4. В тригонометрических уравнениях, как и в уравнениях других видов, причиной многих  ошибок становится невнимательное отношение к области допустимых значений  неизвестного, ошибки по причине невнимательного отношения ко всем заданным в  уравнении условиям; учащиеся также часто забывают, что сокращение всех членов  уравнения на функцию, содержащую неизвестное, нередко приводит к потере корней  уравнения. Еще одна причина появления ошибок – недостаточное внимание к проверке.  Следует не забывать, что при проверке посторонних корней тригонометрических  уравнений часто удобно использовать единичную окружность. Комментарий: этих и других ошибок можно избежать путем многократного решения  однотипных уравнений. Нужно также учить не формальному подходу к решению  уравнений, а рассуждать, объяснять ход своего решения.  Пример. Решить уравнение  cos x (2sin 2x – 1) = cos x sin 2x.   Неправильное решение.  2sin 2x – 1 = sin 2x; sin 2x = 1; 2x =   π/2 + 2πk, k ∈ Z; x =   π/4 + πk, k ∈ Z. Ответ:  π/4 + πk,  k ∈ Z.   Правильное решение. cos x (2sin 2x – 1) – cos x sin 2x = 0; cos x (2sin 2x – 1 – sin 2x) = 0; cos x (sin 2x – 1) = 0; 1) cos x = 0;  x =  π/2 + πn, n ∈ Z; 2) sin 2x – 1 = 0;   sin 2x = 1;  2x = π/2 + 2πk, k ∈ Z;  x = π/4 + πk, k ∈ Z. Ответ:  π/2 + πn, n ∈ Z;   π/4 + πk, k ∈ Z. Еще одна причина появления ошибок – недостаточное внимание к проверке. Следует не  забывать, что при проверке посторонних корней тригонометрических уравнений часто  удобно использовать единичную окружность. Пример. Решить уравнение  sin x + cos x = 1.  Неправильное решение.  (sin x + cos x)2 = 12; sin2 x + 2sin x cos x + cos2 x = 1; 1 + 2sin x cos x = 1; sin 2x = 0; 2x = πn, n ∈ Z; x = πn/2,  n ∈ Z. Ответ:  πn/2,  n ∈ Z. Комментарий. Так как при решении обе части исходного уравнения возводили в квадрат, а  его левая часть может быть как положительной, так и отрицательной величиной, могли  появиться посторонние корни, следовательно, проверка обязательна.   Правильное решение. Дополню  приведенное выше решение следующими рассуждениями. π  n ∈ Z  соответствуют четыре точки, отмеченные на единичной  Значениям  x =  n/2,  окружности. Причем зеленые точки соответствуют корням уравнения, а красные –  посторонним корням. Так как зеленой точке на Ох соответствуют значения n = 4k, где k ∈ Z, а на оси Оу –  значения n = 4m + 1, гдеm ∈ Z, то 1)  x = 4 k/2π  = 2 k,π  k ∈ Z;  π /2π  + 2 m,π  m ∈ Z.  π  =  2)  x = 4 m+ /2 Ответ: 2 k,π  k ∈ Z   и    /2π  + 2 m,π  m ∈ Z.   5. Тема “Тригонометрические неравенства” является объективно сложной для восприятия  и осмысления учащимися. Поэтому стараюсь последовательно, от простого к сложному,   формировать понимание алгоритма и вырабатывать устойчивый навык решения  тригонометрических неравенств. Успех освоения данной темы зависит от знания основных определений и свойств  тригонометрических и обратных тригонометрических функций, знания  тригонометрических формул, умения решать целые и дробно­рациональные неравенства,  основные виды тригонометрических уравнений. Особый упор  делаю  на методике обучения решения простейших тригонометрических  неравенств, т.к. любое тригонометрическое неравенство сводится к решению простейших  неравенств. Первичное представление о решении простейших тригонометрических неравенств ввожу ,  используя графики синуса, косинуса, тангенса и котангенса. И только после учу решать  тригонометрические неравенства на окружности. Пример.  Решите неравенство  Решение. Все решения данного неравенства являются решениями двойного неравенства откуда получаем, что  Ответ:  Комментарий. Здесь при решении тригонометрических неравенств допускались ошибки,  связанные с неправильным чтением числовых промежутков, изображенных на единичной  окружности.