Таблицы по геометрии

Таблица 1. Треугольники разносторонние равнобедренные равносторонние Остроугольные Тупоугольные Прямоугольные _ _ Свойства равнобедренного треугольника Свойства прямоугольного треугольника    А =  1) АВ = ВС 2) В 3) ВD – медиана,  высота, биссектриса    В                      D                             А               катет              С Соотношения между сторонами и углами треугольника в           А            D            С основание             В    3    В =   А +  1) В = 90º 2) если  30º , то АС = АВ : 2 3) если СD –  медиана, то СD =  ВD = АD  В +   В <   А +   А <   С = 180º 1  С   ВС < АС < АВ  2 3 АВ < АС + ВС, АС < АВ + ВС, ВС < АС + АВ 4  3 =   1 +   2 2 1                    С                А Медиана Биссектриса Высота                        В                       В                       В            А                                              С АА1 – медиана, если ВА1 = СА1            С                                               А АА1 – биссектриса,   2 если   1 =             С                                               А АА1 – высота, если АА1   ВС Таблица 2.  Признаки равенства треугольников                          В                                               N                  По двум сторонам и углу между ними (СУС) По стороне и двум прилежащим к ней углам (УСУ) По трём сторонам (ССС) A                                 C            K                              M                          В                                               Е                  A                                 C            D                              P                          В                                               S                  A                                 C            O                              T Признаки равенства прямоугольных треугольников                    В                                          N                   По двум катетам (КК) По катету и прилежащему к нему острому углу (КУ) По гипотенузе и острому углу (ГУ) По гипотенузе и катету (ГК) С                          A               K                        M                    В                                          Е                   С                          A               F                        D                    В                                          T                   С                          A               O                        S                    В                                          R                   С                          A               Q                        P Таблица 3. Параллельные прямые и углы Углы, образованные при пересечении прямых            D         С                   В             А           А                               D                                                         O         C                                B ABD и   DВС ­ смежные ABD +   DВС = 180º  ВОD –  ВОС – AОС и  вертикальные AОD и  вертикальные AОС =  AОD =   ВОD  ВОС    1     а                              2                              3   4                          5    6               b                                      7     8                    с  6;   4 и  1 и   8 – соответственные  2 и  7;  5;   3 и   3 и   5 – односторонние  4 и   5;   3 и  6;   4 и   5 – накрест лежащие Свойства параллельных прямых      1                    а                                              2                3     4                  6    5                            b                              7     8               с 1)  2)  3)   1 =   4 =   4 +  Если a || b, то:  5,   4 =   3 =  (соответственные углы равны)  8,   5   3 =    6,  (накрест лежащие углы равны)  5 = 180 º,   3 +   6 = 180 º  7  (сумма односторонних углов равна 180 º) Признаки параллельности прямых                               а                               b с Если a || b, b || с, то а || с.    4     а                            3                               2    1                                                               6    5               b                                   7     8               с Если:  1)   1 =   6 (  2 =  5), то a || b. 2)   4 =   5 (  3 =  6,    2 =  8), то a || b.  7,   1 =    3)  (  1 +   5 = 180º  2 +   6 = 180º), то a || b Аксиома параллельности прямых Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. Таблица 4. Четырёхугольники Определение  Свойства Признаки  Параллелограмм                   В                       С                    В                      С ABCD – параллелограмм, если:           А                       D АВ || CD,    ВC || АD                  А                     D 1) АО = СО, ВО = DO, O = AC  BD 2) AB = CD, BC = AD 3)   C,   A =   D  B = 4)  =   A +  B  =   C +  D =   B +   C =   A +  D = 180º В Ромб В            A C             А                           С D ABCD – параллелограмм,  АВ = ВС = СD = DA 1) AB = CD, AB || CD или  BC = AD, BC || AD; 2) AB = CD и BC = AD; 3) АС  ВD = O,  AO = CO, BO = DO ABCD – ромб, если: 1) ABCD – параллелограмм  и  АС  ВD; 2) ABCD – параллелограмм  и АС и ВD – биссектрисы  C   B,   A ,   D; и  3) АВ = ВС = СD = DA.                           D 1) AC  BD 2) АС – биссектриса   А и  С ВD – биссектриса   В и  D. Ромб обладает всеми свойствами параллелограмма. Прямоугольник          B                                  C          B                                 C АВСD – прямоугольник, если:  1) ABCD – параллелограмм и  АС = ВD; A                                 D ABCD – параллелограмм,  B =   C =  A =  D.            A                                D 1) AC = BD 2) Прямоугольник обладает  всеми свойствами  параллелограмма. ,  3)  2) ABCD – параллелограмм и   A = 90º    (   D)  B,   C  A =   B =   C =  90º Определение  Свойства Квадрат  Признаки                 В                       С                В                      С ABCD – квадрат, если: 1) ABCD ­ прямоугольник,  AC  BD; 2) ABCD – ромб, AC = BD; 3) АВСD – ромб,   A =  90º;    4) ABCD – прямоугольник,  АС и ВD – биссектрисы  его углов.   Теорема Фалеса             А1        А2       А3     А4    О     В1            В2                                   В3                          В4 Если ОА1 = А1А2 = А2А3 = А3А4 и А1В1 || А2В2 || А3В3 || А4В4, то   ОВ1 = В1В2 = В2В3 = В3В4.               А                       D АВCD ­ прямоугольник,   АВ = CD = ВC = АD                      А                       D Квадрат обладает всеми  свойствами ромба и  прямоугольника.           верхнее         В     основание     С             М        средняя линия      N                      A    нижнее основание         D BC || AD,  МN || ВС || AD Трапеция  MN = ½ (BC + AD) ∆AOD ~ ∆COB                     B            C               A                        D  ABCD – равнобедренная  (равнобокая) трапеция. АС = ВD,    В =  D,   А =   С.                       В               С            А                              D Прямоугольная трапеция Выпуклый четырёхугольник                                                            С                                     В    A +  B +  D = 360º .  C +                                  А                                            D Таблица 5. Площади фигур Площадь треугольника                                                                                                В SАВС = ½ АВ  СМ = ½ ВС  АN = ½ AC  BK                                                       М                         SАВС = ½ АВ  АС  sin A = ½ ВА ВС  sin B = ½ CA  СB sin C                                                     N Формула Герона: S =    p(p­a)(p­b)(p­c)  ,                                       A                        K             C где a = BC, b = AC, c = AB, p = ½  (AB+BC+AC), S = rp, где r – радиус вписанной окружности.         abc  S =   4R   , где R – радиус описанной окружности.                            В SАВС = ½ АС  ВС,                          D              а  2     3                           S =      4              АС  ВС СD =        АВ                     С                         А                                               60º                                                                                                                  В SABD        AD                           SBCD           DC                                     A         D        H         C                                                                                                                N    SABD        AB    AC        B                    SMNK           MN  MK                                                           M             K                                                                           A                   C                                                                                                                                                                                                                                                           B         SAOM  = SBOM = SBON = SCON = SAOK = SCOK                                                                                                           M                N                                                                                                A               K                C Теорема Пифагора                                                                        В АВ2 = АС2 + ВС2                                                          Если АВ2 = АС2 + ВС2, то ∆АВС – прямоугольный. С                               А Площади четырёхугольников               В                         С S = AD  BE = CD  BF Параллелограмм                                        F S = AB  AD  sinA =  = BA  BC sinB       A    E                 D                    B                                   C Прямоугольник  S = AB  BC         A                                   D                            B                                H S = 0,5  AC  BD Ромб               A                      C S = AB2  sinA = AB2  sinB                                                      D                        B                          C Квадрат                      a             A                           D                    B                       C S = AB  BH AC = d S = a2 S = 0,5d2 Трапеция S = 0,5 BH (BC + AD)             A   H                       D                                                             C            B Выпуклый четырёхугольник S = 0,5  AC  BD  sin            A                                         D Таблица 6. Подобные треугольники Определение ∆ABC  ∆A1B1C1,  если АВ      ВС      АС                                         А1В1     В1С1     А1С1     k;          SABC         AB  Р АВС        АВ  РА В С     А1В1              SA B C      A1B1  2        k2 2 , А = А1, В = В1, С = С1 . Признаки подобия треугольников                      С                                            С1                                   А                  В                                                        А1                                             В1                      С                                            С1                                     х                                         kx                А       у        В                                                        А1                    kу                     В1                      С                                            С1                                     b             a                          kb              ka                А       c        В                                                        А1                    kc                     В1 Применение подобия                                             В                                                                       М                    N                                                              А                              С                                               B                               A             D                            C                                           B                                    M                 N                                   A           K            C I признак Если А = А1, В = В1, то  ∆ABC  ∆A1B1C1        АС    k , А = А1, то II признак Если  АВ            А1В1     А1С1   ∆ABC  ∆A1B1C1 III признак Если  АВ            А1В1     А1С1     В1С1   ∆ABC  ∆A1B1C1        АС       ВС     k , то MN – средняя линия треугольника MN || АС, MN = 0,5 АС BD =  AD  DC AB =  AD  AC BC =  CD  AC ∆ABD  ∆BCD ∆ACB ANBKCN = O AO     BO     CO     2  NO     KO     MO    1 Если АВ || СD, то АО       АС                                ОВ       BD                                               С                                           А                                   О               В      D Таблица 7. Векторы. Метод координат Вектор – направленный отрезок.            а            b             c Вычитание векторов                                       А                      О                     В   ОА – ОВ = ВА                             ­ b         b                       с         а  a – b = a + (­b) = c Разложение вектора  по двум неколлинеарным векторам  a и b: с = x a + y b (х, у – коэффициенты разложения) a, b, c – коллинеарные a, c – сонаправленные  a, b – противоположно направленные a = b, если a  b и  a  =  b Сложение векторов а) правило треугольника                                         b                       а                                   с                       a + b = c б) правило параллелограмма                      а                          с              b  правило многоугольника                              b          a                                        c                                               d                                                k             е     k = a + b + c + d + e   Умножение вектора на число k > 0  (k a )  a,  k a  = k  a k < 0  (k a )  a,  k a  = k  a Метод координат Y      у                  А          1        j                            Х       О  i  1        х ОАх; у; ОА = х i  +  y j а х1; у1, b х2; у2 с = а + b  cх1 + х2; у1 + у2 d = a – b  dх1 – х2; у1 – у2 e = k a  e k х1; k у1 Уравнение окружности (х – х0)2 + (у – у0)2 = R2, где  R – радиус окружности; (х; у) – точка окружности; (х0; у0) – центр окружности. А (х1; у1), В (х2; у2) АВ х2 – х1; у2 – у1 АВ =  (х2 – х1)2 + (у2 – у1)2 Если М(х; у) – середина АВ, то  х = х1 + х2;   у = у1 + у2                  2                    2 Уравнение прямой ax + by + c = 0 Таблица 8. Многоугольники Многоугольники Выпуклые многоугольники Сумма углов равна 180º  (n – 2)       выпуклые                                                    невыпукл ые                                                                неправильные                                                                                                                        правильные Правильные многоугольники                                                   Внутренний угол  = 180 (n – 2)  ;                               Внешний угол  = 360  R =      a n           ; 2 sin 180   0   n r =      a n            ; 2 tg 180   0     n R cos 180   0  ;  n r =   S = ½ P r Таблица 9. Движения Движение – отображение плоскости на себя, которое сохраняет расстояния между точками. При движении отрезок отображается на отрезок. При движении треугольник отображается на равный ему треугольник. При движении прямая отображается на прямую, луч – на луч, а угол – на равный ему угол. Свойства движений Центральная симметрия                                В Осевая симметрия       l                     B                                             B1                                A                       A1 l – ось симметрии                                         А1        А                           О                                                              В1 О – центр симметрии Параллельный перенос                                      а направление поворота Поворот О                              В1                   В                                      В1                                                                 А                                       А1 а – вектор параллельного переноса, ВВ1 = АА1 = а             А1              В                           А   АОА1 = ВОВ1 =   ­ угол поворота;      О – центр поворота