Технологическая карта урока геометрии в 10 классе по теме: "Теорема о трёх перпендикулярах (прямая и обратная)». Авторы Л.С.Атанасян, В.Ф. Бутузов и др

Цель деятельности учителя

Создать условия для доказательства теоремы о трех перпендикулярах, теоремы обратной теореме о трех перпендикулярах; для рассмотрения задач на применение доказанных утверждений.

Термины и понятия

Перпендикуляр, наклонная, проекция, плоскость, треугольник

Этапы урока

Деятельность

учителя

учащихся

Организационный этап

Мотивация.

Определение целей для учеников и учителя.

Методы.

Использование на уроке индивидуальных оценочных листов.

Деятельность учащихся

Регулятивные УУД: постановка цели; прогнозирование результата

Цели, которые учитель ставит перед собой на этом этапе урока.

1.                Мотивирование обучающихся на предстоящую деятельность. Оказание  помощи в постановке ими перед собой целей предстоящей деятельности и определения  желаемых результатов.

2.                  Освоение обучающимися регулятивных УУД:  целеполагание и определение желаемого результата.

3.                  Освоение обучающимися личностных УУД:самоопределение, смыслообразование.

Учитель приветствует учащихся, проверяет их готовность к уроку.

Эпиграф к уроку:

« Разве ты не заметил, что способный к

 математике  изощрен во всех науках в природе?»         (Платон)

Как вы понимаете эти слова?

Для повышения мотивационной заинтересованности на уроке будут использованы индивидуальные оценочные листы. Посмотрите, какие виды работы вас ждут, и в какой форме ваша работа на уроке будет оценена

Попробуйте ответить на вопрос: «Какого результата вы хотите достичь на этом уроке?» и в своем оценочном листе в первой графе поставьте ту оценку, которую вы планируете получить за урок, согласно прописанным критериям.

Цели, которые обучающиеся ставят перед собой на этом этапе урока:

Постановка цели и определение предполагаемых результатов предстоящей познавательной деятельности.

Учащиеся готовы к началу работы.

Включаются в деловой ритм урока.

Учащиеся изучают оценочные листы и выставляют планируемые оценки за урок.

(Предполагаются краткие ответы учеников. Цель эпиграфа – заставить учеников задуматься и   подготовиться к работе на уроке).

Этап актуализации знаний.

Мотивация: цели.

Деятельность.

Методы:

Поисковая деятельность.

Создание и разрешение  проблемной ситуации;

 «экспериментальная» деятельность;

анализ полученных результатов, вывод;

вспомогательные, наводящие вопросы;

предложение сформулировать гипотезу в виде теоремы.

Определение темы урока, его цели и задачи.

Критерии достижения поставленных целей:

1)   Освоение предметных УУД: насколько успешно разрешили проблемную ситуацию;

Насколько справились с экспериментальной работой;

Сколько учащихся смогли сделать правильные выводы.

2)   Освоение регулятивных УУД: сколько учащихся сумели осуществить предлагаемые виды деятельности.

3)   Освоение коммуникативных навыков: сколько  учащихся смогли выполнить задания, требующие взаимодействия и взаимопонимания.

4)   Освоение личностных УУД: сколько учащихся могут ответить на вопрос, для какой цели они выполняют все эти действия?

1.       Какое свойство квадрата изображено на рисунке? Сформулируйте его.

2. Какие треугольники на чертежах равные? Ответ обоснуйте.

3.На каких рисунках прямая а перпендикулярна некоторой плоскости?

Учитель предлагает решить задачу.

На строящийся дом размером 8104 метров, строители устанавливают равноскатную крышу. Уже поставили опорные балки, высотой 3 метра, перпендикулярно поверхности чердака. Сколько упаковок черепицы нужно купить для покрытия крыши, если известно, что одна упаковка рассчитана на покрытие площади в 2,7 м²?

Тогда учитель спрашивает: «А ты уверен, что AFMD и FBCM являются прямоугольниками? Это ещё нужно доказать».

Учащимся предлагается доказать, что AFMD и FBCM прямоугольники.

Учитель говорит, что это можно доказать математически, а для этого нужно изучить теорему о трёх перпендикулярах.

Далее учащимся предлагается оставить место для завершения решения данной задачи.

Просит сформулировать тему урока.

  Учитель записывает тему на доске «Теорема о трёх перпендикулярах», формулирует условие теоремы, делает рисунок, проводит доказательство.

1. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны.

      2.Красный и желтый. Два прямоугольных треугольника с равными катетами.

На первом и третьем.                      

Учащиеся сразу же приступают к решению: делают рисунок и вводят обозначения.

Дано: АВ=8м, ВС=10м, EF=3м, ВК=4м, AF=FB, EF^(ABCD)

Найти: S= 

Решение

1) AF=FB EF^(ABCD), то EF^АВ, а в равнобедренном треугольнике высота является медианой и биссектрисой  АЕ=1/2АВ=4(м)   -прямоугольный  по теореме Пифагора           AF=FB= =5

Далее ученик у доски говорит, что т. к. AFMD и FBCM — прямоугольники, то мы можем найти их площадь.

Один ученик говорит, что это очевидно, т.к. крышу всегда делают так, что она состоит из прямоугольников.

«Теорема о трёх перпендикулярах»,

Этап изучения нового материала

Мотивация: цели.

Деятельность.

Методы:

Беседа,

вспомогательные, наводящие вопросы;

повторение основных понятий, повторение проблемных вопросов, которые были поставлены в начале урока, - теперь ответ на них ясен всем.

Критерии достижения поставленных целей:

1)      Освоение предметных УУД: насколько успешно выполнили предлагаемые задания и получили новые знания? Сколько учащихся смогли сделать правильные выводы.

2)      Освоение регулятивных УУД: сколько учащихся сумели осуществить предлагаемые виды деятельности;

3)      Освоение личностных УУД: сколько учащихся могут ответить на вопрос, для какой цели они выполняют все эти действия?

Цели, которые учитель ставит перед собой на данном этапе урока:

1)      Освоение обучающимися предметных УУД: повторить понятие наклонной, перпендикуляра к плоскости и проекции наклонной на плоскость.

2)      Освоение обучающимися регулятивных УУД: самоорганизация познавательной деятельности, выполнение заданий, предлагаемых учителем.

3)      Освоение познавательных общеучебных УУД: анализ получаемой информации; развитие логического мышления, умения  устанавливать  причинно-следственные связи; формулирование вывода.

4)      Освоение личностных УУД: смыслообразование (Зачем мне надо это знать?)

Теорема: Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

 Дано: СВ – перпендикуляр;

                                        СА – наклонная, аϵα,  

                                             А ϵ а, а    ВА.

                                       Доказать: а    СА.

Доказательство

Плоскость АВС:  а    ВА, а    СВ. То есть прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости (АВС), значит, прямая а перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости (АВС), т.е. а    АС, ч.т.д.

Вернемся к решению задачи.

Учитель обращает внимание учащихся на то, что нужно ответ округлить с избытком, иначе черепицы не хватит.

Справедлива также обратная теорема.

Сформулируйте ее и докажите.

Цели, которые ставят перед собой обучающиеся на этом этапе урока: доказать, что прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

По готовому чертежу учащиеся самостоятельно доказывают теорему. Записывают ее доказательство.

2) По теореме о трех перпендикулярах: EF^(ABCD), AF-наклонная, AЕ-проекция наклонной, AD-прямая, проходящая через основание наклонной.  AD^АF  AFMD=BFMC- прямоугольники.

AF  AD=2 5 10=100()

100 : 2,7

Ответ; 38 упаковок

Формулируют теорему и доказывают ее.

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции.

Попробуйте провести ее доказательство самостоятельно

 Дано: СВ –  

                                          перпендикуляр;

                                      СА – наклонная, аϵα,  

                                             А ϵ а, а    СА.

                                       Доказать: а    ВА.

Доказательство

Плоскость АВС:  а    СА, а    СВ. То есть прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости (АВС), значит, прямая а перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости (АВС), т.е. а    ВА, ч.т.д.

Физпауза

Мы хорошо потрудились и сейчас немного отдохнем.

Учитель проводит  физкультминутку.

Трясем кистями

Исходное положение - руки согнуты в локтях, кисти пассивно свисают. Быстрым и непрерывным движением предплечья трясти кистями, как тряпочками.

Выполняют упражнения

Этап закрепления изученного материала

Мотивация: цели.

Деятельность.

Методы:

Решение задач по готовому чертежу;

Выполнение взаимопроверки;

Рейтинговая самостоятельная работа

(предложение задач разного уровня сложности).

 Разбор решения задач по готовым рисункам.

Самооценка с учетом критериев

Цели, которые учитель ставит перед собой на данном этапе урока:

1)      освоение предметных УУД: сформулировать и доказать  теорему, научить применять полученные знания при решении задач;

2)      освоение регулятивных УУД: умение организовать собственную самостоятельную деятельность;

3)      освоение коммуникативных УУД: умение выполнить взаимопроверку, доброжелательно и качественно;

4)      освоение личностных УУД: самоопределение (ответ на вопрос: задание какого уровня я смогу решить?); смыслообразование: (Зачем мне надо это знать?).

Решение задач на готовых чертежах. (устно)

Решение задач в группах

1 задача

Из вершины прямоугольника АВСD восставлен перпендикуляр АК  к его плоскости. Расстояния от точки К до других вершин равны 6 см, 7 см, 9 см. Найдите длину перпендикуляра АК.

2 задача

Из вершины D квадрата ABCD со стороной 2 см к его плоскости проведен перпендикуляр DK = 2 Найдите площадь

Цели, которые ставят перед собой обучающиеся на этом этапе урока: научиться  решать задачи, используя теорему о трех перпендикулярах.

Т.к. АЕ и  СF-высоты  BD- высота, BD^АС,  ВК^ (АВС)  ВК^ АС

По теореме о трех перпендикулярах KD ^АС

Т.к.  ,т.е. АВ^ВС.

AD^(ABC) AD^BC

По теореме о трех перпендикулярах CВ^ВD.

Т.к.,

ВС^АС.

DB^ (АВС)  DB^ АС

По теореме о трех перпендикулярах CD^AC.

Т.к. ВМ ^ (АВС)  МВ^DC и МС ^DC   По теореме обратной теореме о трех перпендикулярах CD^ВС. ABCD-прямоугольник.

Решение.

 AKD- прямоугольный. По теореме Пифагора   .   AD=BC

Рассмотрим ,    АК ^ (ABCD), BK-наклонная   , AB-проекция   BK на плоскость. ВС^ АВ

 ( смежные стороны прямоугольника)

 Тогда ВС^ ВК – по теореме о трех перпендикулярах, т.е.  ВКС- прямоугольный,

По теореме Пифагора     

= 81 – 49 =32. AD²=32

 =36 – 32 =4. AK =2(см)

Решение

Рассмотрим   DK ^ (ABCD) – по условию, АК- наклонная, AD –проекция АК на плоскость; АВ^АD- смежные стороны квадрата, тогда АВ^АК, т.е. - прямоугольный, .

, АК-?

–прямоугольный

По теореме Пифагора

АК=4(см)

 (см²)

Этап подведение итогов. Домашнее задание.

Рефлексия.

Рефлексия учителя:

Соотношение полученных результатов урока с вышеназванными критериями.

Вывод: в какой мере освоены предметные, регулятивные, общеучебные, коммуникативные и личностные УУД (методы: мониторинг, педагогическое наблюдение; анализ, обобщение, выводы);

на развитие каких УУД следует направить усилия на следующем уроке, чтобы достичь поставленных целей.

Рефлексия учащихся:

В какой мере я достиг поставленной цели; добился желаемого результата: что из изученного материала я знаю хорошо, на что мне нужно дома обратить особенное внимание, чтобы на следующем уроке достичь поставленных целей и добиться желаемого результата. 

Скажите, пожалуйста, а в вашей жизни когда нибудь

 нужна  будет теорема о трёх перпендикулярах?

  - Преподаватель: Доказывая теорему, решая

задачи, мы применяли сегодня умения

анализировать, логически рассуждать, обобщать,

 сравнивать. Применяли принцип: от простого

сложному. Где в вашей жизни вам могут эти умения

 пригодиться?

И в заключении, мне хотелось бы вернуться к эпиграфу сегодняшнего урока.

Разве ты не заметил, что способный к математике  изощрен во всех науках в природе?         (Платон)

 Как вы сейчас понимаете эти слова? Переменилось ли ваше отношение к тем знаниям, которые, на первый взгляд, вам в жизни не пригодятся?

(Заслушиваются ответы учеников).

Наш урок подходит к концу,  запишем домашнее задание и  затем подведем итоги.

   Домашнее задание: Изучить § 20,стр.44, 45. Выполнить №151,№152, стр. 48

Приступаем к заполнению оценочных листов.

Удалось ли вам достичь того результата, который вы запланировали в начале урока?                                   

   Отвечают на поставленный вопрос.

В строительстве, решении задач и т.д.

Подводят итог, самоанализ, отвечают на вопросы.

  заполняют оценочные листы.

Ф И

Какую оценку планируете получить

Учебные элементы

          1 задача       

2 задача

3 задача

4задача

Устная работа

Решение задачи «Крыша дома»   

Доказательство теоремы о трех перпендикулярах

Доказательство теоремы обратной теореме о трех перпендикулярах

Решение задач на готовых чертежах

Решение задач в группах

 6 - 8 плюсов  - «3»

9-10 плюсов – «4»

11-12 плюсов – «5»