Тема: «Способы решения логарифмических уравнений».
|
|
|
|
|
|
Предмет |
Алгебра и начала математического анализа |
Класс |
10 |
Тема урока |
«Способы решения логарифмических уравнений», 2 часа |
Базовый учебник |
Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин и др. / М. Просвещение 2014 |
Цель урока: повторить знания учащихся о логарифме числа, его свойствах; изучить способы решения логарифмических уравнений и закрепить их при выполнении упражнений.
Задачи:
- обучающие: повторить определение и основные свойства логарифмов, уметь применять их в вычислении логарифмов, в решении логарифмических уравнений;
-развивающие: формировать умение решать логарифмические уравнения;
-воспитательные: воспитывать настойчивость, самостоятельность; прививать интерес к предмету
Тип урока: урок изучения нового материала.
Необходимое техническое оборудование: компьютер, проектор, экран.
Структура и ход урока:
I. Организационный момент.
Учитель.
- Здравствуйте, садитесь! Сегодня тема нашего урока «Решение логарифмических уравнений», на котором мы познакомимся со способами их решения, используя определение и свойства логарифмов. (слайд № 1)
II. Устная работа.
Закрепление понятия логарифма, повторение его основных свойств и свойств логарифмической функции:
1. Разминка по теории:
1. Дайте определение логарифма. (слайд № 2)
2. От любого ли числа можно найти логарифм?
3. Какое число может стоять в основании логарифма?
4. Функция y=log0,8 x является возрастающей или убывающей?Почему?
5. Какие значения может принимать логарифмическая функция?
6. Какие логарифмы называют десятичными, натуральными?
7. Назовите основные свойства логарифмов. (слайд № 3)
8. Можно ли перейти от одного основания логарифма к другому? Как это сделать? (слайд № 4)
2. Работа по карточка(3-4 ученика):
Карточка №1: Вычислить: а) log64 + log69 =
б) log1/336 – log1/312 =
Решить уравнение: log5х = 4 log53 – 1/3 log527
Карточка №2:
Вычислить: а) log211 – log244 =
б) log1/64 + log1/69 =
Решить уравнение: log7х = 2 log75 + 1/2 log736 – 1/3 log7125.
Фронтальный опрос класса (устные упражнения)
Вычислить: (слайд № 5)
1. log216 2. lоg3 √3 3. log71 4. log5 (1/625) 5. log211 - log 244 |
6. log814 + log 832/7 7. log35 ∙ log53 8. 5 log5 49 9. 8 lоg 85 - 1 10. 25 –log 510 |
Сравнить числа: (слайд № 6)
1. log½ е и log½π;
2. log2 √5/2 и log2√3/2.
Выяснить знак выражения log0,83 · log62/3. (слайд № 7)
III.Проверка домашнего задания:
На дом были задания следующие упражнения: №327(неч.), 331(неч.), 333(2) и 390(6). Проверить ответы к данным заданиям и ответить на вопросы учащихся.
IV. Изучение нового материала:
Определение: Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим.
Простейшим
примером логарифмического уравнения служит уравнение
loga х =с (а > 0, а≠ 1)
Способы решения логарифмических уравнений: (слайд № 8)
1. Решение уравнений на основании определения логарифма. (слайд № 9)
loga х = с (а > 0, а≠ 1) имеет решение х = ас.
На основе определения логарифма решаются уравнения, в которых:
· по данным основаниям и числу определяется логарифм,
· по данному логарифму и основанию определяется число,
· по данному числу и логарифму определяется основание.
Примеры:
log2 128= х, log16х = ¾, logх 27= 3,
2х= 128, х =16 ¾ , х3 =27,
2х = 27, х =2 3 , х3 = 33 ,
х =7 . х = 8. х =3.
С классом решить следующие уравнения:
а) log7(3х-1)=2 (ответ: х=3 1/3)
б) log2(7-8х)=2 (ответ: х=3/8).
2. Метод потенцирования. (слайд № 10)
Под потенцированием понимается переход от равенства, содержащего логарифмы, к равенству, не содержащему их т.е.
loga f(х) = loga g(х), то f(х) = g(х), при условии, что f(х)>0, g(х)>0 , а > 0, а≠ 1.
Пример:
Решите уравнение =
ОДЗ:
3х-1>0;
х>1/3
6х+8>0.
3х-1=6х+8
-3х=9
х=-3
-3 >1/3 - неверно
Ответ: решений нет.
С классом решить следующее уравнение:
lg(х2-2) = lg х (ответ: х=2)
3. Уравнения, решаемые с помощью применения основного логарифмического тождества. (слайд №11)
Пример:
Решите уравнение =log2(6-х)
ОДЗ:
6-х>0;
х>0;
х≠1;
log2х2>0;
х2>0.
Решение системы: (0;1)Ụ (1;6).
= log2(6-х)
х2 = 6-х
х2+х-6=0
х=-3 не принадлежит ОДЗ.
х=2 принадлежит ОДЗ.
Ответ: х=2
С классом решить следующее уравнение:
=
(ответ: х=1)
4. Метод приведения логарифмов к одному и тому же основанию. (слайд № 12)
Пример:
Решите уравнение log16х+ log4х+ log2х=7
ОДЗ: х>0
¼ log2х+½ log2х+ log2х=7
7/4 log2х=7
log2х=4
х=16 – принадлежит ОДЗ.
Ответ: х=16.
С классом решить следующее уравнение:
+
=3 (ответ: х=5/3)
5. Уравнения, решаемые с помощью применения свойств логарифма. (слайд № 13)
Пример:
Решите уравнение log2 (х +1) - log2 (х -2 ) = 2.
ОДЗ:
х+1>0;
х-2>0. х>1.
Воспользуемся формулой преобразования разности логарифмов
логарифм частного, получаем log2 = 2, откуда следует
= 4.
Решив последнее уравнение, находим х = 3, 3>1 - верно
Ответ: х = 3.
С классом решить следующие уравнения:
а)log5 (х +1) + log5 (х +5) = 1 (ответ: х=0).
б)log9( 37-12х ) log7-2х 3 = 1,
37-12х
>0, х< 37/12,
7-2х >0, х< 7/2, х< 7/2,
7-2х≠ 1; х≠ 3; х≠ 3;
log9( 37-12х ) / log3 (7-2х ) = 1,
½ log3( 37-12х ) = log3 (7-2х ) ,
log3( 37-12х ) = log3 (7-2х )2 ,
37-12х= 49 -28х +4х2 ,
4х2-16х +12 =0,
х2-4х +3 =0, Д=19, х1=1, х2=3, 3 –посторонний корень .
Ответ: х=1 корень уравнения.
в) lg(х2-6х+9) - 2lg(х - 7) = lg9.
(х2-6х+9)
>0, х≠ 3,
х-7 >0; х >7; х >7.
lg ((х-3)/(х-7))2 = lg9
((х-3)/(х-7))2 = 9,
(х-3)/(х-7) = 3, (х-3)/(х-7)= - 3 ,
х- 3 = 3х -21 , х -3 =- 3х +21,
х =9. х=6 - посторонний корень.
Проверка показывает 9 корень уравнения.
Ответ : 9
6. Уравнения, решаемые введением новой переменной. (слайд № 14)
Пример:
Решите уравнение lg2х - 6lgх+5 = 0.
ОДЗ: х>0.
Пусть lgх = р, тогда р2-6р+5=0.
р1=1, р2=5.
Возвращаемся к замене:
lgх = 1, lgх =5
х=10, 10>0 – верно х=100000, 100000>0 – верно
Ответ: 10, 100000
С классом решить следующее уравнение:
log62 х + log6 х +14 = (√16 – х2)2 +х2,
16 – х2 ≥0
; - 4≤ х ≤ 4;
х >0 , х >0, О.Д.З. [ 0,4).
log62 х + log6 х +14 = 16 – х2 +х2,
log62 х + log6 х -2 = 0
заменим log6 х = t
t 2 + t -2 =0 ; D = 9 ; t1 =1 , t2 = -2.
log6 х = 1 , х = 6 посторонний корень .
log6 х = -2, х = 1/36 , проверка показывает 1/36 является корнем .
Ответ : 1/36.
7. Уравнения, решаемые с помощью разложения на множители. (слайд № 15)
Пример:
Решите уравнение log4(2х-1)∙ log4х=2 log4(2х-1)
ОДЗ:
2х-1>0;
х >0. х>½.
log4(2х-1)∙ log4х - 2 log4(2х-1)=0
log4(2х-1)∙(log4х-2)=0
log4(2х-1)=0 или log4х-2=0
2х-1=1 log4х = 2
х=1 х=16
1;16 – принадлежат ОДЗ
Ответ: 1;16
С классом решить следующее уравнение:
log3х ∙log3(3х-2)= log3(3х-2) (ответ: х=1)
8. Метод логарифмирования обеих частей уравнения. (слайд № 16)
Пример:
Решите
уравнения
Прологарифмируем обе части
уравнения по основанию 3.
Получим log3 = log3 (3х)
.
получаем : log3 х2 log3 х = log3 (3х),
2log3 х log3 х = log3 3+ log3 х,
2 log32 х = log3 х +1,
2 log32 х - log3 х -1=0,
заменим log3 х = р , х >0
2 р 2 + р -2 =0 ; D = 9 ; р1 =1 , р2 = -1/2
log3 х = 1 , х=3,
log3 х = -1/ 2 , х= 1/√3.
Ответ: 3 ; 1/√3
С классом решить следующее уравнение:
log2 х - 1
х = 64 (ответ: х=8 ; х=1/4)
9. Функционально – графический метод. (слайд № 17)
Пример:
Решите уравнения: log3 х = 12-х.
Так как функция у= log3 х возрастающая , а функция у =12-х убывающая на (0; + ∞ ) то заданное уравнение на этом интервале имеет один корень.
Построим в одной системе координат графики двух функций: у= log3 х и у =12-х.
При х=10 заданное уравнение обращается в верное числовое равенство 1=1. Ответ х=10.
С классом решить следующее уравнение:
1-√х =ln х (ответ : х=1).
V. Подведение итогов, рефлексия (раздать кружочки, на которых ребята отмечают свое настроение рисунком). (слайд № 18,19)
Определить
метод решения уравнения:
![]() |
|||||||
![]() |
![]() |
![]() |
|||||
VI. Домашнее задание: 340(1), 393(1), 395(1,3), 1357(1,2), 337(1), 338(1), 339(1)
Литература
© ООО «Знанио»
С вами с 2009 года.