Тема занятия «Вычисление производных. Исследование функции на монотонность и экстремум».

«Вычисление производных. Исследование функции на монотонность и экстремум». Тема занятия Пример 1. Найдите промежутки монотонности и точки экстремума функции  Решение . Используя таблицу производных найдем производную функции:  критические точки:  и установим знаки производной на полученных промежутках:    . Нанесем числа   ,  ,  .   . Найдем   и   на координатную прямую Ответ : На промежутках  убывает. Точки экстремума:  Пример 2. Найдите точки перегиба и промежутки выпуклости и вогнутости графика функции  функция возрастает. На промежутке   и   ,   .   функция   .  Решение . 1. Используя таблицу производных найдем первую производную функции:  2. Используя таблицу производных найдем вторую производную функции:  3. Найдем критические точки второго рода:  4. Нанесем точку  производной на полученных промежутках:   на область определения данной функции и установим знаки ее второй   ,   .  .  .  функция выпукла вверх; на промежутке   – точка перегиба графика функции.  Ответ : На промежутке  вниз;  Пример 3. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции  Решение . 1. По формуле  функции:  2. Найдем критические точки функции, решая уравнение  3. Найдем значение функции на концах отрезка   ,  принадлежит данному отрезку:  .  найдем производную данной   функция выпукла   на отрезке   .  и в критической точке   , откуда   ,  .  , поскольку она    ,   . Ответ :  ,   . Пример 4 Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика Решение:  1) Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой.  2) Найдём вторую производную. Можно предварительно выполнить возведение в куб, но  значительно выгоднее использовать правило дифференцирование сложной функции: Найдём критические точки второй производной: ,       – критическая точка . 3) Проверим выполнение достаточного условия перегиба. Определим знаки второй производной на  полученных интервалах  Используем метод интервалов. Выберем наиболее выгодную точку  вычислим в ней значение второй производной:  интервала   и  Из интервала  , следовательно,   возьмём значение   в любой точке интервала  .  и проведём аналогичное действие:  и на всём интервале  В результате получены следующие знаки второй производной: , а значит,  . Таким образом, график САМОЙ ФУНКЦИИ  интервале   знак, поэтому в данной точке существует перегиб графика.  и вогнутым на  . При переходе через   является выпуклым на   вторая производная меняет  Найдём ординату:  Ответ: график функции выпукл на интервале   перегиб графика. Задания для самостоятельной работы: Пример 1  и вогнут на  , в точке   существует  Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика  Пример 2 Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика  Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика Пример 4 . Исследовать график функции  Пример 5 Исследовать график функции  графика, если они существует.  на выпуклость, вогнутость и перегибы.  на выпуклость, вогнутость и найти точки перегиба