Теорема о вписанном угле

Тема урока:

Теорема о вписанном угле

План урока:

1.Какой угол называется центральным?2. Каким соотношением связаны центральный угол и дуга, на которую он опирается?3.Дайте определение внешнего угла треугольника.4.Какая теорема выражает его свойства?

а).

2. По рисунку б). найти величину внешнего угла.

Сравнить величину внешнего угла и угла при основании.

б).

3. Задание на готовом чертеже:
Найдите  АВС, если дуга АС = 70°

Нельзя ли указать угол, связанный с дугой АС, зная который можно найти  АВС?

 АОС = 70о.
Так как треугольник АВО равнобедренный (АО=ВО –радиусы окружности),то  ВАО =  АВО, следовательно, АОС=2 АВО, откуда  АВО=35о

Вписанные углы

Цветочная клумба

Дана клумба круглой формы, на одной из хорд которой посажены розы .
В каких разных местах клумбы должны быть посажены три куста роз таким образом, чтобы с этих точек все розы были видны под одним и тем же углом?

М

N

План УРОКА

Изучить определение вписанного угла
Научиться распознавать вписанные углы на чертежах
Узнать, какими свойствами обладают вписанные углы
Научиться применять полученные знания при решение задач

Вписанные углы

На какие группывы бы разделили углы?

1

2

3

4

5

6

Определение

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется

А

В

С

О

вписанным.

Найди рисунки, на которых изображены вписанные углы. Достаточно щелкнуть по ним мышкой.

верно

верно

Вершина не на окружности

Сторона не пересекает окружность

Задание:

Выразить величину вписанного угла, зная, как выражается величина центрального угла через дугу, на которую он опирается

А

В

С

А

В

С

D

А

В

С

Рассмотрим 3 случая:

А

В

С

О

1

2

1 случай

А

В

С

D

2 случай

А

В

С

D

3 случай

А

В

С

О

Величина вписанного угла

равна половине дуги,

на которую он опирается.

Как???

А

В

С

Дано: __А.
Построить: __ О = __ А

О

D

E

Не решено!

Не решено!

Быстро???

Несколько сразу???

Проблема № 2?

Вписанный угол, опирающийся на полуокружность - прямой.

Решение

задач

32°

Через точку, лежащую вне окружности, проведены две секущие,

образующие угол в 32°.

Большая дуга окружности, заключенная

между сторонами этого угла, равна 100°.

Найдите меньшую дугу.

О

Найдите градусную меру угла ABC.

60°

120°

Практическая работа

Игра на повторение «Веришь — не веришь»

Верите ли вы, что если величина центрального угла равна 90˚, то вписанный угол, опирающийся на эту дугу равен 45˚?
Верите ли вы, что отрезки касательных к окружности равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через центр окружности?

Верите ли вы, что угол проходящий через центр окружности называется ее центральным углом?
Верите ли вы, что вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается?
Верите ли вы, что величина центрального угла в два раза больше величины дуги, на которую он опирается?
Верите ли вы, что вписанный угол, опирающийся на полуокружность равен 180˚ ?

Верите ли вы, что угол, стороны которого пересекают окружность называется вписанным углом?

Верите ли вы, что вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны?
Верите ли вы, что при дальнейшем изучении материала с окружностью будут связаны не только углы, но и треугольники и четырехугольники?

Нет, отрезки касательных к окружности (проведенные из одной точки) равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через (эту точку и) центр окружности.

ДА, если величина центрального угла равна 90˚, то вписанный угол, опирающийся на эту дугу равен 45˚.

Нет, угол проходящий (выходящий из) через центр окружности называется ее центральным углом.

Да, вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Нет, величина центрального угла в два раза больше (равна) величины дуги, на которую он опирается.

Нет, вписанный угол, опирающийся на полуокружность равен 180˚ (прямой) .

Нет, угол, стороны которого пересекают окружность (а вершина лежит на окружности) называется вписанным углом.

Да, вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

Да, при дальнейшем изучении материала с окружностью будут связаны не только углы, но и треугольники и четырехугольники

Проверка домашнего задания.

Задача на вычисление суммы углов пятиконечной звезды, вписанной в окружность

Вписанные углы

I способ:
Угол AMR – внешний угол треугольника MCE, поэтому
AMR=  C  +  E .
Угол ARM – внешний угол треугольника BRD, поэтому
ARM=B  +  D.
Тогда
 A+  B+  C  +  D  +  E =°.

Вписанные углы

I I способ: Когда вершины пятиугольной звезды делят окружность на равные дуги, задача решается очень просто:
360°: 5 :2 5=180°.

Тест на оптическую иллюзию по рисункам с альтернативным ответом.

Оптическую иллюзию мы довольно часто наблюдаем и даже применяем в нашей практике, но очень мало знаем ее сущность. Иллюзию зрения используют архитекторы при постройке зданий, модельеры при создании моделей, художники при создании декораций. Нам известно, что тело, окрашенное в светлые тона, кажется больше, чем тело того же размера, окрашенное в темный тон. Бывают причины, вызывающие оптические иллюзии.

1. 2.

Здесь иллюзорную деформацию вызывают острые центральные углы, хотя углы АОВ; ВОС; COD равны, но за счет множества острых углов, на которых разбиты два угла, они выдают себя за наибольшие, чем средний угол.

Тест 2, 3: Здесь доминирующими являются окружности. Углы вписанные в окружность, образуют в первом случае квадрат, во втором правильный треугольник. Эти фигуры за счет множества окружностей выдают себя, как фигуры приближенные к квадрату и треугольнику. Стороны кажутся вогнутыми во внутрь.
Итак, иллюзию мы можем применять на практике, в повседневной жизни. Например, с ее помощью можно скрывать недостатки формы лица, фигуры.

Вписанные углы

Цветочная клумба

Дана клумба круглой формы, на одной из хорд которой посажены розы .
В каких разных местах клумбы должны быть посажены три куста роз таким образом, чтобы с этих точек все розы были видны под одним и тем же углом?

М

N

Усвоив теорему о величине вписанного угла в окружность, делаем вывод:
т.к. из всех точек окружности, кроме концов хорды, эта хорда видна под одним и тем же углом, мы можем посадить кусты роз в любой точке на окружности клумбы, кроме точек М и N .
Это одно из практических применений теоремы о величине вписанного угла в окружность.

М

N

Домашнее задание:

п.71, выучить определение вписанного угла,
теорему о вписанном угле,
(записав док-во 3 случая) и
два следствия из нее,
№657- выполнить письменно,
№654-устно