Теорема Пифагора(презентация)

Теорема Пифагора

Теорема. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

c2 = a2 + b2.

Соизмеримые и несоизмеримые отрезки

Два отрезка называются соизмеримыми, если их отношение является рациональным числом. Иначе говоря, если один из них принять за единичный отрезок, то длина другого будет выражаться рациональным числом.

Два отрезка называются несоизмеримыми, если их отношение является иррациональным числом. Иначе говоря, если один из них принять за единичный отрезок, то длина другого будет выражаться иррациональным числом.

Гипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника несоизмерима с его катетами.

Пифагоровы тройки

Пифагоровой тройкой называется тройка (x, y, z) натуральных чисел x, y, z, для которых выполняется равенство: x2 + y2 = z2.

Числа пифагоровой тройки представляют собой длины сторон прямоугольного треугольника.

Примером пифагоровой тройки является тройка (3, 4, 5).

Вопрос 1

Сформулируйте теорему Пифагора.

Ответ: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Вопрос 2

Какие два отрезка называются соизмеримыми?

Ответ: Два отрезка называются соизмеримыми, если их отношение является рациональным числом.

Вопрос 3

Какие два отрезка называются несоизмеримыми?

Ответ: Два отрезка называются несоизмеримыми, если их отношение является иррациональным числом.

Вопрос 4

Приведите пример несоизмеримых отрезков.

Ответ: Гипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника и его катет.

Вопрос 5

Что называется пифагоровой тройкой?

Ответ: Пифагоровой тройкой называется тройка (x, y, z) натуральных чисел x, y, z, для которых выполняется равенство: x2 + y2 = z2.

Вопрос 6

Каков геометрический смысл чисел пифагоровой тройки?

Ответ: Числа пифагоровой тройки представляют собой длины сторон прямоугольного треугольника.

Вопрос 7

Приведите примеры пифагоровых троек.

Ответ: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), …

Упражнение 1

У прямоугольного треугольника заданы катеты а и b. Найдите гипотенузу c, если: а) а = 3, b = 4; б) a = 1, b = 1; в) a = 5, b = 6.

Ответ: а) 5;

Упражнение 2

У прямоугольного треугольника заданы гипотенуза с и катет а. Найдите второй катет, если: а) с = 5, а = 3; б) с = 13, а = 5; в) с = 6, а = 5.

Ответ: а) 4;

б) 12;

Упражнение 3

Точка, лежащая внутри прямого угла, удалена от его сторон на расстояния, равные а и b. Найдите расстояние от точки до вершины угла.

Упражнение 4

Могут ли стороны прямоугольного треугольника быть пропорциональны числам 5, 6, 7?

Ответ: Нет.

Упражнение 5

Найдите стороны прямоугольного треугольника, в котором: а) гипотенуза равна 10 см, разность катетов – 2 см; б) гипотенуза равна 26 см, а отношение катетов 5 : 12.

Ответ: а) 6 см, 8 см, 10 см;

б) 10 см, 24 см, 26 см.

Упражнение 6

Гипотенуза прямоугольного треугольника на 1 больше одного из катетов, а сумма катетов на 4 больше гипотенузы. Найдите стороны этого треугольника.

Ответ: 5, 12 и 13.

Упражнение 7

В прямоугольном треугольнике с катетами 3 и 4 опущена высота на гипотенузу. Найдите эту высоту и отрезки, на которые она делит гипотенузу.

Ответ: 2,4; 1,8 и 3,2.

Упражнение 8

Найдите сторону ромба, если его диагонали равны 5 м и 12 м.

Ответ: 6,5 м.

Упражнение 9

Диагональ квадрата а. Чему равна сторона квадрата?

Упражнение 10

Найдите расстояние между основаниями равнобедренной трапеции, у которой основания 5 м и 11 м, а боковая сторона 4 м.

Упражнение 11

В правильном треугольнике со стороной 1 найдите: а) медианы; б) биссектрисы; в) высоты.

Упражнение 12

В равностороннем треугольнике со стороной а найдите радиусы r и R вписанной и описанной окружностей.

Упражнение 13

Найдите медиану, опущенную на основание равнобедренного треугольника с основанием а и боковой стороной b.

Упражнение 14

В равнобедренной трапеции высота (длина перпендикуляра между основаниями) равна 15 см, основания равны 8 см и 24 см. Найдите боковые стороны.

Ответ: 17 см.

Упражнение 15

Даны две окружности, радиусов R и r. Расстояние между их центрами равно a > R + r. Найдите длины отрезков их общих касательных.