Теория вероятности.элементы комбинаторики

 

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ КРАСНОЯРСКОГО КРАЯ

краевое государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение

«Красноярский технологический техникум пищевой промышленности»

 

 

 

 

 

 

Методическая разработка ПРАКТИЧЕСКОГО занятия

 

 

по теме «Основные понятия комбинаторики»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Красноярск 2023 г.

 

Содержание

                                                                                                    стр.

1.                 Введение                                                                               3 2.                 Основная часть                                                                     4 3.                 Заключение                                                                           9 4.                 Литература                                                                           10 5.                 Приложения                                                                         11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Математика является универсальным языком, широко используемым во всех сферах человеческой деятельности.

Основной задачей курса математики является прочное и сознательное овладение студентами математическими навыками и умениям.

В результате изучения дисциплины обучающийся должен уметь:

-  решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности;

- применять простые математические модели систем и процессов в сфере     профессиональной деятельности;

В результате изучения дисциплины обучающийся должен знать:

- значение математики в профессиональной деятельности и при освоении профессиональной образовательной программы;

- основные понятия и методы математического анализа, теории вероятностей и математической статистики;

- основные математические методы решения прикладных задач в области  профессиональной деятельности.

При изучении студенты должны приобрести  ряд общих знаний необходимых для усвоения темы: «Элементы комбинаторики: размещение, сочетание, перемещение».                             

Необходимость разработки данного пособия обусловлена тем, что студенты не всегда успевают подробно записывать текст лекции со слов преподавателя, который ограничен аудиторным временем занятия. В методичке тема изучаемого материала раскрыта более полно, с соответствующими разъяснениями. Поэтому у обучающихся отпадает необходимость пользоваться большим количеством учебников, чтобы усвоить изучаемую тему. В конце лекции имеются задания, позволяющие студенту выполнить самооценку степени успеваемости теоретического материала.

Теоретическая часть курса «Математика» усваивается студентами в ходе лекционных занятий  и  во время  самостоятельной внеаудиторной работе.

Основная часть

Структура плана-конспекта занятия Структура занятия

Дата проведения занятия:

Группа:

План занятия:

Тема: «Основные понятия комбинаторики»

Цели занятия:

1.        Образовательные:

Способствовать формированию у обучающихся основных понятий комбинаторики: размещения, сочетания, перестановки; формирование умений и навыков вычисления значений комбинаторных выражений по формулам; решения простейших комбинаторных задач;

2.        Развивающие:

Способствовать развитию умения анализировать у обучающихся; выбирать наиболее эффективные способы решения задач в зависимости от условий;

3.        Воспитательные:

Способствовать воспитанию интереса у обучающихся к дисциплине, честности, аккуратности; эстетического отношения к оформлению математических решений; воспитание умения слушать и вступать в диалог; участвовать в коллективном обсуждении проблем.

Планируемые результаты:

Личностные –

осознанное понимание назначения и применение изученного материала.

Метапредметные -

Регулятивные: научиться: самостоятельно планировать и выполнять задания по  изученному учебному материалу; выполнять действия в сотрудничестве по предложенному плану; самостоятельно выстраивать план действий ситуационных задач.

Познавательные: научиться понимать заданный вопрос; осуществлять поиск необходимого решения в  источниках, находить и формулировать решение задач; получить возможность научиться ориентироваться на возможное разнообразие способов решения  ситуационных задач; проводить аналогии между изучаемым материалом и собственным опытом.

Личностные: будут сформировано положительное отношение к учебной деятельности; основные моральные нормы поведения; получить возможность для формирования практического опыта.

Коммуникативные: уметь обмениваться мнениями, слушать другого обучающегося и преподавателя; обсуждать индивидуальные результаты практической и научной деятельности.

Продолжительность занятия – 45 минут

Количество учащихся – 25 человек

Тип занятия: комбинированный урок.

Вид занятия – лекция.

Форма организации обучающихся - индивидуальная, фронтальная

Методы  обучения – практический  (работа с карточками), наглядный (учебники, таблицы); словесный (беседа, разъяснение), компьютер (презентация).

Учебно-наглядные пособия: раздаточный материал (на бумажных носителях), задачи “Судоку”, кубики Рубика, рабочие тетради, калькуляторы, индивидуальные карты, методички, книги.

Структура конспекта занятия

1.    Организационный момент (1 минуты)

2.    Мотивация (2 минут)

3.    Актуализация опорных знаний (2 минуты)

4.    Изложение нового материала (23 минут)

5.    Закрепление нового материала (14 минут)

6.    Подведение итогов, выставление оценок. (2 минуты) 

7.    Рефлексия (1минута)

1.        Организационный момент (1 минуты)

Перекличка, темы занятия, дата. Сообщение целей и задач занятия: “Математика” на  курсе специальности “Технологи пищевой промышленности” на тему “Основные понятия комбинаторики» отводится 2 часа.

2.        Мотивация (2 минут)

3 вопроса для самостоятельной работы:

1.      Определения комбинаторики.

2.        Комбинаторика в современной жизни.

3.      Ученые – математики - первооткрыватели этого раздела.

  3.  Актуализация опорных знаний (2 минуты)

Еще в доисторическую эпоху люди сталкивались с комбинаторными задачами. Выбирать и расположить предметы в определенном порядке, отыскивать среди разных расположений наилучшее – вот задачи, решаемые в быту, на охоте или в сражениях. Некоторые элементы комбинаторики были известны в Индии еще во II в. до н. э. Индийцы умели вычислять числа, которые сейчас называют «сочетания». Так, например, в Древнем Китае увлекались составлением квадратов, в которых заданные числа располагали так, что их сумма по всем горизонталям, вертикалям и главным диагоналям была одной и той же (современная игра – задача “Судоку”).  Наряду с состязаниями в беге, метании диска, кулачными боями появлялись игры, требовавшие умение мыслить, рассчитывать, составлять планы, опровергать планы противника. Со временем игры усложнились: появились нарды, карты, шашки и шахматы. В таких играх приходилось рассчитывать различные ситуации, комбинации сочетания фигур.

Вспомните, из детства  как богатырю доехав до развилки трех дорог, читает на камне: “Вперед поедешь – голову сложишь, направо поедешь – коня потеряешь, налево поедешь – меча лишишься”. Он попал в результате выбора. Но выбирать разные пути или варианты приходится и современному человеку. Эти пути и варианты складываются в самые разнообразные комбинации. И целый раздел математики, именуемый КОМБИНАТОРИКОЙ - это раздел математики, в котором изучаются простейшие “соединения”: перестановки, размещения, сочетания, является самостоятельным разделом математики, а самостоятельной наукой лишь во второй половине XVII века, - в период, когда возникла теория вероятностей.

4.      Изложение нового материала (23 минут). Введение общих понятий 

 

Число n при этом называется порядком перестановки. Необходимо знать, что 0!=1

1! = 1,

2! = 2•1 = 2,

3! = 3 •2 •1 = 6,

5! = 5 •4 •3 •2 •1 = 120.

Термин “перестановки” употребил впервые Якоб Бернулли в книге “Искусство предположений”. Примеры решения задач:    (ПРИЛОЖЕНИЕ 1)

Количество вариантов при сочетании будет меньше количества размещений. Термин “сочетание” впервые встречается у Блеза Паскаля в 1665 году. Примеры решения задач: (ПРИЛОЖЕНИЕ 2)

В отличие от сочетаний размещения учитывают порядок следования предметов. Примеры решения задач: (ПРИЛОЖЕНИЕ 3)

5.        Закрепление нового материала (14 минут)

(Студенты выходят к доске для решения заданий). Примеры решения задач: (ПРИЛОЖЕНИЕ 4). Критерии оценивания работ (ПРИЛОЖЕНИЕ 6). По мере выполнения студенты решают задачу “Судоку” или собирают кубик Рубика.

6.  Подведение итогов, выставление оценок. Домашнее задание (2 минуты) 

-выучить формулы и контрольная домашняя работа. (ПРИЛОЖЕНИЕ 7)

7.  Рефлексия (1минута)

При выходе из кабинета каждый студент выбирает прямоугольник по цвету, соответствующему надписями “всё понятно и усвоено”, “трудно и не всё понятно”, “не понятно и не усвоено”, и опускает в соответствующий конверт.

Заключение      

Доказанный факт, что учитель математики  и математик - это не одно и то же. Учитель должен научить! Математик должен решить задачу, даже очень сложную. Учитель должен «переводить» решение математика на сленг слушателя, делать мысль понятной, разложить все по полочкам. Учитель должен направить ученика на поиск решения, а видя неверный ответ, найти дефект, в рассуждениях приводящий к  ошибке. Учитель знает много разных хитростей: мнемонические правила для запоминания, разделение задач на разные удобные для обучения виды, еще он знает, где в его науке хранятся ключевые идеи, которые упустить нельзя, потому что на них опирается дальнейшее обучение.   

          С комбинаторными вычислениями приходится иметь дело представителям многих специальностей: Завуч школы, составляя расписание учебных занятий, использует разные комбинации, классному руководителю при распределении между студентами различных видов работ по классу, шахматист из различных комбинаций выбирает наилучшую и т.д.    

 Современная жизнь делает задачи на комбинаторные вычисления актуальными появление компьютеров, расширило сферу ее применения и резко увеличило возможности комбинаторики.

По мнению методистов и психологов, включение комбинаторных задач в курс математики оказывает положительное влияние на интеллектуальное  развитие студентов, ведь приходится решать задачи на упорядочивание элементов некоторого множества и задания, в которых требуется осуществить выбор подмножеств с определенными свойствами, что позволит в будущем решать творческие вопросы.

Литература                                                                      

Основные источники:

1.      Виленкин, Н.Я. Комбинаторика: моногр. / Н.Я. Виленкин. - М.: [не указано], 1969. - 0 c.

2.      Колосов В.А. Теоремы и задачи алгебры, теории чисел и комбинаторики. – М.: Гелиос АРВ, 2001.

3.      Математика для техникумов. Часть I. Алгебра и начала анализа (Книга). Автор: Яковлев Г.Н. Год: 1987.

4.      Алгебра и начала анализа / Под ред. Г.Н.Яковлева, ч. 2-М.: Наука, 1987. 3 Богомолов Н.В.

 Дополнительные источники:

1. Сборник заданий по математике Дорофеев для 11 классов. Просмотров: 10748. ГДЗ (решебник, ответы) Алгебра Начало Анализа Самостоятельные и контрольные 11 класс Ершовой, Голобородько.

2.                  Подробные гдз и решения по алгебре для 10-11 класса, авторов А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын 2016 год.

3.                  Математика для техникумов на базе средней школы: учеб. пособ. – М.: Наука, 1990. 5. Дадаян А.А. Математика: учеб. – м.: форум: инфра-м, 2005. 6. Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов.

Интернет - ресурсы:

1.      mathematichka.ru

2.      www.MatBuro.ru

3.      www.booksshare.net

4.      studopedia.ru

 

 

 

 

 

(ПРИЛОЖЕНИЕ 1)

Примеры решения задач:   

Задача 1. К примеру, имеются пять гвоздик разного цвета. Требуется составить букет из трёх гвоздик. Выясним, какие букеты могут быть составлены.

Решение: Р5 = 5!, где 5! =1*2*3*4*5  =120 букетов может быть составлено.

Ответ: 120 букетов

 

 

 

(ПРИЛОЖЕНИЕ 2)

Примеры решения задач:

Задача 1. В классе 30 учеников. Нужно 5 человек выбрать для дежурства. Сколькими способами это сделать?

Решение: т.к. все обладают равными правами и обязанностями, то порядок в выборке не важен. Эти множества из 5 элементов будут отличаться друг от друга только составом. Значит, мы имеем дело с сочетаниями.

=

Ответ: 98280 способов.

Задача 2. Сколько трехкнопочных комбинаций существует на кодовом замке (все три кнопки нажимаются одновременно), если на нем всего 10 цифр?

Решение: Так как кнопки нажимаются одновременно, то выбор этих кнопок – сочетание. Отсюда возможно

=120вариантов

Ответ: 120 вариантов.

 

 

(ПРИЛОЖЕНИЕ 3)

Примеры решения задач:

Задача 1. Сколько можно составить телефонных номеров из 6 цифр каждый, так чтобы все цифры были различны?

Решение: Это пример задачи на размещение без повторений. Размещаются здесь десять цифр по 6. Значит, ответ на выше поставленную задачу будет:

 =

Ответ:151200 способов.

Задача 2. В группе ТП16-22 обучается 24 студентов. Сколькими способами можно составить график дежурства по техникуму, если группа дежурных состоит из трех студентов?

Решение: число способов равно числу размещений из 24 элементов по 3, т.е. равно А₂₄³. По формуле находим

=12144

Ответ: 12144 способа

 

 

(ПРИЛОЖЕНИЕ 4)

Примеры решения задач: решают все вместе; самостоятельно с последующей самопроверкой с доски.

№  В магазине «Филателия» продается 8 различных наборов марок, посвященных спортивной тематике. Сколькими способами можно выбирать из 3 набора?

Решение:==56

Ответ: 56 способами.

№ Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3, если каждая цифра входит в изображение числа только один раз?

Решение: Число всех перестановок из трех элементов равно Р₃=3!, где 3!=1 * 2 * 3=6. Значит, существует шесть трехзначных чисел, составленных из цифр 1,2,3.

№ Сколькими способами четверо юношей могут пригласить четырех из шести девушек на танец?

Решение: два юноши не могут одновременно пригласить одну и ту же девушку. И варианты, при которых одни и те же девушки танцуют с разными юношами, считаются разными, поэтому:=360 вариантов.

 

(ПРИЛОЖЕНИЕ 6)

Задача № 1. Сколькими способами могут быть расставлены 5 участниц финального забега на 5-ти беговых дорожках? Решение: Р₅ = 5!= 1 ∙2 ∙3 ∙4 ∙5 = 120 способов.

Задача №2. Из лаборатории, в которой работают заведующий и 10 сотрудников, надо отправить 5 человек в командировку. Сколькими способами это можно сделать, если: а) заведующий лабораторией должен ехать в командировку; б) заведующий лабораторией должен остаться?

Решение: заведующий обязательно должен поехать в командировку, то нужно выбрать еще 4 человека из 10 сотрудников; если заведующий должен остаться, то надо выбирать 5 из 10.==210

==252

Ответ: 210 способов,252 способа.

Задача № 3. В классе учатся 16 мальчиков и 12 девочек. Для уборки территории требуется выделить 4 мальчиков и 3 девочек. Сколькими способами это можно сделать?                                                                                                      

Решение: Выбрать 4 мальчика из 16 можно способами, а выбрать 3 девочки из 12 можно способами. Так как при каждом выборе мальчиков, девочек можно выбирать способами, то сделать выбор, о котором говориться в задаче можно способами.

Ответ: 400400 способами.

Задача № 4. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5,6, 7, 8, 9 при условии, что в записи числа каждая цифра используется только один раз?

Решение: В условии задачи предложено подсчитать число всевозможных комбинаций из трех цифр, взятых из предположенных девяти цифр, причём порядок расположения цифр в комбинации имеет значение (например, числа 132 и 231 различные). Иначе говоря, нужно найти число размещений из девяти элементов по три. По формуле числа размещений находим:

=504 вариантов. Ответ: 504 трехзначных чисел.

Задача №5. Сколькими способами из 7 человек можно выбрать комиссию, состоящую из 3человек? Решение: Чтобы рассмотреть все возможные комиссии, нужно рассмотреть все возможные 3 – элементные подмножества множества, состоящего из 7 человек. Искомое число способов равно=35 вариантов

Задача № 6. В соревновании участвуют 12 команд. Сколько существует вариантов распределения призовых (1, 2, 3) мест?

Решение: А₁₂³ = 12 ∙11 ∙10 = 1320 вариантов распределения призовых мест. Ответ: 1320 вариантов.

Задача № 7. На соревнованиях по лёгкой атлетике нашу школу представляла команда из 10 спортсменов. Сколькими способами тренер может определить, кто из них побежит в эстафете 4100 м на первом, втором, третьем и четвёртом этапах?

Решение: Выбор из 10 по 4 с учётом порядка: способов.=5040 вариантов. Ответ: 5040 способов.

Задача № 8. Сколькими способами можно выложить в ряд красный, черный, синий и зеленый шарики? Решение: На первое место можно поставить любой из четырех шариков (4 способа), на второе – любой из трех оставшихся (3 способа), на третье место – любой из оставшихся двух (2 способа), на четвертое место – оставшийся последний шар. Всего 4 · 3 · 2 · 1 = 24 способа. Р₄ = 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24. Ответ: 24 способа.

Задача № 9. Учащимся дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать вовремя каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг?

Решение: Выбор 6 из 10 без учёта порядка: =210 вариантов.

(ПРИЛОЖЕНИЕ 7)

Критерии оценивания работ у доски

Оценка «5»выставляется, если: студентом не допущено в работе ни одной ошибки, а также при наличии в ней 1 негрубой ошибки. Учитывается качество оформления работы.

Оценка “4” ставится, если студент выполнил работу полностью, но допустил в ней: не более одной негрубой ошибки и одного недочета; или не более двух недочетов.

Оценка “3” ставится, если студент правильно выполнил не менее половины работы или допустил: не более двух грубых ошибок; или не более одной грубой и одной негрубой ошибки и одного недочета; или не более двух-трех негрубых ошибок; или одной негрубой ошибки и трех недочетов; или при отсутствии ошибок, но при наличии четырех - пяти недочетов.

Оценка “2” ставится, если студент: допустил число ошибок и недочетов превосходящее норму, при которой может быть выставлена оценка “3”; или если правильно выполнил менее половины работы.

Оценка “1” ставится, если ученик: не приступал к выполнению работы; или правильно выполнил не более 10 % всех заданий.

 

Оценка письменных контрольных работ учащихся

Отметка «5» ставится, если: работа выполнена полностью;
в правильных рассуждениях и обосновании решения нет пробелов и ошибок;
в решении нет математических ошибок (возможна одна неточность, описка, не являющаяся следствием незнания или непонимания учебного материала).
Отметка «4» ставится, если: работа выполнена полностью, но обоснования шагов решения недостаточны (если умение обосновывать рассуждения не являлось специальным объектом проверки); допущена одна ошибка или два-три недочета в выкладках, рисунках, чертежах или графиках (если эти виды работы не являлись специальным объектом проверки).

 Отметка «3» ставится, если: допущены более одной ошибки или более двух-трех недочетов в выкладках, чертежах или графиках, но учащийся владеет обязательными умениями по проверяемой теме.
Отметка «2» ставится, если: допущены существенные ошибки, показавшие, что учащийся не владеет обязательными умениями по данной теме в полной мере.
Отметка «1» ставится, если: работа показала полное отсутствие у учащегося обязательных знаний и умений по проверяемой теме или значительная часть работы выполнена не самостоятельно.

 

 

Великие математики!!!

 

 

 

 

 

 

 

Судоку!!!

 

 

 

 

 

Примеры решения задач:   

Задача 1. К примеру, имеются пять гвоздик разного цвета. Требуется составить букет из трёх гвоздик. Выясним, какие букеты могут быть составлены.

Решение: Р5 = 5!, где 5! =1*2*3*4*5  =120 букетов может быть составлено.

Ответ: 120 букетов

Примеры решения задач:

Задача 1. В классе 30 учеников. Нужно 5 человек выбрать для дежурства. Сколькими способами это сделать?

Решение: т.к. все обладают равными правами и обязанностями, то порядок в выборке не важен. Эти множества из 5 элементов будут отличаться друг от друга только составом. Значит, мы имеем дело с сочетаниями.

=

Ответ: 98280 способов.

Задача 2. Сколько трехкнопочных комбинаций существует на кодовом замке (все три кнопки нажимаются одновременно), если на нем всего 10 цифр?

Решение: Так как кнопки нажимаются одновременно, то выбор этих кнопок – сочетание. Отсюда возможно

=120вариантов

Ответ: 120 вариантов.

Примеры решения задач:

Задача 1. Сколько можно составить телефонных номеров из 6 цифр каждый, так чтобы все цифры были различны?

Решение: Это пример задачи на размещение без повторений. Размещаются здесь десять цифр по 6. Значит, ответ на выше поставленную задачу будет:

 =

Ответ:151200 способов.

Задача 2. В группе ТП16-22 обучается 24 студентов. Сколькими способами можно составить график дежурства по техникуму, если группа дежурных состоит из трех студентов?

Решение: число способов равно числу размещений из 24 элементов по 3, т.е. равно А₂₄³. По формуле находим

=12144

Ответ: 12144 способа

Примеры решения задач: решают все вместе; самостоятельно с последующей самопроверкой с доски.

№  В магазине «Филателия» продается 8 различных наборов марок, посвященных спортивной тематике. Сколькими способами можно выбирать из 3 набора?

Решение:==56

Ответ: 56 способами.

№ Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3, если каждая цифра входит в изображение числа только один раз?

Решение: Число всех перестановок из трех элементов равно Р₃=3!, где 3!=1 * 2 * 3=6. Значит, существует шесть трехзначных чисел, составленных из цифр 1,2,3.

№ Сколькими способами четверо юношей могут пригласить четырех из шести девушек на танец?

Решение: два юноши не могут одновременно пригласить одну и ту же девушку. И варианты, при которых одни и те же девушки танцуют с разными юношами, считаются разными, поэтому:=360 вариантов.

Задача № 1. Сколькими способами могут быть расставлены 5 участниц финального забега на 5-ти беговых дорожках?

Решение: Р₅ = 5!= 1 ∙2 ∙3 ∙4 ∙5 = 120 способов.

Задача №2. Из лаборатории, в которой работают заведующий и 10 сотрудников, надо отправить 5 человек в командировку. Сколькими способами это можно сделать, если: а) заведующий лабораторией должен ехать в командировку; б) заведующий лабораторией должен остаться?

Решение: заведующий обязательно должен поехать в командировку, то нужно выбрать еще 4 человека из 10 сотрудников; если заведующий должен остаться, то надо выбирать 5 из 10.==210

==252

Ответ: 210 способов,252 способа.

Задача № 3. В классе учатся 16 мальчиков и 12 девочек. Для уборки территории требуется выделить 4 мальчиков и 3 девочек. Сколькими способами это можно сделать?                                                                                                      

Решение: Выбрать 4 мальчика из 16 можно способами, а выбрать 3 девочки из 12 можно способами. Так как при каждом выборе мальчиков, девочек можно выбирать способами, то сделать выбор, о котором говориться в задаче можно способами.

Ответ: 400400 способами.

Задача № 4. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5,6, 7, 8, 9 при условии, что в записи числа каждая цифра используется только один раз?

Решение: В условии задачи предложено подсчитать число всевозможных комбинаций из трех цифр, взятых из предположенных девяти цифр, причём порядок расположения цифр в комбинации имеет значение (например, числа 132 и 231 различные). Иначе говоря, нужно найти число размещений из девяти элементов по три. По формуле числа размещений находим:

=504 вариантов. Ответ: 504 трехзначных чисел.

Задача №5. Сколькими способами из 7 человек можно выбрать комиссию, состоящую из 3человек?

Решение: Чтобы рассмотреть все возможные комиссии, нужно рассмотреть все возможные 3 – элементные подмножества множества, состоящего из 7 человек. Искомое число способов равно=35 вариантов

Задача № 6. В соревновании участвуют 12 команд. Сколько существует вариантов распределения призовых (1, 2, 3) мест?

Решение: А₁₂³ = 12 ∙11 ∙10 = 1320 вариантов распределения призовых мест. Ответ: 1320 вариантов.

Задача № 7. На соревнованиях по лёгкой атлетике нашу школу представляла команда из 10 спортсменов. Сколькими способами тренер может определить, кто из них побежит в эстафете 4100 м на первом, втором, третьем и четвёртом этапах?

Решение: Выбор из 10 по 4 с учётом порядка: способов.=5040 вариантов. Ответ: 5040 способов.

Задача № 8. Сколькими способами можно выложить в ряд красный, черный, синий и зеленый шарики?

 Решение: На первое место можно поставить любой из четырех шариков (4 способа), на второе – любой из трех оставшихся (3 способа), на третье место – любой из оставшихся двух (2 способа), на четвертое место – оставшийся последний шар. Всего 4 · 3 · 2 · 1 = 24 способа. Р₄ = 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24. Ответ: 24 способа.

Задача № 9. Учащимся дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать вовремя каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг?

Решение: Выбор 6 из 10 без учёта порядка: =210 вариантов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 1. К примеру, имеются пять гвоздик разного цвета. Требуется составить букет из трёх гвоздик. Выясним, какие букеты могут быть составлены.

Задача 1. В классе 30 учеников. Нужно 5 человек выбрать для дежурства. Сколькими способами это сделать?

Задача 2. Сколько трехкнопочных комбинаций существует на кодовом замке (все три кнопки нажимаются одновременно), если на нем всего 10 цифр?

Задача 1. Сколько можно составить телефонных номеров из 6 цифр каждый, так чтобы все цифры были различны?

Задача 2. В группе ТП16-22 обучается 24 студентов. Сколькими способами можно составить график дежурства по техникуму, если группа дежурных состоит из трех студентов?

№  В магазине «Филателия» продается 8 различных наборов марок, посвященных спортивной тематике. Сколькими способами можно выбирать из 3 набора?

№ Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3, если каждая цифра входит в изображение числа только один раз?

№ Сколькими способами четверо юношей могут пригласить четырех из шести девушек на танец?

Задача № 1. Сколькими способами могут быть расставлены 5 участниц финального забега на 5-ти беговых дорожках?

Задача №2. Из лаборатории, в которой работают заведующий и 10 сотрудников, надо отправить 5 человек в командировку. Сколькими способами это можно сделать, если: а) заведующий лабораторией должен ехать в командировку; б) заведующий лабораторией должен остаться?

Задача № 3. В классе учатся 16 мальчиков и 12 девочек. Для уборки территории требуется выделить 4 мальчиков и 3 девочек. Сколькими способами это можно сделать?                                                                                                       

Задача № 4. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5,6, 7, 8, 9 при условии, что в записи числа каждая цифра используется только один раз?

Задача №5. Сколькими способами из 7 человек можно выбрать комиссию, состоящую из 3человек?

Задача № 6. В соревновании участвуют 12 команд. Сколько существует вариантов распределения призовых (1, 2, 3) мест?

Задача № 7. На соревнованиях по лёгкой атлетике нашу школу представляла команда из 10 спортсменов. Сколькими способами тренер может определить, кто из них побежит в эстафете 4100 м на первом, втором, третьем и четвёртом этапах?

Задача № 8. Сколькими способами можно выложить в ряд красный, черный, синий и зеленый шарики?

Задача № 9. Учащимся дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать вовремя каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг?

 

 

 

 

Скачано с www.znanio.ru