Тренировочная работа 1. Задача № 16 (планиметрия) из сборника: ЕГЭ Математика./ Под редакцией В.И.Ященко. .

Вариант № 32 Противоположные стороны AD и BC   четырехугольника ABCD параллельны. Через вершины В и D проведены параллельные прямые, пересекающие диагональ АС в точках M и N соответственно. Оказалось, что АМ = MB = NC. а)  Докажите, что ABСD – параллелограмм. б)  Найдите   отношение   площади   четырехугольника  BMDN  к   площади параллелограмма ABСD.   FBED  – параллелограмм и  BE  = а)   1. По условию AD  ǁ  BC и   BF  ǁ ED  ¿>¿   FD = a. 2. По теореме Фалеса:  т.к. AM = MN и BF  ǁ  ED,  ¿>¿  AF = FD = a, тогда AD = 2a.  т.к. MN = СN и BF  ǁ  ED,  ¿>¿  BE = EC = a, тогда BC = 2a.  ¿>¿  AD = BC, AD  ǁ  BC,   ¿>¿ ABСD – параллелограмм. Доказано. б) Так как медиана делит треугольник на  два равновеликих, получим: 1.SAMD  =  SMND = S;   SMND =  SCND = S,  ¿>¿   SACD = 3S, а так как AС – диагональ  параллелограмма, то  SABCD = 6S. 2.SABM  =  SCDN = S, ( ∆ ABM =  ∆ CDN по I признаку).  ¿>¿    SBMN = SBMA = S,  ¿>¿    SBMDN = 2S,  ¿>¿   SBMDN :  SABCD = 2S : 6S = 1 : 3. Ответ: 1 : 3.