Тренировочная работа 1. Задача № 16 (планиметрия) из сборника: ЕГЭ Математика./ Под редакцией В.И.Ященко. .

Вариант № 38 На   сторонах  AС  и  BС  треугольника    АBС  вне   треугольника   построены квадраты  ACDE и  BFKC. Точка M – середина стороны AB. а) Докажите, что CM =  1 2 DK. б) Найдите расстояния  от точки  M до центров квадратов,  если AC = 6, BC = 10 и ∠ ACB = 30ᵒ. а)  Проведем  HB ǁ AC,  HB ¿ AC;  KP ǁ CD, KP ¿ CD; получим параллелограммы  ACBH  и CDPK,   в   которых  AC  =  CD  и  KC  =  BC  (из условия).  ∠ ACD +∠BCK = 30ᵒ + 30ᵒ = 180ᵒ ¿>¿ ∠ ACB +∠DCK = 180ᵒ. +∠ACB= ∠CBH  односторонние углы. =∠DCK. Аналогично ∠ ACB =∠CKP. ¿>¿  Параллелограммы ACBH и CDPK равны, так как равны все соответственные стороны и как 180ᵒ, ¿>¿ ∠CBH углы. ¿>¿ CH = DK, а так как точка M – середина стороны AB, то CM =  DK.                                                 Доказано. 1 2 CH=  1 2 б)  Для нахождения MO и MO1 применим метод координат. Начало координат – точка А(0; 0), ось Ox – вдоль АС, ось Oy ⊥ АС. Найдем координаты нужных точек из условия ( АС = 6, ВС = 10, ∠ ACB = 30ᵒ, О1 – середина СЕ, О – середина ВК, М – середина АВ): С(6; 0), Е( 0; –6), О1(3; –3), В(6–5 √3 ; 5), К(11; 5 √3 ), О( 17−5√3 ;  5+5√3 2 2 6−5√3 ), М( МО2 = ( 5 2 ). ; 2 11 2 )2 + ( 5√3 2 МО1 2 = (–  5√3 2 )2 + ( )2 = 49,  ¿>¿  МО = 7. 11 2 )2 = 49,  ¿>¿  МО1 = 7.                                                                                        Ответ: МО = МО1 = 7.