Тренировочная работа 1. Задача № 16 (планиметрия) из сборника: ЕГЭ Математика./ Под редакцией В.И.Ященко. .

Вариант № 40 Пятиугольник  ABСDЕ  вписан   в   окружность.   Из   вершины  А  опущены перпендикуляры AF, AH, AP и AQ на прямые DE, BE, CD и BC соответственно. а) Докажите, что ∠FAH = ∠PAQ. б) Найдите AH, если AF = ɑ, AP = b и AQ = c. а) Докажем, что  ∆ FAH и  ∆ PAQ подобны. 1. Так как ∠AFЕ = ∠ AHЕ = 90ᵒ, то AFЕH –  вписанный в окружность с диаметром AЕ,  ¿>¿   ∠AFH = ∠AЕH как вписанные углы. Также  ∠AЕH = ∠AЕB = ∠AСB как вписанные углы.      ¿>¿  ∠AFH = ∠AСB                    (1). 2. ∠AQС = ∠ AРС = 90ᵒ, и AQСР – вписанный  в окружность с диаметром AС,    ¿>¿   ∠AСQ = ∠ AРQ,  ¿>¿  ∠AFH = ∠ AРQ       (2). 3. Аналогично ∠AHF = ∠AЕF.  Заметим, что ∠AЕF +∠AЕD = 180ᵒ (смежные) и ∠AЕD +∠AСD = 180ᵒ (AСDЕ  вписанный),  ¿>¿ ∠AЕF = ∠AСD = ∠AСР;  ∠AСD = ∠ AQР, т.к. AQСР – вписанный.   ¿>¿ ∠AHF = ∠ AQР     (3).   Из (2) и (3) следует, что  ∆ FAH и  ∆ PAQ подобны. ¿>¿ ∠FAH = ∠PAQ. Доказано. б) Так как  ∆ FAH и  ∆ PAQ подобны, то AH : AQ = AF : AP,  ¿>¿  AH = AQ·AF AP  =  ɑ·c b  .                                                                  Ответ: AH =  ɑ·c b  .