Тренировочная работа 1. Задача № 16 (планиметрия) из сборника: ЕГЭ Математика./ Под редакцией В.И.Ященко. .

Вариант № 15 Медианы  АА1, ВВ1 и СС1 треугольника АВС пересекаются в точке М. Точки А2, В2 и С2 – середины отрезков МА, МВ и МС соответственно. а) Докажите, что площадь шестиугольника  А1В2С1А2В1С2  вдвое меньше площади АВС. б)  Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что АВ = 4, ВС = 7 и АС = 8. а)  Медиана   делит   треугольник   на   два равновеликих  ¿>¿   SAA₂C₁=SMA₂C₁ = S1;    SAA₂B₁=SMA₂B₁ = S2; SBB₂C₁=SMB₂C₁ = S3;    SBB₂A₁=SMB₂ A₁ = S4; SCC₂ A₁=SMC₂A₁ = S5;    SCC₂B₁=SMC₂B₁ = S6; Тогда  SA₁B₂C₁ A₂B₁C₂ = S1 + S2  + S3  + S4  + S5  + S6. SABC = 2(S1 + S2  + S3  + S4  + S5  + S6).    ¿>¿ SA₁B₂C₁ A₂B₁C₂ =   1 2 SABC  .              Доказано. б)  1. Заметим, что  А1В2  =  А2В1 =   ∆ АCM.  1 2   МС = c, как средние линии  ∆ BCM и Аналогично:  B1C2  =  B2C1 =   1 2   МA = a   и    С1А2  =  С2А1 =   1 2   МВ = b,   причем по свойству медиан:  c  =   1 3  СС1 ,  a =   1 3  АА1 ,  b  =  1 3  BB1 . 2. Продлим медиану   АА1   на её длину, получим параллелограмм ABDC c диагоналями AD и BC. Применив теорему косинусов для   ∆ ABC  и ∆ ABD, получим, что  AD2+BC2=AB2+BD2+DC2+AC2, ¿>¿ AD 2=4(AA1)2 = 2 AB2 + 2AC 2 – ВС2 ,  ¿>¿  (АА1)2 =   1 4 (2АВ2 + 2АС2 – ВС2).   Аналогично получим: (ВВ1)2 =   1 4 (2АВ2 + 2ВС2 – АС2)  и  (СС1)2 =   1 4 (2ВС2 + 2АС2 – АВ2),  ¿>¿ (АА1)2 + (BB1)2 + (СС1)2 =  3 4 (АВ2 + ВС2 + АС2).   ¿>¿  Сумма квадратов сторон  шестиугольника равна:  2 a 2 + 2 b 2 + 2 c 2 = 2 9 ∙  3 4 (АВ2 + ВС2 + АС2) =   Ответ: 21,5. 2 9 ((АА1)2 + (АА1)2 + (СС1)2) =  1 6 (16 + 49 + 64) =  129 6  = 21,5.