ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ ШКОЛЬНОГО ТУРА ПРЕДМЕТНОЙ ОЛИМПИАДЫ. МАТЕМАТИКА. 11 КЛАСС.

ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ ШКОЛЬНОГО ТУРА ПРЕДМЕТНОЙ ОЛИМПИАДЫ. МАТЕМАТИКА. 11 КЛАСС. Время выполнения работы – 3 часа. 1. Найти сумму целых решений неравенства: х  2  9 х х 2  0 5 баллов 2. Найти все действительные решения уравнения: х2 + 2хsin (ху) + 1 = 0. 7 баллов 3.   В   вершине  А  прямоугольника  АВСD  находится   паук,   а   в противоположной вершине – муха. Их разделяет вертикальная стена в виде равнобедренного треугольника ВDМ с основанием ВD и с углом при вершине М, равным . Найти длину кратчайшего пути от паука к мухе, если стороны прямоугольника равны  а  и  b. (Паук может двигаться только к той стороне плоскости прямоугольника, где находится стена, включая его границу, и по самой стене.) 8 баллов 4.   Проценты   содержания   (по   весу)   спирта   в   трех   растворах   образуют геометрическую прогрессию. Если смешать первый, второй и третий растворы в   весовом   отношении   2   :   3   :   4,   то   получится   раствор,   содержащий   32   % спирта. Если же смешать их в весовом отношении 3 : 2 : 1, то получится раствор,   содержащий   22   %   спирта.   Сколько   процентов   спирта   содержит первый раствор? 2 5. Найти наименьшее значение параметра с, при котором система   х    х   3  у 4 с 3  имеет одно решение.  ,0 2 у у   2 8 баллов 8 баллов Решение и ответы 1. Данное неравенство равносильно системе:  х    9 3 Искомая сумма целых решений равна: х   2   2х  4  3  3  ,1 х х х х 0           4 2 х , х  1 х   3 . , 2 (–1) + 0 + 1 + 2 = 2. О т в е т: 2. 2. Дискриминант квадратного уравнения. D  =   4  sin2  (ху)  –  4    0,   отсюда  |sin(xy)|  =  1   и  х  =  –  sin(ху),  х  =  1,    2 k 2 у =  , k  Z.    2   1  k 2   ,  Zk . О т в е т:  3.   Представим   себе,   что   треугольник  ВDМ  составлен   из   двух   слоев,   и сделаем   развертку.   Получим   шестиугольник  АВСD1МD2,   если   угол   при  3 2  вершине  В  этого шестиугольника меньше развернутого (он равен   ), то длина кратчайшего пути равна длине отрезка АС (на развертке). В противном случае она равна сумме соседних сторон данного прямоугольника. Получим ответ:   2  то, 2 а  2 b  2 аb sin  если 4. Пусть в первом растворе содержится  х  % спирта, во втором  у  % и в    третьем z % спирта. Это означает, что в 1 г первого раствора содержится , в остальных случаях а + b. х 100       у 100     г спирта и в 1 г третьего раствора – г спирта, в 1г второго раствора –     z 100     г спирта. Если возьмем 2 г первого раствора, 3г второго и 4 г третьего, то получим 9 г смеси, содержащей:    2 х 100  3 у 100  4 z 100    г спирта. По условию, это 9    32 100     г спирта. Получим уравнение: 2 х 4 z   3 у 100   9 32 100 . Аналогично для второго случая получим уравнение   z 3 х  2 у 100   22 6 100 . По условию, числа х, у и z образуют геометрическую прогрессию, поэтому у2 = хz. 4 z ,288  z  Найдем х из системы:   2 х  х 3   у 2  Учитывая условие, получим х = 12.  3 у  у 2  . хz ,132 2 с 3 2  у   1  ,1    3 х   .4 О т в е т: 12 %. 5. Перепишем уравнение:   х    у Построим график функции  с Наименьшему значению параметра соответствует окружность с центром в  сВ     , при котором система имеет одно решение.  и покажем положение окружности  0;3  4  3  0; |3 х |  1  1 у  у  2     4 С  х  3 2 точке А. АС – биссектриса  ВСЕ, tg ОСD =  Значит, ОСD = ВСЕ = 60°. OD ОС  :4     4 3    3 .   ВСЕ = 30°. АСВ =  1 2 АВ tg30° =  ВС АВ  30 tg ;  3 ВС =  ВО = ВС + СО, так как С < 0. . с Значит,  7 О т в е т:  3 3  3 4 3  с с с 1 4 3 7 3 7 3 . . Всего 36 баллов.