Конспект урока "Возрастание и убывание функции через производную" 11 класс

1 Тема раздела: «Применение производной к исследованию функций» Тема: «Возрастание и убывание функции» (2 часа) Оборудование: ноутбук, проектор, экран, карточки для работы в парах,  опорные конспекты по теме. УМК: «Алгебра и начала анализа» 10­11 класс, для общеобразовательных учреждений, Ю.М.Колягин,  М.В.Ткачева и др.  Цели урока: Образовательные:  а) Сформировать у учащихся представления о связи монотонности функции с её  производной;                                                                                                          б) Научить находить промежутки монотонности функции с помощью  производной.  Развивающие:  а) Совершенствовать графическую культуру учащихся, культуру поисковой деятельности;  б) Развивать умение анализировать, сравнивать,  обобщать и формулировать выводы по результатам  собственной  и коллективной деятельности. Воспитательные:  а) Воспитывать личную ответственность, положительное отношение к знаниям, умение  работать в парах. Тип урока: урок формирования и первичного применения  новых знаний. Вид урока: комбинированный. Ход урока 1 Организационный момент. Приветствие. Мотивация: В этом году вы познакомились с понятием производной функции, операцией  дифференцирования.  Учились работать по формулам и правилам дифференцирования.  Решали задачи,  связанными с её геометрическим и механическим смыслами. Но  производная – это ещё и уникальный  аппарат для изучения свойств функции. Например, с помощью  производной можно находить промежутки монотонности, ее наибольшее и наименьшее значение, решать  практические задачи. Сегодня нам предстоит выяснить, как именно можно применять производную к нахождению промежутков  возрастания и убывания функций. Но прежде  ­  немного повторения! 2 Актуализация знаний 1) Вспомним понятия возрастания, убывания и  монотонности функции Напомним, что функция f(x) называется возрастающей на некотором промежутке, если большему  значению аргумента соответствует большее значение функции, т. е. для любых точек х1 и х2 из этого  промежутка, таких, что  х2>х1 выполняется неравенство Если для любых точек х1 и х2 из данного промежутка, таких, что х2>х1 выполняется неравенство   f(x2)0 для всех  х (a;b), то функция  возрастает на интервале (a;b)».   Тогда угловой коэффициент касательной к графику будет положителен в каждой точке, т.е. касательная  направлена вверх и график функции «поднимается»   f/(x) >0=>k = tgα >0=> f(x)­ возрастает б) Если в некотором промежутке первая производная функции меньше нуля, то функция убывает на этом  промежутке. ИЛИ  Теорема2. «Если функция  f(x)  дифференцируема на интервале  (a;b)  и  f/(x) < 0 для всех  х (a;b), то функция  убывает на интервале (a;b)». Тогда угловой коэффициент касательной к графику будет отрицателен в каждой точке, т.е. касательная  направлена вниз и график функции «опускается»   f/(x) <0=>k = tgα <0=> f(x)­ убывает Промежутки, на которых функция только возрастает или только убывает, называются промежутками  монотонности. 4. Применение полученных знаний при решении задач ЕГЭ (база, профиль) 3 4 5 Алгоритм: 1)Находим производную исходной функции f’(x) 2) При f’(x)>0 функция f (x) возрастает, при  f’(x)< 0 функция f (x) убывает. 5.Решение упражнений по учебнику: №1 (неч), №2 (неч) 6.Усложняем нашу тему и добавляем понятие критических точек и почти полное исследование  функции с рисованием эскиза графика: ОПР: Переход от возрастания к убыванию и обратно возможен лишь в точках, при переходе через которые,  производная меняет свой знак. Такими точками являются те, в которых производная равна нулю или не  существует, они называются критическими.  Порядок нахождения промежутков монотонности: 1 Найти область определения функции. 2 Найти первую производную функции. 3 Найти критические точки 4 Исследовать знак первой производной в промежутках, на которые найденные критические точки делят  область определения функции. Найти промежутки возрастания и убывания функций: f(х) = х4 ­ 2х2;           Решение: f/(x) = 4х3 ­ 4х,  f/(x)>0, если 4х3 ­ 4х >0,  х3 ­ х >0,  х(х­1)(х+1)>0     1 D(f) = R 2 3        f/(x):      ­              +                ­               +                                                                                       х f(х):              ­1              0               1                            6 4 Функция убывает на промежутках  (­∞;­1)]  и [(0; 1)] Функция возрастает на промежутках [(­1; 0)]  и [(1; + ∞)]    Найти промежутки монотонности функций: 1)  а) область определения  б) найдем первую производную: в) найдем критические точки:  Исследуем знак производной в полученных промежутках, решение представим в виде таблицы.  и  ;  ,  , , 0 2 ­ 0 0 + ↑ 0  ↓  ­ 4 + ↑ Итак, в промежутках  убывает. Г) Построим эскиз графика функции   функция   возрастает, в промежутке    2)  а) область определения  б) найдем первую производную:  в) найдем критические точки: Исследуем знак производной в полученных промежутках, решение представим в виде таблицы. ;  ,  , , 0 0 ­ ­ ↓   ↓ 7  убывает на всей области определения. . Функция  3)  а) область определения  б) найдем первую производную:  в) найдем критические точки: Исследуем знак производной в полученных промежутках, решение представим в виде таблицы. ;  , ;  , 2, 5 0   + ↑ ­ ↓  возрастает на промежутке  Функция  Самостоятельно найти промежутки монотонности функции  f(x) = 2х3 ­6х f(x) = x4 ­2x2­3 f(x) = x3 + 3x2­ 4  f(x) = x3 – 3x2+ 4 , убывает на промежутке  . 7. Решение упражнений по учебнику: №3 (неч) №4 (неч) – исследовать функции 5)Решение:  Y’=1­2cos2x Решим уравнение y'=0: 1­ 2cos2x=0 <=> cos2x=1/2 <=> 2x=+­pi/3+2*pi*n <=> x=+­pi/6+pi*n На заданный интервал попадают только x=­pi/6 и x=pi/6. Знаки производной на трех интервалах: +­+ Значит, функция возрастает убывает  возрастает №3 1)  2)  3)  4) 8 5)  №4 6)  1) 8. Итоги 9.Домашнее задание 3)  №1­№2(чет) – возрастание /убывание №3­№4 (чет) – исследование функций Приложение 9 10