Тригонометрические преобразования

Зависимость между тригонометрическими формулами одного аргумента  2sin 1   2cos   (sin 2   )2cos  ctg  tg  ntg nctg  ; 2sin   1 2cos   1( cos  1)(  cos  )  1  1 ctg 2   1   ; 2cos 2 sin   1 2cos   1 1  ctg 2   1 tg   2  tg  tg  cos  cos sin  ;  2cos   1 2sin   1( sin  1)(  sin  )  cos   1 2sin   1 1  tg 2   1 ctg  ctg 1 tg 2   1  2cos  ; 2  ctg  sin  sin tg  ;  cos(   )   ) sin(  ); tg (   ) tg  ; ctg (   ) ctg  . tg   sin cos    1 ctg   1 sin   2sin  2cos cos   1  1   1   1 2cos ;   1  1 2sin  ;  1  1  2  2cos   cos 2sin   sin   ctg  cos sin 1  tg 2  1  ctg 2 2  tg  ctg 2     ;    1 tg 1 2cos 1  2sin 1 2cos  1  2sin   1  sin( ; cos ;  1  ; ; Теоремы сложения sin( cos(   )   cos ) ctg  ) (  tg  ( )  sin    cos    sin cos   ctg ctg   ctg ctg   tg tg   1 tg tg . ;   cos sin   sin ;  1  ; Формулы двойного и тройного аргумента   4sin   (cos   sin  )(cos  sin  )      2sin 2cos 2sin21    1 sin2 2cos   2sin  4cos   ;1 ;2)  cos   cos ; 2sin    2cos  2   (sin ;2cos   1  2cos  1 tg 2cos   2 1   2 ctg 3sin     2 2sin2    2 tg  tg  ctg ctg 2  sin3   1   ; ; 2 sin4 3  ; 3cos   4 cos 3   3 cos  . Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму sin  cos  )   sin(  ))  ; cos  cos  )   cos(  ))  ; sin  sin cos  sin  )   )    cos(  ))  ; sin(  ))  . (cos(  (sin( 1 2 1  2 1 (cos( 2 1  2 (sin(  Формулы половинного аргумента  2  1   ; cos 2 2 cos 2  2  1 cos  ; ; sin   1  2  ; cos 2 sin  2 1    ; cos 2 cos 2 1    2 cos 2  ; cos cos  1  1  2 tg  tg 2  2  2 sin2 2  2  1 cos  ; sin  2 ctg  2 cos   1   1 ;  cos 2 tg  tg  1  2  2 2 ; ctg  2  1 1   cos cos   1    sin cos  sin   cos   1 ; ctg   tg 1  2 tg 2  2  2 ; 2 tg  2 1  1   tg   1 2 tg  tg  ;  cos cos  2 2  2 tg  2  1 1   cos cos   1    sin cos  sin   cos ;   1 ; 1  sin   (sin  2  cos 2 ;) 2 Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение cos  ctg cos cos cos ctg        2 cos   cos   sin2 ; tg  ctg   sin   sin   sin2 ;   tg   ctg    ; 2   2  2   2 cos  2 sin  2  )   cos sin( cos ;   )  sin   )  cos ; sin( sin cos( cos 2 2sin  sin ;   tg  tg  ; cos   2 cos( tg  ctg   2  ;2 ctg cos   sin   2 sin(  4  4   );   ). 1. Основные тригонометрические формулы как основа аппарата тригонометрических преобразований Тригонометрическое преобразование­ это такой стандартный порядок действий,  применение которого приводит к значимому целевому изменению исходного выражения. B C  Рис.1. Определение: синусом острого угла  прямоугольного треугольника называется  отношение противолежащего катета к  гипотенузе. sinα=BC/AB, (рис. 1). A Определение: косинусом острого угла  прямоугольного треугольника называется  отношение прилежащего катета к  гипотенузе. cos =α AC/AB, (рис. 1). Определение: тангенсом острого угла  прямоугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему  катету. tgα=BC/AC, (рис.1). Здесь же  появляется основное тригонометрическое тождество, первые  α тригонометрические формулы и таблица значений sinα, cosα, tgα для углов  40о, 60о. sintg  cos  –основное тригонометрическое тождество;     1 2  ; sin 2 cos  равных 30 о, sin 2   1 2 cos  ; sin   1 cos 2  (*); 2 cos   1 sin 2  ; cos   1 sin 2  (**). α 30o 45o 60o sinα cosα 1 2 3 2 2 2 2 2 3 2 1 2 tgα 3 3 1 3 Замечание. Для формул (*) и (**) в восьмом классе знак “±” перед корнем не  учитывается, так как рассматриваемые углы  связаны соотношением 0о< <90α о, и, следовательно, выбираются положительные значения. Следует обращать внимание учеников на этот нюанс, а то, в дальнейшем, при  изучении 0о< <180 α о, это может привести к ошибкам. радианная мера угла, поворот точки вокруг начала координат. Напомним их. Радианная мера угла. Рассмотрим окружность произвольного радиуса R и отметим на ней дугу PM,  длина которой равна R, и угол POM (рис. 2).  Центральный угол, опирающийся на дугу, длина  R которого равна радиусу окружности, называется  углом в один радиан. )π °, 1рад=(180/ αрад=((180/ ) )π α °, 1°= /180π рад, R              O M P Рис. 2. α°=(π/180)αрад Поворот точки. Между действительными числами u точками окружности c помощью  поворота точки окружности можно установить соответствие. Рассмотрим   на   координатной   плоскости   окружность   радиуса   1   c  центром   в начале   координат.   Ее   называют   единичной   окружностью.  Введем   понятие поворота   точки   единичной   окружности   вокруг   начала  координат   на   угол     α радиан, где  –α любое действительное число. y О M  P(1,0) X y О           P(1,0) X 0 M Рис. 3. 1. Рис. 4. что точка, двигаясь от точки P против  часовой стрелки, прошла путь длиной  Пусть  α>0.   Предположим, ,α (рис. 3).  Конечную   точку   пути  обозначим  M.   В  этом   случае   будем   говорить,   что точка М получена из точки P поворотом вокруг начала координат на угол  α  радиан. α 2.Пусть  <0. В этом случае поворот на угол   радиан означает, что движение  α совершалось по часовой стрелке, и точка прошла путь длиной | α |, (рис. 4). 3. Поворот на 0 радиан означает, что точка осталась на месте. Итак, введение  в рассмотрение углов любой величины позволяет поставить во взаимно однозначное  соответствие множество всех действительных чисел и множество всех углов на  плоскости, в силу которого всякому действительному числу соответствует некоторый  угол ориентированной плоскости, и наоборот–всякому углу соответствует некоторое  действительное число. 4. Далее изучаются тригонометрические преобразования и формулы им  соответствующие. Приведем некоторые формулы, изучающиеся на этом этапе: 1)формулы сложения: cos(α+β)=cos cosα β­sin sinα β; cos(α­β)=cos cosα β+sin sinα β; ;β sin(α±β)=sin cosα β±cos sinα 2)формулы синуса, косинуса двойного угла: sin2α =2sin cosα α; cos2α=cos2α­sin2α; 3)формулы приведения; 4)формулы суммы и разности синусов, косинусов углов: sin   sin   sin2 sin   sin   sin2 cos  cos ; ;    2  2   2   2  2  2  2  2 ; . cos   cos   2 cos cos cos   cos   sin2 sin 5. Затем, изучаются тригонометрические уравнения и неравенства. 6. Курс изучения тригонометрии в школе заканчивается изучением  тригонометрических функций. Замечание. Одним из самых сложных этапов следует считать третий, так как в  рамках этого этапа устанавливается связь между градусной  и радианной мерой угла. Изучая тригонометрию, обычно выделяют следующие группы тригонометрических  формул.                 информация Смысл (содержание,значение) Структура (форма) Информация Соответственно этим трем особенностям информации возникают познавательные связи трех видов: смысловые, ассоциативные и структурные. Создание таких связей  служит основой закрепления информации в памяти, то есть запоминания. Ещё одной очень важной особенностью запоминания является не только  целесообразность выбора связей, но и то, что выбираемые связи должны быть  релевантными.  Релевантными  называются такие связи, которые обеспечивают включение новой  информации в области информационной сети (информационная сеть у Лёзера ассоциируется  здесь с памятью, состоящей из множества смысловых, ассоциативных и структурных связей, запечатлённых индивидом под влиянием его интересов и на основе его познавательных  ресурсов), соответствующую закономерностям этой информации нашим интересам и  познавательным возможностям. Дадим наши рекомендации в соответствии с выше описанными тремя типами связи. Замечание. Указанные ниже последовательности рекомендаций представляют  собой последовательность действий при изучении одного блока формул. 1. Рекомендации, связанные c образованием смысловых или содержательных связей.  Соотносим словесную формулировку и формулу или создаём словесную  формулировку по формуле (например, сумма синусов двух углов равна  удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на косинус  полуразности этих углов): sin   cos   sin2  . cos  2  2  Изучаем или создаем вывод (обоснование) формулы.  Выявляем причинно–следственные связи между каждым коэффициентом, знаком и тому подобное в новой формуле и их "аналогами" исходных формулах: ctg  ( )  ctg ctg   ctg ctg   1  . При выводе данной формулы, получаем в числителе (ctg ctg ­1  α β ). Знак "­"  появляется за счет того, что cos( + )=cos cos α β­sinαsin , β  то есть за счет "­" α β этой формуле.  Сравниваем поэлементно новые формулы и их "старые аналоги" и  причинно–следственные связи между ними: cos2α=cos2α ­sin2α=cos4α­sin4α=(cosα+sinα)(cosα­sinα)=1­2sin2α=2cos2α­1. Из известной формулы cos2α=cos2α­sin2α вытекает множество формул,  4α­sin4 α,  необходимых при решении задач. Например, формула cos2  = cos получается из данной формулы путем умножения ее на α тригонометрическую единицу, то есть cos2 =(cos =(cos2α­sin2α)(cos2α+sin2α)=cos4α–sin4α. В итоге мы получаем формулу 2α­sin2α)*1= α разности квадратов, сворачивая которую, получаем нашу искомую формулу.  Применяем формулы в элементарных ситуациях. Пример.   Проверить справедливость равенства: cos47°+cos73°=cos13°. 1. Рассмотрим левую часть: соs47°+cos73°. 2. Применим к ней формулу преобразования суммы косинусов в  произведение: cos47°+cos73°=2cos ((47°+73°)/2)cos ((47°­73°)/2) =2cos60°cos13°=2(1/2)cos13°=cos13°. Преобразованная левая часть совпадает с правой частью, следовательно, равенство  справедливо. 11. Рекомендации, связанные с созданием структурных связей.  Формулы распредепяем по группам или подгруппам, используя, например,  следующие основания:  множества, на которых заданные формулы единообразны;  идеи доказательств формул схожи;   сферы применимости и условия применимости аналогичны; какие­либо внешние, возможно, структyрные особенности схожи. Мы распределим формупы по идее доказательства. Например, общая идея  доказательства имеется у формул преобразования суммы тригонометрических функций в  произведение. sin x  y sin  sin2  2  2  cos   2   2 ;  cos  2  2 ; cos x  cos y  2 cos . cos x  cos y  sin2 sin  Выявляем особенности получения формул, выстраивая их в определенной последовательности. β 1. Сначала мы обозначаем аргументы: х+у= , х­у= . α 2. Спожим α и β, получим 2х=α+β=> x  2   Вычитая β из α, получаем 2у= ­α β=> y  . 2 3. Подставим полученные значения в следующие формулы: sin x  cos y cos x  cos y   (sin( x  y )  sin( x  y )) ; (cos( x  y )  cos( x  y )) ; sin x  sin y  (cos( x  y )  cos( x  y )) ; sin x  cos y  (sin( x  y )  sin( x  y )) . 1 2 1 2 1 2 1 2 4. Получаем формулы:   2 sin2 sin sin      ;  cos cos   cos   sin2  ; sin  2 cos   cos   2 cos  . cos  2  2 sin   sin   sin2 sin   sin   sin2  ; cos  . cos  2  2  2  2  2  2 Сходства в подгруппе: –удвоенное произведение синуса на косинус; –аргументы выражены в виде полусуммы или полуразности. Различия между формулами в подгруппе: –если сумма синусов, то в произведении будет синус полусуммы  разность синусов, то в произведении имеем синус полуразности α и β; –если сумма синусов, то в произведении будет косинус полуразности α и β, a если   и α β. разность синусов, то в произведении имеем косинус полусуммы   2   sin2   ;       2 cos   cos   cos  cos cos cos  2  2  2 sin .  и α β, a если  Сходства в подгруппе: –удвоенное произведение; –аргументы имеются в одной и той же последовательности, сначала полусумма  β, a затем их полуразность. Различие между формулами в подгруппе:  иα –если сумма косинусов, то будет произведение косинусов, а если разность  косинусов, то будет произведение синусов; –если сумма косинусов, то перед произведением знак "­" не нужен, a если  разность–нужен.  Рекомендуем ученикам запоминать формулы не по одной, a группами,  ориентируясь на сходства и различия между формулами в одной группе. Учитывая вышеуказанные пункты, рекомендуем ученикам запомнить формулы: sin   sin   sin2 cos   cos   sin2 sin cos   ; 2   2  2  2 cos   cos   2 cos .  cos ;  2  2  Выделяем способы применения и виды задач, решаемых с помощью формул  данной группы. Пример. Упростите выражение:  cos sin     cos sin         .   cos sin  2  2 sin cos cos sin  2  2   sin2 sin2   sin   cos  2  2  tg   2 . 111. Рекомендации, связанные с ассоциативными связями. Правило 1. Если сумма синусов, то первый аргумент полусумма, а если разность,  то наоборот. Правипо 2. Если сумма косинусов, то произведение косинусов, а если разность, то  произведение синусов. Замечание. В качестве мнемонических правил могут выступать слова, предложения,  выражения, ассоциации, набор преобразований или наборы формул и т. п. Очень важные мнемонические правила, используемые при решении задач,  связанных с преобразованием выражений. 1. Установи связь между аргументами (правильно установленная связь подскажет  нужную формулу или поможет выявить последовательность формул). 2. Старайся уменьшить количество арryментов. 3. Старайся уменьшить количество тригонометрических функций, используемых в  выражении. Замечание 1. Данное замечание дает рекомендации по запоминанию значений тригонометрических функций от "хороших" углов. 1. Первый способ заключается в "прописывании таблицы": π ), cos π α б) затем, в столбик выписываем функции sin( а) выписываем в строчку "хорошие" углы: 0°, ( /6), ( /4), ( /3), ( /2); ), α то есть, получаем ( π π 0 π/6 π/4 π/3 π/2 табличку: α sinα cosα в) заполняем эту таблицу: в строку под углами напротив синуса пишем 0, 1, 2,  3, 1, а для косинуса в обратном порядке, то есть: α sinα cosα 0 0 1 π/6 π/4 π/3 3 1 3 1 2 2 π/2 1 0 г) значения для углов 0 и п/2 так и остаются, а для остальных углов значения  делим пополам и записываем в виде дроби: α sinα cosα 0 0 1 π/6 π/4 π/3 π/2 1 2 3 2 2 2 2 2 3 2 1 2 1 0 д) теперь из числителей полученных дробей берем квадратный корень, то есть: α sinα cosα 0 0 1 π/6 π/4 π/3 π/2 1 2 3 2 2 2 2 2 3 2 1 2 1 0 таким образом,получаем: α sin(α) сos(α) 0 0 1 π/6 π/4 π/3 π/2 1 2 3 2 2 2 2 2 3 2 1 2 1 0 2. Второй способ рекомендует запомнить значения функций от "хороших" углов  через наглядный геометрический образ, который восстанавливается в сознании, как бы в движении. Опишем этот способ на примере, отметим cos(π/3): а) выберем линю косинусов (абсциссу, ось ох); б) на ней размещаем значения  1  2 ;5,0 2  ;  7,0 2 3  ;   (риc. 5.1); 2 8,0 y О 0.5 0.7 0.8 x Рис. 5.1 3/ проводим мысленно луч, соответствующий, например, углу  /3 π до пересечения с окружностью, (риа 5.2); г) опускаем перпендикуляр на ось абсцисс и получаем  0.5 0.70.8 x значение похоже близкое 1/2, (риа 5.3). Аналогично этот процесс можно  показать y Рис. 5.2 4/ y 3/ О 0.5 0.70.8 x О 0.5 0.70.8 x Рис. 5.3. Рис.5.4. замечание рекомендует, переводить радианную  в) y О для  синуса,  косинуса и тангенса.  Например,  tg( /4).  π (рис. 5.4) Заме чание 2. Данное как лучше меру угла в градусную и наоборот: а) сначала рекомендуем запомнить соответствие градусной и радианной меры для "хороших" углов (0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°); б) рекомендуем учащимся создать "укрепленную"единичную окружность, где  будут расположены разными цветами градусы и радианы (радианная и градусная мера угла); в) даем на уроках математические диктанты перевода градусов в радианы и наоборот. Пример: перевести  13 15  в градусы, 274° перевести в радианы.  Оценки за такой диктант не ставить. 3. Тригонометрические преобразования и их виды Тригонометрические преобразования и их виды.   Условно все тригонометрические преобразования можно разделить по двум  основным видам: –по составу преобразований (сложные преобразования и простые); –по предмету (математический раздел, откуда берутся преобразования).  По составу преобразования делятся: – элементарные; – неэлементарные. Эпементарные тригонометрические преобразования. Преобразование основных формул в явном виде: 2cos x  4cos x  2 cos  2 3cos xcox (  2) x x 2  2 x 3cos 4 x 2 x cos 4 x  2  2 cos 6 x 2 cos  x 2 2  cos . x Преобразование должно формироваться сначала в развернутом виде, очень  подробно, затем с помощью устного упражнения и математических диктантов должно  быть свернуто. Правильно сформулированное свернутое преобразование всегда можно  развернуть в подробную цепочку с помощью специальных требований.Данными  требованиями пользуются,если хотят найти или исправить ошибки учащихся. Если преобразование сформупировано не правильно, да еще и свернуто, то  развернуть его практически не возможно. Можно попытаться на индивидуальных  занятиях доказать ученику, что так делать нельзя, и затем приступать к  формированию требований преобразований. К      преобразованиям в     явном     виде можно отнести использование: cos( 1) формул приведения:   2 2 2) алгебраических формул: cos(  ,  ) sin     )2  2sin  ; (sin   cos  2)  2sin   sin2  cos  2cos  ; 3) формул преобразования суммы в произведение: 2 sin   2 sin  ; 1  cos   sin2 2  ( ) 2  0cos   cos ;  1 1   sin sin     формулы полные квадраты; cos   sin   sin(  2   )  sin .  Элементы преобразований, основанные на алгебраических преобразованиях  можно формировать разу в устных упражнениях.  cos   2cos  cos  ,  , 2cos  sin 2   sin2  cos  2 cos .  Элементы преобразований, основанные на явном применении  тригонометрических формул в устных упражнениях должны появляться после  письменной работы с учениками. Специальные преобразоеания. Специальные преобразования можно условно разделить на элементарные и  неэлементарные. Хотя это деление весьма условно, но для качества учебного  процесса важно начинать с более простых преобразований. 1. К элементарным преобразованиям можно отнести преобразование, условно  называемое "увидеть формулу". Например, известная формула может выглядеть  так: tg   tg tg   1   ) (  tg tg . В контексте конкретной задачи замена левой части на правую, или наоборот,  может привести к нужному результату сразу. Эта формула в более сложной  ситуации может быть представлена следующим образом: 1 1   tg tg    tg  (   ) 4 . Сравнивая эти два преобразования, можно понять, во­первых, условность  разделения преобразований, а, во­вторых, разный уровень их спожности. Усложнение использования указанной формулы проявляется в задаче  № 13.98 из “Сборника задач по алгебре для 8–9 классов” М.А. Галицкого и др. tg     tg tg tg tg tg * * , если     . tg  1(  tg  ) tg  tg   tg  0 , tg     tg   1 tg tg tg  0 , tg  tg  tg  tg       , ,   ) ( 0   ( )   0 , tg   tg 0 , 0=0. 2. К элементарным преобразованиям можно отнести применение формулы "слева направо", а также "справа налево". Например, №13.46 "Сборник задач по алгебре для 8­9 классов" М.А.Галицкого  и др. показывает применение основного тригонометрического тождества слева  направо и  справа налево. 6sin   6cos   2sin3  2cos   1 , 6sin   6sin   6cos   3)2   6cos   (sin3 3)2cos 2sin3   2)2   2sin3 2cos  2cos 31   2 .1    12cos  2sin3   (sin  (sin  (sin  (cos 3)2   2)2  (cos  (cos 3)2  3)2  2sin3   2cos  (sin 2   )2cos   В третьей строке применение основного тригонометрического тождества осуществляется справа налево. А в последней строке применение формулы осуществляется слева направо. 3. Рассмотрим еще одно преобразование. Кратко его можно назвать "диктуемое вынесение множителя за скобки". Например,требуется доказать  Можно заменить  2 ctg ctg 2   cos 2   ctg 2 .  cos 2  на  2 cos  или  2 sin , в левой части привести к  общему знаменателю, вынести множитель и получить правую часть. Однако, если это равенство имеет место, то оно "диктует": вынести в левой части  2 ctg  или  2 cos , скобках получим  2 cos ctg 2   2cos   ctg 1(2   )2sin   ctg . Покажем это: 2cos  или 2  ctg 2   2cos   (2cos  1 2sin   )1 ctg 2  . 2cos Заметим, что в последней цепочке равенств имеется выражение в скобках, которое трудно узнаваемо учащимися. Они вместо применения формулы приводят к  общему знаменателю. Аналогично, можно показать всё относительно упражнения 2   tg 2sin   tg 2 .  2sin 4. Рассмотрим элементарное преобразование, определяемое связью между  аргументами. Пример: вычислить  Непосредственное нахождение    ) sin( 4/ , если  cos  2/1  и   . 2/ sin(   )  невозможно, т.к. известна  4/ α тригонометрическая функция лишь от угла  , поэтому  для того, чтобы найти sin(   ) 4/ sin(   ) 4/ мы определяем преобразования по формулам сложения, то есть sin(  cos( cos )4/ )4/ sin    = . Здесь хорошо видно как аргумент влияет на выбор того или иного  преобразования. В нашем примере после применения формулы сложения появляются значения функций от "хороших" углов (известных нам) и значения  функций от угла . То есть sin(  )4/ cos   sin  cos( )4/  2 2  ( 1 2  sin  ).  2 2 cos   2 2 sin   2 2 (cos   sin  )  | cos   |5,0  А  sinα находится из основного тригонометрического тождества по известному cosα=­0,5 и углу α,   2/ , таким образом, sin  3 2 . Возвращаясь к  нашему равенству, имеем: (    1 2 sin  ) 2 2 1. В самом сборнике задач М.А. Галицкого и др. приведена классификация 2 2 2 4 3 2 ).3  1 2 1(    ) ( задач и упражнений по тригонометрии по         группам формул. Выделим эти группы и приведем наиболее интересные примеры из каждой  группы. 1. Определение синуса, косинуса, manzexcn и котанzенса. Радианная мера,уига  (13.1­13.25).   30 sin2 13.1.  Данное упражнение требует от учащихся знания значений функций от "хороших" sin3 ctg tg 30  45  60  . углов. 13.21. Сравнить два числа  cos(  и  )11/ cos 2  . )11/ (  Для того чтобы сравнить два числа необходимо найти их разность,а потом оценить её. Если она будет положительной, то первое число будет больше второго, а если отрицательной, то наоборот 2. Зависимости  между функциями одного аргумеита. Формулы  приведения (13.26­13.72). 13.43. Вычислите ctgl°ctg3°сtg5°...ctg89°. Заменяем все множители, начиная с ctg46°,...сtg89°, по формулам приведения на  tg44°,...tg1°. После этаго группируем множители по формуле tg ctg =l,  α α то есть  tg1°ctgl°=1,...tg89°ctg89°=1. Остаются произведения единиц на ctg45°, значение  которого равно 1. 3. Теоремы сложения (13.73­13.103). 13.85. Докажите тождество  sin( tg  )    tg  cos  . cos Рассматриваем левую часть и делаем следующие преобразования: заменяем тангенсы углов по определению, приводим к общему знаменателю и сокращаем. Получаем,что преобразованная левая часть равна правой части,  следовательно,тождество доказано. 4. Формулы двойного и половинною аргумента (13.104­13.158). 13.129. Найдите cos2 , α если cos sin     sin2 2 cos    1 2 . 2 cos  ­ 4sin   ­sin   2cos  . sin3   0 sin   .0 2cos   sin2 2  2cos  .1  10*21  .1 5. IIpeoбpазoвaнue суммы тригонометрических функций в произведение и обратно (13.159­13.201). 13.177. Упростите выражение: 2 cos   2 cos   cos(  )   cos 2   2 cos   (cos(  )    cos(  ))    cos 2   2 cos   (cos   )2cos   cos 2   2 cos   2( cos 2   21 2 cos  )1 1 2  2 1 2  2 cos   2 cos  2 sin   2 sin   1 2   1 2 1 2 1 2  (cos 2  sin 2  )  (cos 2   2 sin  )  .1 1 2 1 2 1 2  1 2 1 2 Использование данной классификации задач позволяет изучить формулы и  познакомиться с их применением, но для того чтобы научить учащихся решать задачи  на преобразования тригонометрических выражений этой классификации не достаточно.  Чтобы добиться успеха в этом вопросе, необходимо тщательно изучать условия задач.  Анализ условия удобно изучать на задачах одного сюжета. А дополнительные условия в рамках одного сюжета позволяют подробнее разобрать изучаемый вид задач. 11. Данная классификация представляет собой классификацию  задач и упражнений по сюжету. 1. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения. 13.103. В каких пределах находится отношение суммы катетов к гипатенузе в  прямоугольном треугольнике.  B b C c  a Обозначим  cos α α a/c+b/c=sin +cos ca / A ,   sin cb ./ ba  c  sin   cos  . Теперь необходимо оценить sinα+cosα.  sin ,2/ 0  sin( 1   cos    4/  *2 4/34/  )4/ 2/2*       2/2 (sin sin( cos     .2   2 )2/2*  2 sin(   ),4/ ,1)4/  Следовательно,  1  ba  c  .2  Ответ (1, 2 ). К данному сюжету можно отнести также следующие номера задач главы 13:  13,14,51,52,69,70,71,72,89,90,91,103,134,135,136,137,168,176. 2. Верно утверждение? 13.15. Возможно ли раеенство: sin   2 cos   3 ? 41  ,5 1 5 sin   2 5 cos   3 5 ,    sin  1 5 ,    cos 2 5 , получаем: sin  sin  cos  cos  3 5 ,  cos(   ) 3 5  ,то есть cos  3 5 1 , что невозможно, так как   1 cos  .  1 Также можно отнести к заданиям такого рода и следующие номера задач главы 13: 5,10,11,12,15,180,182. 3. Определить знак тригонометрического выражения. 13.6. Какой знак имеет сумма  sin   sin   sin  , если   , , –углы  треугольника. Поскольку  0   180 ,   0    180 ,   0 второй четверти, следовательно,  sin  ,  0 sin   sin   sin  >0.   180 , то  sin  ,  0  , , – это углы первой или  sin  . Поэтому 0 Также можно отнести к заданиям такого рода и следующие номера задач главы  13: 6,19,20,21,22,23,119. 4. Определить четверть, в которой находится данный угол. Для их решения необходимо знать какой знак имеет любая тригонометрическая  функция в каждой из четырёх четвертей. Номера задач этой группы: 13.7,13.8. 5. Доказать тождество. Номера задач этой группы из главы 13: 45­48, 55, 59, 85­88, 97, 98, 108, 109, 121­ 124, 146­148, 159­161, 165­167, 170, 172, 174, 175, 179, 181, 198, 199. 13.55 . Докажите, что при всех допустимых значениях переменных выражение  принимает одно и то же значение: 4 cos sin 2 2  sin   sin 2 2   sin sin sin   cos 2 2 2   cos cos 2 4     2 2 sin cos 2   cos cos 2   2 cos sin 2 2    sin   cos (cos (sin 2 2 2  )  )   2 2 sin cos 2   (sin (sin 2   2 2 cos cos  )  )  2 cos sin 2     2 2 sin cos    1  2 2 sin sin   2  1  cos cos  2    (sin1 sin 2 2    2  cos cos  )  2  .1 Мы показали, что при любых значениях переменных   и α β значение данного выражения всегда =­1. 6. Доказать неравенство. 13.115. Докажите неравенство: sin2α<2cosα, если ­ /2<π α< /2.π sin2α­2cosα <0, 2sinαcosα­2cosα <0, 2cosα(sinα­1)<0. Так как ­ 2cosα(sinα­1)<0, то есть sin2α<2cosα. К задачам этой группы относятся: 24, 25, 60­64, 95, 96, 115. α< /2π , то 2cos α>0 и ­1sinα 1, ­2sinα­1<0,  /2<π 7. Упростить еыражение. 13177. Упростите выражение: 2cos   2cos   cos(  ) cos(   )  2cos   2cos   1 2 (cos(  )    cos(     )) 2cos    2cos   1 2 (cos  2  cos  )2  2cos    2cos   1 2 2cos 2(   21 2cos   )1 2cos   2cos   2cos   1 2 2cos   .1 1 2 К  номерам задач этой группы относятся: 37­42, 44, 53, 54, 57­59, 64, 78, 9294, 130­ 133, 125, 163, 171, 173, 178. 8. Найти значение выражения. 13.101. Найти величины α и β углов ромба, если sin(α­ /2)+β  + sin(α/2­ )=1  β Так как α, β ­ углы ромба, то α+β = , π то  =α π–β. sin(   sin((  1) 2/) )2/       ,  ,1) sin(  ))2/3(   sin(  2/   2/   sin(  )2/3  cos(  ,1)2/3  2 (sin(  2/2)2/3  cos(   1)2/2)2/3 , sin((  )2/3  )4/  .2/2 0  ,  2/34/     4/74/   , то есть   2/3   4/74/    и   2/3   4/  2/3   4/34/   ,  2/3   2/   3/ .   4/ .   .3/23/   Номера задач этой группы главы 13: 1­4, 9, 16­18, 26­36, 43, 49, 50, 65­68, 73­84, 99­102, 104­107, 110­114, 116­118, 120, 126­129, 138­145, 149­158, 162, 169, 183­197, 200, 201. На заключительном этапе изучения данной темы обобщаются методы и приемы решения известных типов и видов задач, поэтому вышепредставленная классификация задач по сюжету прекрасно дополняется классификацией задач по методу решения. Данный метод используется при решении многих задач, но способы его реализации в разных заданиях отличны друг от друга.  Выясняем при помощи оценки возможно ли равенство. 13.12. Возможно ли равенство:  Данное равенство невозможно, так как  cos  2 ?  4,12  , а   1 cos   . 1  При помощи оценки определяем знак выражения. π 13.19. Определить знак выражения: sin(5 /6)cos(5 /7)tg(5 π π/8)ctg(5 /9).π sin(5π /6)>0, cos(5 /π 7)<0, tg(5π/8)<0,ctg(5 /π 9)<0 => => siп(5 /6 )соs(5/7 )tg(5 /8)ctg( 5 /π 7)<0. π π π  Найти наибольшее, наименьшее значение выражения при помощи оценки. 13.51.  sin 2  2 cos 2  . 2 2 2 2 2 1 2      cos cos cos  1  cos 2   cos ,1   ,1   .21  sin  1  0  1 Наименьшее значение равно 1, а наибольшее равно 2. cos cos  . 2 2  Доказательство неравенств путем оценки левой и правой частей. 13.60.  2 sin  cos 2 .25.0 Преобразуем данное неравенство следующим образом: sin4 2 sin2(  cos 2 ,4*25.0  1 2sin   ,1 2  cos ) ,1     0  sin 2  .  2 1 sin 2  2 .1 Рассуждая в обратном порядке (от заведомо истинного неравенства), пользуемся методом оценки. Номера задач этой группы главы 13: 6, 12­15, 19­24, 51, 52, 60­62, 64, 89­91,  95, 96, 103, 115, 119, 136, 154, 155, 168, 176, 184, 185. 2. Метод исследования модели тригонометрического выражения. Данный метод используется при решении задач на нахождение наибольшего, наименьшего значений выражения. 3.137. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения cos2α­|cosα|. 2cos   | cos   2| 2 cos    |1 cos  |, | cos t | , 0 t ,1 y  2 2 t t  .1 y О ­9/8 1/4 x Вершина: (1/4, ­9/8). у(0)=­1, у(1)=0. Наибольшее значение: у(1)=0. Наименьшее значение: у(0)=1. Номера задач этой группы главы 13: 68­72, 134, 135, 137. 3. Метод использования основных определений и формул при решении тригонометрических задач.  C помощью единичной окружности (13.5, 13.7, 13.8).  C помощью определения тригонометрической функции (13.10, 13.11).  C помощью использования тригонометрических формул одного арryмента (13.26­13.30). 4. Метод подстановки значений функций от «хорогиих» углов. Номера задач этой группы главы 13: 1­4, 9, 16­18. 5. Метод использования алгебраических преобразований. К номерам задач этой группы главы 13 относятся: 33, 34, 39, 41, 44­50, 55­59,  65­68, 99, 111, 125, 129, 133, 138­140, 142, 146. 198­201. Выделим наиболее  интересные примеры из этой группы. 13.33. Вычислите: 1  sin  6  2 sin  6  3 sin  6  ... 1  sin  6  2 sin  6  3 sin  6  ... = 1  1 2 ( 1 2 2 )  ( 1 2 3 )  ... ( 1 2 n .) Данная последовательность является геометрической прогрессией.