Тригонометрическое преобразование – это такой стандартный порядок действий, применение которых приводит к значимому целевому изменению исходного выражения.
Условно все тригонометрические преобразования можно разделить по двум основным видам:
–по составу преобразований (сложные преобразования и простые);
–по предмету (математический раздел, откуда берутся преобразования).
По составу преобразования делятся:
– элементарные;
– неэлементарные.
Зависимость между тригонометрическими формулами одного аргумента
2sin
1
2cos
(sin
2
)2cos
ctg
tg
ntg
nctg
;
2sin
1
2cos
1(
cos
1)(
cos
)
1
1
ctg
2
1
;
2cos
2
sin
1
2cos
1
1
ctg
2
1
tg
2
tg
tg
cos
cos
sin
;
2cos
1
2sin
1(
sin
1)(
sin
)
cos
1
2sin
1
1
tg
2
1
ctg
ctg
1
tg
2
1
2cos
;
2
ctg
sin
sin
tg
;
cos(
)
)
sin(
);
tg
(
)
tg
;
ctg
(
)
ctg
.
tg
sin
cos
1
ctg
1
sin
2sin
2cos
cos
1
1
1
1
2cos
;
1
1
2sin
;
1
1
2
2cos
cos
2sin
sin
ctg
cos
sin
1
tg
2
1
ctg
2
2
tg
ctg
2
;
1
tg
1
2cos
1
2sin
1
2cos
1
2sin
1
sin(
;
cos
;
1
;
;Теоремы сложения
sin(
cos(
)
cos
)
ctg
)
(
tg
(
)
sin
cos
sin
cos
ctg
ctg
ctg
ctg
tg
tg
1
tg
tg
.
;
cos
sin
sin
;
1
;
Формулы двойного и тройного аргумента
4sin
(cos
sin
)(cos
sin
)
2sin
2cos
2sin21
1
sin2
2cos
2sin
4cos
;1
;2)
cos
cos
;
2sin
2cos
2
(sin
;2cos
1
2cos
1
tg
2cos
2
1
2
ctg
3sin
2
2sin2
2
tg
tg
ctg
ctg
2
sin3
1
;
;
2
sin4
3
;
3cos
4
cos
3
3
cos
.
Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму
sin
cos
)
sin(
))
;
cos
cos
)
cos(
))
;
sin
sin
cos
sin
)
)
cos(
))
;
sin(
))
.
(cos(
(sin(
1
2
1
2
1
(cos(
2
1
2
(sin(
Формулы половинного аргумента
2
1
;
cos
2
2
cos
2
2
1
cos
;
;
sin
1
2
;
cos
2
sin
2
1
;
cos
2
cos 2
1
2
cos
2
;
cos
cos
1
1
2
tg
tg
2
2
2
sin2
2
2
1
cos
;
sin
2
ctg
2
cos
1
1
;
cos
2
tg
tg
1
2
2
2
;
ctg
2
1
1
cos
cos
1
sin
cos
sin
cos
1
;
ctg
tg
1
2
tg
2
2
2
;
2
tg
2
1
1
tg
1
2
tg
tg
;
cos
cos
2
2
2
tg
2
1
1
cos
cos
1
sin
cos
sin
cos
;
1
;
1
sin
(sin
2
cos
2
;)
2
Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение
cos
ctg
cos
cos
cos
ctg
2
cos
cos
sin2
;
tg
ctg
sin
sin
sin2
;
tg
ctg
;
2
2
2
2
cos
2
sin
2
)
cos
sin(
cos
;
)
sin
)
cos
;
sin(
sin
cos(
cos
2
2sin
sin
;
tg
tg
;
cos
2
cos(
tg
ctg
2
;2
ctg
cos
sin
2
sin(
4
4
);
).1. Основные тригонометрические формулы как основа аппарата
тригонометрических преобразований
Тригонометрическое преобразование это такой стандартный порядок действий,
применение которого приводит к значимому целевому изменению исходного выражения.
B
C
Рис.1.
Определение: синусом острого угла
прямоугольного треугольника называется
отношение противолежащего катета к
гипотенузе. sinα=BC/AB, (рис. 1).
A
Определение: косинусом острого угла
прямоугольного треугольника называется
отношение прилежащего катета к
гипотенузе. cos =α AC/AB, (рис. 1). Определение: тангенсом острого угла
прямоугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему
катету. tgα=BC/AC, (рис.1).
Здесь же появляется основное тригонометрическое тождество, первые
α
тригонометрические формулы и таблица значений sinα, cosα, tgα для углов
40о, 60о.
sintg
cos
–основное тригонометрическое тождество;
1
2
;
sin
2
cos
равных 30
о,
sin
2
1
2
cos
;
sin
1
cos
2
(*);
2
cos
1
sin
2
;
cos
1
sin
2
(**).
α
30o
45o
60o
sinα
cosα
1
2
3
2
2
2
2
2
3
2
1
2tgα
3
3
1
3
Замечание. Для формул (*) и (**) в восьмом классе знак “±” перед корнем не
учитывается, так как рассматриваемые углы связаны соотношением
0о< <90α
о, и, следовательно, выбираются положительные значения.
Следует обращать внимание учеников на этот нюанс, а то, в дальнейшем, при
изучении 0о< <180
α
о, это может привести к ошибкам.
радианная мера угла, поворот точки вокруг начала координат. Напомним их.
Радианная мера угла.
Рассмотрим окружность произвольного радиуса R и отметим на ней дугу PM,
длина которой равна R, и угол POM (рис. 2).
Центральный угол, опирающийся на дугу, длина
R
которого равна радиусу окружности, называется
углом в один радиан.
)π °,
1рад=(180/
αрад=((180/ )
)π α °,
1°= /180π
рад,
R
O
M
P
Рис. 2.
α°=(π/180)αрад
Поворот точки.
Между действительными числами u точками окружности c помощью
поворота точки окружности можно установить соответствие.
Рассмотрим на координатной плоскости окружность радиуса 1 c центром в
начале координат. Ее называют единичной окружностью. Введем понятие
поворота точки единичной окружности вокруг начала координат на угол α
радиан, где –α любое действительное число.y
О
M
P(1,0)
X
y
О
P(1,0)
X
0
M
Рис. 3.
1.
Рис. 4.
что точка, двигаясь от точки P против часовой стрелки, прошла путь длиной
Пусть α>0. Предположим,
,α
(рис. 3). Конечную точку пути обозначим M. В этом случае будем говорить, что
точка М получена из точки P поворотом вокруг начала координат на угол
α
радиан.
α
2.Пусть <0. В этом случае поворот на угол
радиан означает, что движение
α
совершалось по часовой стрелке, и точка прошла путь длиной |
α
|, (рис. 4).
3. Поворот на 0 радиан означает, что точка осталась на месте. Итак, введение
в рассмотрение углов любой величины позволяет поставить во взаимно однозначное
соответствие множество всех действительных чисел и множество всех углов на
плоскости, в силу которого всякому действительному числу соответствует некоторый
угол ориентированной плоскости, и наоборот–всякому углу соответствует некоторое
действительное число.
4. Далее изучаются тригонометрические преобразования и формулы им
соответствующие.
Приведем некоторые формулы, изучающиеся на этом этапе:
1)формулы сложения:
cos(α+β)=cos cosα βsin sinα β;
cos(αβ)=cos cosα β+sin sinα β;
;β
sin(α±β)=sin cosα β±cos sinα
2)формулы синуса, косинуса двойного угла:
sin2α =2sin cosα α;
cos2α=cos2αsin2α;
3)формулы приведения;4)формулы суммы и разности синусов, косинусов углов:
sin
sin
sin2
sin
sin
sin2
cos
cos
;
;
2
2
2
2
2
2
2
2
;
.
cos
cos
2
cos
cos
cos
cos
sin2
sin
5. Затем, изучаются тригонометрические уравнения и неравенства.
6. Курс изучения тригонометрии в школе заканчивается изучением
тригонометрических функций.
Замечание. Одним из самых сложных этапов следует считать третий, так как в
рамках этого этапа устанавливается связь между градусной и радианной мерой угла.
Изучая тригонометрию, обычно выделяют следующие группы тригонометрических
формул.
информация
Смысл
(содержание,значение)
Структура (форма)
Информация
Соответственно этим трем особенностям информации возникают познавательные
связи трех видов: смысловые, ассоциативные и структурные. Создание таких связей
служит основой закрепления информации в памяти, то есть запоминания.
Ещё одной очень важной особенностью запоминания является не только
целесообразность выбора связей, но и то, что выбираемые связи должны быть
релевантными.
Релевантными называются такие связи, которые обеспечивают включение новой
информации в области информационной сети (информационная сеть у Лёзера ассоциируется
здесь с памятью, состоящей из множества смысловых, ассоциативных и структурных связей,запечатлённых индивидом под влиянием его интересов и на основе его познавательных
ресурсов), соответствующую закономерностям этой информации нашим интересам и
познавательным возможностям.
Дадим наши рекомендации в соответствии с выше описанными тремя типами связи.
Замечание. Указанные ниже последовательности рекомендаций представляют
собой последовательность действий при изучении одного блока формул.
1. Рекомендации, связанные c образованием смысловых или
содержательных связей.
Соотносим словесную формулировку и формулу или создаём словесную
формулировку по формуле (например, сумма синусов двух углов равна
удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на косинус
полуразности этих углов):
sin
cos
sin2
.
cos
2
2
Изучаем или создаем вывод (обоснование) формулы.
Выявляем причинно–следственные связи между каждым
коэффициентом, знаком и тому подобное в новой формуле и их "аналогами"
исходных формулах:
ctg
(
)
ctg
ctg
ctg
ctg
1
.
При выводе данной формулы, получаем в числителе (ctg ctg 1
α β ). Знак ""
появляется за счет того, что cos( + )=cos cos
α
βsinαsin , β то есть за счет ""
α β
этой формуле.
Сравниваем поэлементно новые формулы и их "старые аналоги" и
причинно–следственные связи между ними:
cos2α=cos2α sin2α=cos4αsin4α=(cosα+sinα)(cosαsinα)=12sin2α=2cos2α1.
Из известной формулы cos2α=cos2αsin2α вытекает множество формул,
4αsin4 α,
необходимых при решении задач. Например, формула cos2 = cos
получается из данной формулы путем умножения ее на
α
тригонометрическую единицу, то есть cos2 =(cos
=(cos2αsin2α)(cos2α+sin2α)=cos4α–sin4α. В итоге мы получаем формулу
2αsin2α)*1=
αразности квадратов, сворачивая которую, получаем нашу искомую формулу.
Применяем формулы в элементарных ситуациях.
Пример. Проверить справедливость равенства:
cos47°+cos73°=cos13°.
1. Рассмотрим левую часть: соs47°+cos73°.
2. Применим к ней формулу преобразования суммы косинусов в
произведение:
cos47°+cos73°=2cos ((47°+73°)/2)cos ((47°73°)/2)
=2cos60°cos13°=2(1/2)cos13°=cos13°.
Преобразованная левая часть совпадает с правой частью, следовательно, равенство
справедливо.
11. Рекомендации, связанные с созданием структурных связей.
Формулы распредепяем по группам или подгруппам, используя, например,
следующие основания:
множества, на которых заданные формулы единообразны;
идеи доказательств формул схожи;
сферы применимости и условия применимости аналогичны;
какиелибо внешние, возможно, структyрные особенности схожи.
Мы распределим формупы по идее доказательства. Например, общая идея
доказательства имеется у формул преобразования суммы тригонометрических функций в
произведение.
sin
x
y
sin
sin2
2
2
cos
2
2
;
cos
2
2
;
cos
x
cos
y
2
cos
.
cos
x
cos
y
sin2
sin
Выявляем особенности получения формул, выстраивая их в
определенной последовательности.
β
1. Сначала мы обозначаем аргументы: х+у= , ху= .
α
2. Спожим α и β, получим 2х=α+β=>
x
2
Вычитая β из α, получаем 2у=
α β=>
y
.
23. Подставим полученные значения в следующие формулы:
sin
x
cos
y
cos
x
cos
y
(sin(
x
y
)
sin(
x
y
))
;
(cos(
x
y
)
cos(
x
y
))
;
sin
x
sin
y
(cos(
x
y
)
cos(
x
y
))
;
sin
x
cos
y
(sin(
x
y
)
sin(
x
y
))
.
1
2
1
2
1
2
1
2
4. Получаем формулы:
2
sin2
sin
sin
;
cos
cos
cos
sin2
;
sin
2
cos
cos
2
cos
.
cos
2
2
sin
sin
sin2
sin
sin
sin2
;
cos
.
cos
2
2
2
2
2
2Сходства в подгруппе:
–удвоенное произведение синуса на косинус;
–аргументы выражены в виде полусуммы или полуразности.
Различия между формулами в подгруппе:
–если сумма синусов, то в произведении будет синус полусуммы
разность синусов, то в произведении имеем синус полуразности α и β;
–если сумма синусов, то в произведении будет косинус полуразности α и β, a если
и α β.
разность синусов, то в произведении имеем косинус полусуммы
2
sin2
;
2
cos
cos
cos
cos
cos
cos
2
2
2
sin
.
и α β, a если
Сходства в подгруппе:
–удвоенное произведение;
–аргументы имеются в одной и той же последовательности, сначала полусумма
β, a затем их полуразность.
Различие между формулами в подгруппе:
иα
–если сумма косинусов, то будет произведение косинусов, а если разность
косинусов, то будет произведение синусов;
–если сумма косинусов, то перед произведением знак "" не нужен, a если
разность–нужен.
Рекомендуем ученикам запоминать формулы не по одной, a группами,
ориентируясь на сходства и различия между формулами в одной группе.
Учитывая вышеуказанные пункты, рекомендуем ученикам запомнить формулы:
sin
sin
sin2
cos
cos
sin2
sin
cos
;
2
2
2
2
cos
cos
2
cos
.
cos
;
2
2
Выделяем способы применения и виды задач, решаемых с помощью формул
данной группы.
Пример.
Упростите выражение:
cos
sin
cos
sin
.
cos
sin
2
2
sin
cos
cos
sin
2
2
sin2
sin2
sin
cos
2
2
tg
2
.111. Рекомендации, связанные с ассоциативными связями.
Правило 1. Если сумма синусов, то первый аргумент полусумма, а если разность,
то наоборот.
Правипо 2. Если сумма косинусов, то произведение косинусов, а если разность, то
произведение синусов.
Замечание. В качестве мнемонических правил могут выступать слова, предложения,
выражения, ассоциации, набор преобразований или наборы формул и т. п.
Очень важные мнемонические правила, используемые при решении задач,
связанных с преобразованием выражений.
1. Установи связь между аргументами (правильно установленная связь подскажет
нужную формулу или поможет выявить последовательность формул).
2. Старайся уменьшить количество арryментов.
3. Старайся уменьшить количество тригонометрических функций, используемых в
выражении.
Замечание 1. Данное замечание дает рекомендации по запоминанию
значений тригонометрических функций от "хороших" углов.
1. Первый способ заключается в "прописывании таблицы":
π
), cos
π
α
б) затем, в столбик выписываем функции sin(
а) выписываем в строчку "хорошие" углы: 0°, ( /6), ( /4), ( /3), ( /2);
), α то есть, получаем
(
π
π
0
π/6 π/4 π/3
π/2
табличку:
α
sinα
cosα
в) заполняем эту таблицу: в строку под углами напротив синуса пишем 0, 1, 2,
3, 1, а для косинуса в обратном порядке, то есть:
α
sinα
cosα
0
0
1
π/6 π/4 π/3
3
1
3
1
2
2
π/2
1
0
г) значения для углов 0 и п/2 так и остаются, а для остальных углов значения
делим пополам и записываем в виде дроби:α
sinα
cosα
0
0
1
π/6
π/4
π/3
π/2
1
2
3
2
2
2
2
2
3
2
1
2
1
0
д) теперь из числителей полученных дробей берем квадратный корень, то
есть:
α
sinα
cosα
0
0
1
π/6
π/4
π/3
π/2
1
2
3
2
2
2
2
2
3
2
1
2
1
0
таким образом,получаем:
α
sin(α)
сos(α)
0
0
1
π/6
π/4
π/3
π/2
1
2
3
2
2
2
2
2
3
2
1
2
1
0
2. Второй способ рекомендует запомнить значения функций от "хороших" углов
через наглядный геометрический образ, который восстанавливается в сознании, как бы в
движении. Опишем этот способ на примере, отметим cos(π/3):
а) выберем линю косинусов (абсциссу, ось ох);
б) на ней размещаем значения
1
2
;5,0
2 ;
7,0
2
3 ; (риc. 5.1);
2
8,0y
О
0.5 0.7 0.8
x
Рис. 5.1
3/
проводим мысленно луч, соответствующий, например, углу
/3 π
до пересечения с окружностью, (риа 5.2);
г) опускаем перпендикуляр на ось абсцисс и получаем
0.5 0.70.8
x
значение похоже близкое 1/2, (риа 5.3).
Аналогично этот процесс можно
показать
y
Рис. 5.2
4/
y
3/
О
0.5 0.70.8
x
О
0.5 0.70.8
x
Рис. 5.3.
Рис.5.4.
замечание рекомендует,
переводить радианную
в)
y
О
для
синуса,
косинуса и
тангенса.
Например,
tg( /4).
π
(рис. 5.4)
Заме
чание 2.
Данное
как лучше
меру угла в градусную и наоборот:
а) сначала рекомендуем запомнить соответствие градусной и радианной
меры для "хороших" углов (0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°,300°, 315°, 330°, 360°);
б) рекомендуем учащимся создать "укрепленную"единичную окружность, где
будут расположены разными цветами градусы и радианы (радианная и
градусная мера угла);
в) даем на уроках математические диктанты перевода градусов в радианы
и наоборот. Пример: перевести
13
15
в градусы, 274° перевести в радианы.
Оценки за такой диктант не ставить.
3. Тригонометрические преобразования и их виды
Тригонометрические преобразования и их виды.
Условно все тригонометрические преобразования можно разделить по двум
основным видам:
–по составу преобразований (сложные преобразования и простые);
–по предмету (математический раздел, откуда берутся преобразования).
По составу преобразования делятся:
– элементарные;
– неэлементарные.
Эпементарные тригонометрические преобразования.
Преобразование основных формул в явном виде:
2cos
x
4cos
x
2
cos
2
3cos
xcox
(
2)
x
x
2
2
x
3cos
4
x
2
x
cos
4
x
2
2
cos
6
x
2
cos
x
2
2
cos
.
x
Преобразование должно формироваться сначала в развернутом виде, очень
подробно, затем с помощью устного упражнения и математических диктантов должно
быть свернуто. Правильно сформулированное свернутое преобразование всегда можно
развернуть в подробную цепочку с помощью специальных требований.Данными
требованиями пользуются,если хотят найти или исправить ошибки учащихся.
Если преобразование сформупировано не правильно, да еще и свернуто, то
развернуть его практически не возможно. Можно попытаться на индивидуальных
занятиях доказать ученику, что так делать нельзя, и затем приступать к
формированию требований преобразований.
К преобразованиям в
явном
виде можно отнести использование:cos(
1) формул приведения:
2
2
2) алгебраических формул:
cos(
,
)
sin
)2
2sin
;
(sin
cos
2)
2sin
sin2
cos
2cos
;
3) формул преобразования суммы в произведение:
2
sin
2
sin
;
1
cos
sin2
2
(
)
2
0cos
cos
;
1
1
sin
sin
формулы полные квадраты;
cos
sin
sin(
2
)
sin
.
Элементы преобразований, основанные на алгебраических преобразованиях
можно формировать разу в устных упражнениях.
cos
2cos
cos
,
,
2cos
sin
2
sin2
cos
2
cos
.
Элементы преобразований, основанные на явном применении
тригонометрических формул в устных упражнениях должны появляться после
письменной работы с учениками.
Специальные преобразоеания.
Специальные преобразования можно условно разделить на элементарные и
неэлементарные. Хотя это деление весьма условно, но для качества учебного
процесса важно начинать с более простых преобразований.
1. К элементарным преобразованиям можно отнести преобразование, условно
называемое "увидеть формулу". Например, известная формула может выглядеть
так:
tg
tg
tg
1
)
(
tg
tg
.
В контексте конкретной задачи замена левой части на правую, или наоборот,
может привести к нужному результату сразу. Эта формула в более сложной
ситуации может быть представлена следующим образом:1
1
tg
tg
tg
(
)
4
.
Сравнивая эти два преобразования, можно понять, вопервых, условность
разделения преобразований, а, вовторых, разный уровень их спожности.
Усложнение использования указанной формулы проявляется в задаче
№ 13.98 из “Сборника задач по алгебре для 8–9 классов” М.А. Галицкого и др.
tg
tg
tg
tg
tg
tg
*
*
, если
.
tg
1(
tg
)
tg
tg
tg
0
,
tg
tg
1
tg
tg
tg
0
,
tg
tg
tg
tg
,
,
)
(
0
(
)
0
,
tg
tg
0
,
0=0.
2. К элементарным преобразованиям можно отнести применение формулы
"слева направо", а также "справа налево".
Например, №13.46 "Сборник задач по алгебре для 89 классов" М.А.Галицкого
и др. показывает применение основного тригонометрического тождества слева
направо и справа налево.
6sin
6cos
2sin3
2cos
1
,
6sin
6sin
6cos
3)2
6cos
(sin3
3)2cos
2sin3
2)2
2sin3
2cos
2cos
31
2
.1
12cos
2sin3
(sin
(sin
(sin
(cos
3)2
2)2
(cos
(cos
3)2
3)2
2sin3
2cos
(sin
2
)2cos
В третьей строке применение основного тригонометрического тождества
осуществляется справа налево. А в последней строке применение формулы
осуществляется слева направо.
3. Рассмотрим еще одно преобразование. Кратко его можно назвать "диктуемое
вынесение множителя за скобки".
Например,требуется доказать
Можно заменить 2
ctg
ctg
2
cos
2
ctg
2
.
cos
2
на 2
cos
или 2
sin
, в левой части привести к
общему знаменателю, вынести множитель и получить правую часть.
Однако, если это равенство имеет место, то оно "диктует": вынести в левойчасти 2
ctg
или 2
cos
, скобках получим 2
cos
ctg
2
2cos
ctg
1(2
)2sin
ctg
. Покажем это:
2cos
или
2
ctg
2
2cos
(2cos
1
2sin
)1
ctg
2
.
2cos
Заметим, что в последней цепочке равенств имеется выражение в скобках,
которое трудно узнаваемо учащимися. Они вместо применения формулы приводят к
общему знаменателю.
Аналогично, можно показать всё относительно упражнения
2
tg
2sin
tg
2
.
2sin
4. Рассмотрим элементарное преобразование, определяемое связью между
аргументами.
Пример: вычислить
Непосредственное нахождение
)
sin(
4/
, если
cos
2/1
и
.
2/
sin(
)
невозможно, т.к. известна
4/
α
тригонометрическая функция лишь от угла
, поэтому
для того, чтобы найти
sin(
)
4/
sin(
)
4/
мы определяем преобразования по формулам сложения, то есть
sin(
cos(
cos
)4/
)4/
sin
=
.
Здесь хорошо видно как аргумент влияет на выбор того или иного
преобразования. В нашем примере после применения формулы сложения
появляются значения функций от "хороших" углов (известных нам) и значения
функций от угла . То есть
sin(
)4/
cos
sin
cos(
)4/
2
2
(
1
2
sin
).
2
2
cos
2
2
sin
2
2
(cos
sin
)
|
cos
|5,0
А
sinα находится из основного тригонометрического тождества по
известному cosα=0,5 и углу α,
2/
, таким образом,
sin
3
2
. Возвращаясь к
нашему равенству, имеем:
(
1
2
sin
)
2
2
1. В самом сборнике задач М.А. Галицкого и др. приведена классификация
2
2
2
4
3
2
).3
1
2
1(
)
(
задач и упражнений по тригонометрии по
группамформул.
Выделим эти группы и приведем наиболее интересные примеры из каждой
группы.
1. Определение синуса, косинуса, manzexcn и котанzенса. Радианная мера,уига
(13.113.25).
30
sin2
13.1.
Данное упражнение требует от учащихся знания значений функций от "хороших"
sin3
ctg
tg
30
45
60
.
углов.
13.21. Сравнить два числа
cos( и
)11/
cos 2 .
)11/
(
Для того чтобы сравнить два числа необходимо найти их разность,а потом
оценить её. Если она будет положительной, то первое число будет больше
второго, а если отрицательной, то наоборот
2. Зависимости между функциями одного аргумеита. Формулы
приведения (13.2613.72).
13.43. Вычислите ctgl°ctg3°сtg5°...ctg89°.
Заменяем все множители, начиная с ctg46°,...сtg89°, по формулам приведения на
tg44°,...tg1°.
После этаго группируем множители по формуле tg ctg =l,
α α то есть
tg1°ctgl°=1,...tg89°ctg89°=1. Остаются произведения единиц на ctg45°, значение
которого равно 1.
3. Теоремы сложения (13.7313.103).
13.85. Докажите тождество
sin(
tg
)
tg
cos
.
cos
Рассматриваем левую часть и делаем следующие преобразования: заменяем тангенсы
углов по определению, приводим к общему знаменателю и сокращаем.
Получаем,что преобразованная левая часть равна правой части,
следовательно,тождество доказано.
4. Формулы двойного и половинною аргумента (13.10413.158).
13.129. Найдите cos2 , α еслиcos
sin
sin2
2
cos
1
2
.
2
cos
4sin
sin
2cos
.
sin3
0
sin
.0
2cos
sin2
2
2cos
.1
10*21
.1
5. IIpeoбpазoвaнue суммы тригонометрических функций в произведение
и обратно (13.15913.201).
13.177. Упростите выражение:
2
cos
2
cos
cos(
)
cos
2
2
cos
(cos(
)
cos(
))
cos
2
2
cos
(cos
)2cos
cos
2
2
cos
2(
cos
2
21
2
cos
)1
1
2
2
1
2
2
cos
2
cos
2
sin
2
sin
1
2
1
2
1
2
1
2
(cos
2
sin
2
)
(cos
2
2
sin
)
.1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
Использование данной классификации задач позволяет изучить формулы и
познакомиться с их применением, но для того чтобы научить учащихся решать задачи
на преобразования тригонометрических выражений этой классификации не достаточно.
Чтобы добиться успеха в этом вопросе, необходимо тщательно изучать условия задач.
Анализ условия удобно изучать на задачах одного сюжета. А дополнительные условия в
рамках одного сюжета позволяют подробнее разобрать изучаемый вид задач.
11. Данная классификация представляет собой классификацию
задач и упражнений по сюжету.
1. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения.
13.103. В каких пределах находится отношение суммы катетов к гипатенузе в
прямоугольном треугольнике.
B
b
C
c
a
Обозначим
cos
α
α
a/c+b/c=sin +cos
ca
/
A
,
sin
cb
./
ba
c
sin
cos
.
Теперь необходимо оценить sinα+cosα.
sin
,2/
0
sin(
1
cos
4/
*2
4/34/
)4/
2/2*
2/2
(sin
sin(
cos
.2
2
)2/2*
2
sin(
),4/
,1)4/
Следовательно,
1
ba
c
.2
Ответ (1, 2 ).
К данному сюжету можно отнести также следующие номера задач главы 13:
13,14,51,52,69,70,71,72,89,90,91,103,134,135,136,137,168,176.
2. Верно утверждение?
13.15. Возможно ли раеенство:
sin
2
cos
3
?
41
,5
1
5
sin
2
5
cos
3
5
,
sin
1
5
,
cos
2
5
,
получаем:
sin
sin
cos
cos
3
5
,
cos(
)
3
5
,то есть
cos
3
5
1
, что невозможно, так как
1
cos
.
1
Также можно отнести к заданиям такого рода и следующие номера задач
главы 13: 5,10,11,12,15,180,182.
3. Определить знак тригонометрического выражения.13.6. Какой знак имеет сумма
sin
sin
sin
, если
,
,
–углы
треугольника.
Поскольку
0
180
,
0
180
,
0
второй четверти, следовательно,
sin ,
0
sin
sin
sin
>0.
180
, то
sin ,
0
,
,
– это углы первой или
sin . Поэтому
0
Также можно отнести к заданиям такого рода и следующие номера задач главы
13: 6,19,20,21,22,23,119.
4. Определить четверть, в которой находится данный угол.
Для их решения необходимо знать какой знак имеет любая тригонометрическая
функция в каждой из четырёх четвертей. Номера задач этой группы: 13.7,13.8.
5. Доказать тождество.
Номера задач этой группы из главы 13: 4548, 55, 59, 8588, 97, 98, 108, 109, 121
124, 146148, 159161, 165167, 170, 172, 174, 175, 179, 181, 198, 199.
13.55 . Докажите, что при всех допустимых значениях переменных выражение
принимает одно и то же значение:
4
cos
sin
2
2
sin
sin
2
2
sin
sin
sin
cos
2
2
2
cos
cos
2
4
2
2
sin
cos
2
cos
cos
2
2
cos
sin
2
2
sin
cos
(cos
(sin
2
2
2
)
)
2
2
sin
cos
2
(sin
(sin
2
2
2
cos
cos
)
)
2
cos
sin
2
2
2
sin
cos
1
2
2
sin
sin
2
1
cos
cos
2
(sin1
sin
2
2
2
cos
cos
)
2
.1
Мы показали, что при любых значениях переменных
и α β значение данного
выражения всегда =1.
6. Доказать неравенство.
13.115. Докажите неравенство: sin2α<2cosα, если
/2<π
α< /2.π
sin2α2cosα <0,
2sinαcosα2cosα <0,
2cosα(sinα1)<0.
Так как
2cosα(sinα1)<0, то есть sin2α<2cosα.
К задачам этой группы относятся: 24, 25, 6064, 95, 96, 115.
α< /2π , то 2cos α>0 и 1sinα 1, 2sinα1<0,
/2<π7. Упростить еыражение.
13177. Упростите выражение:
2cos
2cos
cos(
)
cos(
)
2cos
2cos
1
2
(cos(
)
cos(
))
2cos
2cos
1
2
(cos
2
cos
)2
2cos
2cos
1
2
2cos
2(
21
2cos
)1
2cos
2cos
2cos
1
2
2cos
.1
1
2
К
номерам задач этой группы относятся: 3742, 44, 53, 54, 5759, 64, 78, 9294, 130
133, 125, 163, 171, 173, 178.
8. Найти значение выражения.
13.101. Найти величины α и β углов ромба, если sin(α /2)+β
+ sin(α/2 )=1
β
Так как α, β углы ромба, то α+β = , π то =α π–β.
sin(
sin((
1)
2/)
)2/
,
,1)
sin(
))2/3(
sin(
2/
2/
sin(
)2/3
cos(
,1)2/3
2
(sin(
2/2)2/3
cos(
1)2/2)2/3
,
sin((
)2/3
)4/
.2/2
0
,
2/34/
4/74/
, то есть
2/3
4/74/
и
2/3
4/
2/3
4/34/
,
2/3
2/
3/
.
4/
.
.3/23/
Номера задач этой группы главы 13: 14, 9, 1618, 2636, 43, 49, 50, 6568,
7384, 99102, 104107, 110114, 116118, 120, 126129, 138145, 149158, 162,
169, 183197, 200, 201.
На заключительном этапе изучения данной темы обобщаются методы и
приемы решения известных типов и видов задач, поэтому
вышепредставленная классификация задач по сюжету прекрасно
дополняется классификацией задач по методу решения.Данный метод используется при решении многих задач, но способы его
реализации в разных заданиях отличны друг от друга.
Выясняем при помощи оценки возможно ли равенство.
13.12. Возможно ли равенство:
Данное равенство невозможно, так как
cos
2
?
4,12
, а
1
cos
.
1
При помощи оценки определяем знак выражения.
π
13.19. Определить знак выражения: sin(5 /6)cos(5 /7)tg(5
π
π/8)ctg(5 /9).π
sin(5π /6)>0, cos(5 /π 7)<0, tg(5π/8)<0,ctg(5 /π 9)<0 =>
=> siп(5 /6 )соs(5/7 )tg(5 /8)ctg(
5 /π 7)<0.
π
π
π
Найти наибольшее, наименьшее значение выражения при помощи
оценки.
13.51.
sin
2
2
cos
2
.
2
2
2
2
2
1
2
cos
cos
cos
1
cos
2
cos
,1
,1
.21
sin
1
0
1
Наименьшее значение равно 1, а наибольшее равно 2.
cos
cos
.
2
2
Доказательство неравенств путем оценки левой и правой частей.
13.60.
2
sin
cos
2
.25.0
Преобразуем данное неравенство следующим образом:
sin4
2
sin2(
cos
2
,4*25.0
1
2sin
,1
2
cos
)
,1
0
sin
2
.
2
1
sin 2
2
.1
Рассуждая в обратном порядке (от заведомо истинного неравенства),
пользуемся методом оценки.
Номера задач этой группы главы 13: 6, 1215, 1924, 51, 52, 6062, 64, 8991,
95, 96, 103, 115, 119, 136, 154, 155, 168, 176, 184, 185.
2. Метод исследования модели тригонометрического выражения.
Данный метод используется при решении задач на нахождение
наибольшего, наименьшего значений выражения.
3.137. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения cos2α|cosα|.2cos
|
cos
2|
2
cos
|1
cos
|,
|
cos
t
|
,
0 t
,1
y
2 2
t
t
.1
y
О
9/8
1/4
x
Вершина: (1/4, 9/8).
у(0)=1,
у(1)=0.
Наибольшее значение: у(1)=0.
Наименьшее значение: у(0)=1.
Номера задач этой группы главы 13: 6872, 134, 135, 137.
3. Метод использования основных определений и формул при решении
тригонометрических задач.
C помощью единичной окружности (13.5, 13.7, 13.8).
C помощью определения тригонометрической функции (13.10,
13.11).
C помощью использования тригонометрических формул одного
арryмента (13.2613.30).
4. Метод подстановки значений функций от «хорогиих» углов.
Номера задач этой группы главы 13: 14, 9, 1618.
5. Метод использования алгебраических преобразований.
К номерам задач этой группы главы 13 относятся: 33, 34, 39, 41, 4450, 5559,
6568, 99, 111, 125, 129, 133, 138140, 142, 146. 198201. Выделим наиболее
интересные примеры из этой группы.
13.33. Вычислите:
1
sin
6
2
sin
6
3
sin
6
...
1
sin
6
2
sin
6
3
sin
6
...
=
1
1
2
(
1
2
2
)
(
1
2
3
)
...
(
1
2
n
.)
Данная последовательность является геометрической прогрессией.