Центр тяжести твердого тела

Техническая механика

Центр тяжести

Рассмотрим две параллельные силы 𝐹 1 𝐹 1 𝐹𝐹 𝐹 1 1 𝐹 1 𝐹 1 и 𝐹 2 𝐹 2 𝐹𝐹 𝐹 2 2 𝐹 2 𝐹 2 , приложенные в (.)А1 и (.)А2. Эта плоская система сил имеет равнодействующую 𝑅 𝑅𝑅 𝑅 = 𝑅1 𝑅𝑅1 𝑅1 +𝐹𝐹2

1. Центр тяжести параллельных сил

Из подобия треугольников: 𝒉𝟏 𝒉𝟐 𝒉𝒉𝟏𝟏 𝒉𝟏 𝒉𝟐 𝒉𝒉𝟐𝟐 𝒉𝟏 𝒉𝟐 = 𝑨𝟏∗𝑪 𝑨𝟐∗𝑪 𝑨𝑨𝟏𝟏∗𝑪𝑪 𝑨𝟏∗𝑪 𝑨𝟐∗𝑪 𝑨𝑨𝟐𝟐∗𝑪𝑪 𝑨𝟏∗𝑪 𝑨𝟐∗𝑪 = 𝑭𝟏 𝑭𝟐 𝑭𝑭𝟏𝟏 𝑭𝟏 𝑭𝟐 𝑭𝑭𝟐𝟐 𝑭𝟏 𝑭𝟐

F1*A2*C=F2*A1*C

- Правило рычага

Точка С, которая удовлетворяет этому равенству, называется центром параллельных сил.

Линия действия проходит через некоторую (.)С. Положение (.)С найдем из теоремы Вариньона:

Mc(R)=Mc(F1)+Mc(F2)
O=F1*h1-F2*h2
F1*h1=F2*h2

2. Центр тяжести твердого тела

Пусть имеется твердое тело. Разобьем его на участки, у которых Р1, Р2,…, Р 𝑛 Р Р 𝑛 𝑛𝑛 Р 𝑛 - силы тяжести. Вес тела Р определяется равенством: Р= 𝑖=1 𝑛 𝑃 𝑖 𝑖𝑖=1 𝑖=1 𝑛 𝑃 𝑖 𝑛𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑃 𝑖 𝑃 𝑖 𝑃𝑃 𝑃 𝑖 𝑖𝑖 𝑃 𝑖 𝑖=1 𝑛 𝑃 𝑖

(.)С – это точка приложения силы тяжести (центр тяжести).

Координаты центра тяжести определяются по формулам:

𝑥 𝑐 𝑥𝑥 𝑥 𝑐 𝑐𝑐 𝑥 𝑐 = 1 𝑝 1 1 𝑝 𝑝𝑝 1 𝑝 𝑝 𝑖 𝑝 𝑖 𝑝 𝑖 𝑝 𝑖 𝑝𝑝 𝑝 𝑖 𝑖𝑖 𝑝 𝑖 𝑝 𝑖 𝑥 𝑖 𝑥𝑥 𝑥 𝑖 𝑖𝑖 𝑥 𝑖

𝒚 𝑐 𝒚𝒚 𝒚 𝑐 𝑐𝑐 𝒚 𝑐 = 1 𝑝 1 1 𝑝 𝑝𝑝 1 𝑝 𝑝 𝑖 𝑝 𝑖 𝑝 𝑖 𝑝 𝑖 𝑝𝑝 𝑝 𝑖 𝑖𝑖 𝑝 𝑖 𝑝 𝑖 𝒚 𝑖 𝒚𝒚 𝒚 𝑖 𝑖𝑖 𝒚 𝑖

𝒛 𝑐 𝒛𝒛 𝒛 𝑐 𝑐𝑐 𝒛 𝑐 = 1 𝑝 1 1 𝑝 𝑝𝑝 1 𝑝 𝑝 𝑖 𝑝 𝑖 𝑝 𝑖 𝑝 𝑖 𝑝𝑝 𝑝 𝑖 𝑖𝑖 𝑝 𝑖 𝑝 𝑖 𝒛 𝑖 𝒛𝒛 𝒛 𝑖 𝑖𝑖 𝒛 𝑖

А) Центр тяжести объемного тела:

𝑥 𝑐 𝑥𝑥 𝑥 𝑐 𝑐𝑐 𝑥 𝑐 = 1 𝑽 1 1 𝑽 𝑽𝑽 1 𝑽 𝑽 𝑖 𝑽 𝑖 𝑽 𝑖 𝑽 𝑖 𝑽𝑽 𝑽 𝑖 𝑖𝑖 𝑽 𝑖 𝑽 𝑖 𝑥 𝑖 𝑥𝑥 𝑥 𝑖 𝑖𝑖 𝑥 𝑖

𝒚 𝑐 𝒚𝒚 𝒚 𝑐 𝑐𝑐 𝒚 𝑐 = 1 𝑽 1 1 𝑽 𝑽𝑽 1 𝑽 𝑽 𝑖 𝑽 𝑖 𝑽 𝑖 𝑽 𝑖 𝑽𝑽 𝑽 𝑖 𝑖𝑖 𝑽 𝑖 𝑽 𝑖 𝒚 𝑖 𝒚𝒚 𝒚 𝑖 𝑖𝑖 𝒚 𝑖

𝒛 𝑐 𝒛𝒛 𝒛 𝑐 𝑐𝑐 𝒛 𝑐 = 1 𝑽 1 1 𝑽 𝑽𝑽 1 𝑽 𝑽 𝑖 𝑽 𝑖 𝑽 𝑖 𝑽 𝑖 𝑽𝑽 𝑽 𝑖 𝑖𝑖 𝑽 𝑖 𝑽 𝑖 𝒛 𝑖 𝒛𝒛 𝒛 𝑖 𝑖𝑖 𝒛 𝑖

Б) Центр тяжести плоской фигуры

𝑥 𝑐 𝑥𝑥 𝑥 𝑐 𝑐𝑐 𝑥 𝑐 = 1 𝑺 1 1 𝑺 𝑺𝑺 1 𝑺 𝑺 𝑖 𝑺 𝑖 𝑺 𝑖 𝑺 𝑖 𝑺𝑺 𝑺 𝑖 𝑖𝑖 𝑺 𝑖 𝑺 𝑖 𝑥 𝑖 𝑥𝑥 𝑥 𝑖 𝑖𝑖 𝑥 𝑖

𝒚 𝑐 𝒚𝒚 𝒚 𝑐 𝑐𝑐 𝒚 𝑐 = 1 𝑺 1 1 𝑺 𝑺𝑺 1 𝑺 𝑺 𝑖 𝑺 𝑖 𝑺 𝑖 𝑺 𝑖 𝑺𝑺 𝑺 𝑖 𝑖𝑖 𝑺 𝑖 𝑺 𝑖 𝒚 𝑖 𝒚𝒚 𝒚 𝑖 𝑖𝑖 𝒚 𝑖

В) Центр тяжести линии

𝑥 𝑐 𝑥𝑥 𝑥 𝑐 𝑐𝑐 𝑥 𝑐 = 1 𝒍 1 1 𝒍 𝒍𝒍 1 𝒍 𝒍 𝑖 𝒍 𝑖 𝒍 𝑖 𝒍 𝑖 𝒍𝒍 𝒍 𝑖 𝑖𝑖 𝒍 𝑖 𝒍 𝑖 𝑥 𝑖 𝑥𝑥 𝑥 𝑖 𝑖𝑖 𝑥 𝑖

𝒚 𝑐 𝒚𝒚 𝒚 𝑐 𝑐𝑐 𝒚 𝑐 = 1 𝒍 1 1 𝒍 𝒍𝒍 1 𝒍 𝒍 𝑖 𝒍 𝑖 𝒍 𝑖 𝒍 𝑖 𝒍𝒍 𝒍 𝑖 𝑖𝑖 𝒍 𝑖 𝒍 𝑖 𝒚 𝑖 𝒚𝒚 𝒚 𝑖 𝑖𝑖 𝒚 𝑖

𝒛 𝑐 𝒛𝒛 𝒛 𝑐 𝑐𝑐 𝒛 𝑐 = 1 𝒍 1 1 𝒍 𝒍𝒍 1 𝒍 𝒍 𝑖 𝒍 𝑖 𝒍 𝑖 𝒍 𝑖 𝒍𝒍 𝒍 𝑖 𝑖𝑖 𝒍 𝑖 𝒍 𝑖 𝒛 𝑖 𝒛𝒛 𝒛 𝑖 𝑖𝑖 𝒛 𝑖

3) Центр тяжести некоторых однородных тел:

А) Центр тяжести дуги окружности:

𝑥 𝑐 𝑥𝑥 𝑥 𝑐 𝑐𝑐 𝑥 𝑐 =R * sin 𝛼 𝛼 sin 𝛼 sin sin 𝛼 𝛼𝛼 sin 𝛼 sin 𝛼 𝛼 𝛼𝛼 sin 𝛼 𝛼 , [𝛼𝛼]=рад

3) Центр тяжести некоторых однородных тел:

Б) Центр тяжести треугольника:

Центр тяжести треугольника лежит на пересечении медиан

СЕ = 1 3 1 1 3 3 1 3 ВЕ

3) Центр тяжести некоторых однородных тел:

В) Центр тяжести кругового сектора:

3) Центр тяжести некоторых однородных тел:

Г) Центр тяжести пирамиды (конуса):

(.)С1 – центр тяжести основания

СС1 = 1 4 1 1 4 4 1 4 DC1

3) Центр тяжести некоторых однородных тел:

Д) Центр тяжести полшара:

х с х х с с х с = ОС = 3 8 3 3 8 8 3 8 R

R – радиус полшара

Порядок решения задач на определение центра тяжести:

1.Разбить тело на составные части, положение центра тяжести которых известно;
2.Определить длину, площадь, объем этих тел;
3.Выбрать расположения осей координат;
4.Определить координаты центра тяжести элементарных частей
5.Рассчитать координаты центра тяжести по формулам
6.Указать центр тяжести на рисунке.

Благодарю за внимание!