Учебный продукт «Арифметическая прогрессия» является цифровым образовательным ресурсом. Цифровые образовательные ресурсы принято разделять на типы по цели использования: информационный, практический и контролирующий. Ресурс «Арифметическая прогрессия» содержит 4 основных блока: «теория», «практика», «контроль А», «контроль В» и два дополнительных: «справка» и «разработчики». Наличие трёх основных составляющих учебного процесса (теория, практика, контроль) в данном ресурсе позволяет считать его универсальным.Цифровой ресурс создан в редакторе презентаций Microsoft PowerPoint 2007 без использования макросов. Для работы с ресурсом необходимо приложение Microsoft PowerPoint 2007.
Арифметическа
я прогрессия
Теория
Контроль (А)
Практика
Контроль (В)
Справка
Разработчик
и
ТеорияКонтроль (А)РазработчикиПрактикаСправкаКонтроль (В)
Арифметическа
я прогрессия
Теория
Контроль (А)
Практика
Контроль (В)
Справка
Разработчик
и
ТеорияКонтроль (А)РазработчикиПрактикаСправкаКонтроль (В)
Арифметическа
я прогрессия
Теория
Контроль (А)
Практика
Контроль (В)
Справка
Разработчик
и
ТеорияКонтроль (А)РазработчикиПрактикаСправкаКонтроль (В)
Арифметическа
я прогрессия
Теория
Контроль (А)
Практика
Контроль (В)
Справка
Разработчик
и
ТеорияКонтроль (А)РазработчикиПрактикаСправкаКонтроль (В)
Арифметическа
я прогрессия
Теория
Контроль (А)
Практика
Контроль (В)
Справка
Разработчик
и
ТеорияКонтроль (А)РазработчикиПрактикаСправкаКонтроль (В)
Арифметическа
я прогрессия
Теория
Контроль (А)
Практика
Контроль (В)
Справка
Разработчик
и
ТеорияКонтроль (А)РазработчикиПрактикаСправкаКонтроль (В)
Арифметическа
я прогрессия
Теория
Контроль (А)
Практика
Контроль (В)
Справка
Разработчик
и
ТеорияКонтроль (А)РазработчикиПрактикаСправкаКонтроль (В)
«Арифметическая прогрессия» меню
1
3
6
7
Теория по теме
5
4
2
Определение:
Арифметической прогрессией называется
последовательность, каждый член которой, начиная со
второго равен предшествующему сложенному с одним и
тем же числом. Это число называется разностью
арифметической прогрессии и обозначается d.
Иначе говоря, последовательность (an) – арифметическая
прогрессия, если для любого натурального числа n
выполняется условие:
an+1= an+ d.
Из определения арифметической прогрессии следует, что
разность между любым её членом, начиная со второго и
предыдущим членом равна d, т.е. an+1- an = d.
Определение: Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго равен предшествующему сложенному с одним и тем же числом. Это число называется разностью арифметической прогрессии и обозначается d.Иначе говоря, последовательность (an) – арифметическая прогрессия, если для любого натурального числа n выполняется условие: an+1= an+ d.Из определения арифметической прогрессии следует, что разность между любым её членом, начиная со второго и предыдущим членом равна d, т.е. an+1- an = d. 1234657
меню
5
6
Теория по теме
3
4
2
«Арифметическая прогрессия»
7
1
Примеры:
1). Арифметическую прогрессию можно задать первым её
членом и разностью.
Пусть a1 = 1, d = 2, то получим арифметическую
прогрессию
(an) : 1; 3; 5; 7;… , каждый следующий член которой на 2
больше предыдущего.
Пусть a1 = 4, d = -3, то получим арифметическую
прогрессию
(an) : 4; 1; -2; -5;… , каждый следующий член которой на 3
меньше предыдущего.
2). Арифметическую прогрессию можно задать двумя
первыми её членами.
Пусть a1 = 1, a2 = 4, тогда можно найти разность
d = a2 - a1 ; d = 4 – 1 = 3.
Получим арифметическую прогрессию (an): 1; 4; 7; 10;…,
каждый следующий член которой на 3 больше
предыдущего.
Примеры: 1). Арифметическую прогрессию можно задать первым её членом и разностью. Пусть a1 = 1, d = 2, то получим арифметическую прогрессию(an) : 1; 3; 5; 7;… , каждый следующий член которой на 2 больше предыдущего. Пусть a1 = 4, d = -3, то получим арифметическую прогрессию(an) : 4; 1; -2; -5;… , каждый следующий член которой на 3 меньше предыдущего. 2). Арифметическую прогрессию можно задать двумя первыми её членами. Пусть a1 = 1, a2 = 4, тогда можно найти разность d = a2 - a1 ; d = 4 – 1 = 3.Получим арифметическую прогрессию (an): 1; 4; 7; 10;…, каждый следующий член которой на 3 больше предыдущего. 1234657
Теория по теме
3
4
5
меню
«Арифметическая прогрессия»
7
1
2
6
Формула n-го члена арифметической прогрессии
Если в арифметической прогрессии известны первый член
(a1) и разность (d), то можно выразить каждый член
арифметической прогрессии :
a2= a1+ d
a3= a1+ 2d
a4= a1+ 3d
a5= a1+ 4d
…..
Следовательно: an= a1+ (n-1)d - это формула n-го
члена
арифметической прогрессии.
Пример:
Пусть в арифметической прогрессии a1 = 6, d=-2, найти 17
член прогрессии.
Решение: a17= a1+ 16d, a17= 6+ 16(-2)=-26.
Формула n-го члена арифметической прогрессии Если в арифметической прогрессии известны первый член (a1) и разность (d), то можно выразить каждый член арифметической прогрессии : a2= a1+ d a3= a1+ 2d a4= a1+ 3d a5= a1+ 4d …..Следовательно: an= a1+ (n-1)d - это формула n-го члена арифметической прогрессии.Пример:Пусть в арифметической прогрессии a1 = 6, d=-2, найти 17 член прогрессии.Решение: a17= a1+ 16d, a17= 6+ 16(-2)=-26. 1234657
3
4
5
меню
Теория по теме
6
«Арифметическая прогрессия»
7
1
Образцы решения примеров
2
1). Последовательность (an) – арифметическая прогрессия, a5= 12,
a9= 20, найти a13.
Решение: а13 = а1 + 12d;
так как разность между а9 и а5 составляет 4d, то: d = (a9 - a5)/4; d=
(20-12)/4 = 2.
Зная а5, можно найти а1: a1= a5- 4d; a1= 12 – 4*2 = 4,
тогда: a13= 4 + 12*2 = 28.
2). Выяснить, является ли членом арифметической прогрессии: -12;-
7;… число 93?
Решение: аn = а1 + (n-1)d.
Нужно выяснить: существует ли такой номер n, что аn = 93?
Найдём d: d = -7 – (-12) = 5.
Подставляем в формулу: аn = а1 + (n-1)d известные величины,
получаем:
93 = -12 + (n-1)*5;
93 = -12 +5n – 5;
-5n = -93 – 12 – 5;
-5n = -110; n = 22.
Cледовательно: а22 = 93, т.е. 93 является членом арифметической
прогрессии: -12;-7…
Образцы решения примеров1). Последовательность (an) – арифметическая прогрессия, a5= 12, a9= 20, найти a13. Решение: а13 = а1 + 12d; так как разность между а9 и а5 составляет 4d, то: d = (a9 - a5)/4; d= (20-12)/4 = 2. Зная а5, можно найти а1: a1= a5- 4d; a1= 12 – 4*2 = 4,тогда: a13= 4 + 12*2 = 28.2). Выяснить, является ли членом арифметической прогрессии: -12;-7;… число 93?Решение: аn = а1 + (n-1)d.Нужно выяснить: существует ли такой номер n, что аn = 93?Найдём d: d = -7 – (-12) = 5.Подставляем в формулу: аn = а1 + (n-1)d известные величины, получаем:93 = -12 + (n-1)*5; 93 = -12 +5n – 5;-5n = -93 – 12 – 5;-5n = -110; n = 22. Cледовательно: а22 = 93, т.е. 93 является членом арифметической прогрессии: -12;-7… 1234657
Теория по теме
«Арифметическая прогрессия»
7
1
Свойства арифметической прогрессии:
1). Каждый член арифметической прогрессии, начиная со
второго равен среднему арифметическому предыдущего и
последующего членов.
2
3
4
меню
5
6
2). Любая арифметическая прогрессия может быть задана
формулой вида
an = kn + b,
где k и b– некоторые числа.
Например : в арифметической прогрессии (an): a1 = 2, d =
-3,
тогда: a n= 2 +(n – 1)*(-3) = 2 – 3n + 3 = -3n + 5.
Данную арифметическую прогрессию можно задать
формулой:
an = -3n + 5.
3). Если последовательность задана формулой вида an =
kn + b, где k и b – некоторые числа, то это арифметическая
прогрессия.
Свойства арифметической прогрессии:1). Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов.2). Любая арифметическая прогрессия может быть задана формулой вида an = kn + b,где k и b– некоторые числа.Например : в арифметической прогрессии (an): a1 = 2, d = -3,тогда: a n= 2 +(n – 1)*(-3) = 2 – 3n + 3 = -3n + 5. Данную арифметическую прогрессию можно задать формулой: an = -3n + 5.3). Если последовательность задана формулой вида an = kn + b, где k и b – некоторые числа, то это арифметическая прогрессия. 1234657
3
4
5
меню
Теория по теме
6
2
«Арифметическая прогрессия»
1
7
Формула суммы первых n членов арифметической
прогрессии
Сумму первых n членов арифметической прогрессии можно
найти по формуле:
Пример: Найти сумму первых двадцати членов
арифметической прогрессии 2; 2,3;….
В данной арифметической прогрессии а1 = 2, d = 0,3.
Найдём двадцатый член прогрессии по формуле:
а20 = а1 + 19d;
а20 = 2 + 19*0,3 = 7,7.
Найдём сумму первых двадцати членов прогрессии по
формуле:
S20 = (a1 + a20)*10;
S20 = (2 + 7,7)*10 = 97.
Формула суммы первых n членов арифметической прогрессииСумму первых n членов арифметической прогрессии можно найти по формуле: Пример: Найти сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии 2; 2,3;….В данной арифметической прогрессии а1 = 2, d = 0,3. Найдём двадцатый член прогрессии по формуле: а20 = а1 + 19d; а20 = 2 + 19*0,3 = 7,7.Найдём сумму первых двадцати членов прогрессии по формуле: S20 = (a1 + a20)*10; S20 = (2 + 7,7)*10 = 97. 1234657
Теория по теме
3
4
5
меню
«Арифметическая прогрессия»
7
1
2
6
Пример на нахождение суммы первых n членов
арифметической
прогрессии
1). Найти сумму первых 30 членов последовательности (аn),
заданной
формулой: аn = -3n + 4.
Решение:
Последовательность аn = -3n + 4 является арифметической
прогрессией, так как она задана формулой вида: an = kn +
b.
Найдём первый и тридцатый члены прогрессии:
а1 = -3*1 + 4 = 1; а30 = -3*30 + 4 = -86;
Теперь найдём сумму первых тридцати членов
арифметической прогрессии по формуле:
S30 = (a1 + a30)*15
S30 = (1 - 86)*15 = -1275.
Пример на нахождение суммы первых n членов арифметической прогрессии1). Найти сумму первых 30 членов последовательности (аn), заданнойформулой: аn = -3n + 4.Решение:Последовательность аn = -3n + 4 является арифметической прогрессией, так как она задана формулой вида: an = kn + b.Найдём первый и тридцатый члены прогрессии: а1 = -3*1 + 4 = 1; а30 = -3*30 + 4 = -86; Теперь найдём сумму первых тридцати членов арифметической прогрессии по формуле: S30 = (a1 + a30)*15 S30 = (1 - 86)*15 = -1275. 1234657
Практика по теме
«Арифметическая прогрессия»
1
4
Выполни задание в тетради, затем выбери вариант
верного ответа.
Пример №1.
В арифметической прогрессии: 6; 7,5;….. найдите 21
член.
2
меню
3
Подсказка:
Найди разность d, по формуле: d = a2 – a1.
Найди 21-ый член прогрессии по формуле: a21 = a1 + 20d.
9
37,5
36
24
Подсказка
Выполни задание в тетради, затем выбери вариант верного ответа.Пример №1.В арифметической прогрессии: 6; 7,5;….. найдите 21 член. 1234937,53624Подсказка Подсказка:Найди разность d, по формуле: d = a2 – a1.Найди 21-ый член прогрессии по формуле: a21 = a1 + 20d.
Практика по теме
«Арифметическая прогрессия»
4
1
2
меню
3
Выбран неверный вариант ответа!
Пример №1.
В арифметической прогрессии: 6; 7,5;….. найдите 21
член.
Смотри верное решение:
a21 = a1 + 20d;
d = 7,5 – 6 = 1,5;
a21 = 6 + 20*1,5 = 6 + 30 = 36.
Ответ: 36
Выбран неверный вариант ответа! Пример №1.В арифметической прогрессии: 6; 7,5;….. найдите 21 член. 1234 Смотри верное решение: a21 = a1 + 20d; d = 7,5 – 6 = 1,5; a21 = 6 + 20*1,5 = 6 + 30 = 36. Ответ: 36
Практика по теме
«Арифметическая прогрессия»
1
4
Выбран верный вариант ответа!
Пример №1.
В арифметической прогрессии: 6; 7,5;….. найдите 21
член.
2
меню
3
Сравни своё решение с предложенным:
a21 = a1 + 20d;
d = 7,5 – 6 = 1,5;
a21 = 6 + 20*1,5 = 6 + 30 = 36.
Ответ: 36
Выбран верный вариант ответа! Пример №1.В арифметической прогрессии: 6; 7,5;….. найдите 21 член. 1234 Сравни своё решение с предложенным: a21 = a1 + 20d; d = 7,5 – 6 = 1,5; a21 = 6 + 20*1,5 = 6 + 30 = 36. Ответ: 36
Практика по теме
«Арифметическая прогрессия»
4
1
Выполни задание в тетради, затем выбери вариант
верного ответа.
Пример №2.
В арифметической прогрессии (an): a1 = 5, a6 = 8, найдите
а16.
2
меню
3
Подсказка:
Найди разность d, по формуле: d = (a6 – a1)/5.
Найди 16-ый член прогрессии по формуле: a16 = a1 + 15d.
53
14
50
17
Подсказка
Выполни задание в тетради, затем выбери вариант верного ответа.Пример №2.В арифметической прогрессии (an): a1 = 5, a6 = 8, найдите а16. 123453145017Подсказка Подсказка:Найди разность d, по формуле: d = (a6 – a1)/5.Найди 16-ый член прогрессии по формуле: a16 = a1 + 15d.
Практика по теме
«Арифметическая прогрессия»
4
1
Выполни задание в тетради, затем выбери вариант
верного ответа.
Пример №2.
В арифметической прогрессии (an): a1 = 5, a6 = 8, найдите
а16.
2
меню
3
Подсказка:
Найди разность d, по формуле: d = (a6 – a1)/5.
Найди 16-ый член прогрессии по формуле: a16 = a1 + 15d.
53
14
50
17
Подсказка
Выполни задание в тетради, затем выбери вариант верного ответа.Пример №2.В арифметической прогрессии (an): a1 = 5, a6 = 8, найдите а16. 123453145017Подсказка Подсказка:Найди разность d, по формуле: d = (a6 – a1)/5.Найди 16-ый член прогрессии по формуле: a16 = a1 + 15d.
Практика по теме
«Арифметическая прогрессия»
4
1
2
меню
3
Выбран неверный вариант ответа!
Пример №2.
В арифметической прогрессии (an): a1 = 5, a6 = 8, найдите
а16.
Смотри верное решение:
d = (a6 – a1)/5;
d = (8 – 5)/5 = 0,6;
a16 = a1 + 15d;
a16 = 5 + 15*0,6 = 5 + 9 = 14.
Ответ: 14
Выбран неверный вариант ответа! Пример №2.В арифметической прогрессии (an): a1 = 5, a6 = 8, найдите а16. 1234 Смотри верное решение: d = (a6 – a1)/5; d = (8 – 5)/5 = 0,6; a16 = a1 + 15d; a16 = 5 + 15*0,6 = 5 + 9 = 14. Ответ: 14
Арифметическая прогрессия.pptx
