УМП "Производная"

  • Работа в классе
  • doc
  • 04.09.2017
Публикация в СМИ для учителей

Публикация в СМИ для учителей

Бесплатное участие. Свидетельство СМИ сразу.
Мгновенные 10 документов в портфолио.

Учебно- методическое пособие для учителя и его учеников. Разработано в помощь при прохождении материала при изучении темы "Производная". Цель предлагаемой работы — помочь тем, кто изучает дифференци-альное исчисление, приобрести навык решения стандартных задач. Рекомендуется перед выполнением индивидуальных заданий, ознако-миться с теорией и решением типовых примеров изложенных в данном учебно-методическом пособии.
Иконка файла материала УМП Производная.doc
Министерство образования и науки Российской Федерации Волгоградский филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения инклюзивного высшего образования «Московский государственный гуманитарно­экономический университет» Учебно­методическое пособие для студентов по теме: «Производная» 1Волгоград 2014 2Предисловие Цель   предлагаемой   работы   —   помочь   тем,   кто   изучает дифференциальное исчисление,   приобрести навык решения стандартных задач. Рекомендуется   перед   выполнением   индивидуальных   заданий, ознакомиться   с   теорией   и   решением   типовых   примеров   изложенных   в данном учебно­методическом пособии. 31. Определение производной. Дифференцирование функций 1.1. Производной    функции    у = f (x)  называется  предел   отноше ния  приращения  функции  к  соответствующему приращению аргумента,  когда приращение аргумента стремиться к нулю:  x )  x  x )(  y  x xf )( xf (  . f lim  x 0 lim  x 0 Если этот предел конечный, то производная существует и функция   f  (x) называется  дифференцируемой      в   точке  x.  Производная   обозначается dy   Процесс   нахождения   производной   называется dx также  у'  (x)  или   . дифференцированием функции. 1.2. Правила дифференцирования функций.  Пусть  С  R —  посто­ янная,  и = и (х),  v = v(x) — функции, имеющие производные. 1.С ' =0 .                                        2. (Си)' =С ∙ u' . 3. (u ± v)' = и' ±  v'.                         4.  (u ∙ v)’ =u’ ∙ v + u ∙ v’ .         5.   u v  vuvu 2v   .         6. Правило дифференцирования сложной функции.  Если  функция  y = =  f  (u) дифференцируема по  и, а функция  и =   функция  y = f (φ (x)) имеет производную  y' =f ' (u) ∙ u' (x) . 1.3. Таблица производных элементарных функций  (φ x)  —  по  х  , то сложная  1 uun n  . n  )    u u 2 . 1.  u ( 1а.  2.  3.  4.  u u u   a  log  usin  a ua ln .  ua  u  a u ln cos u u. .   u u 2 . sin  . uu u 1б.  2а.  e 3а.  ln u  1   u u       1 u .  u e  u . u    u 5.   cos 4 u arcsin 6.  tg 8.  10.  12.  u 2 u  u . cos   u u  21 u  u  1 u 1  u  uv u  v 2  arctg v   u 7. (ctg u)   sin  9.   u  11.  arcctg arccos u   u 2 .  u  21 u  u .  1 u 2 . . . v  ln  vu  (вывод этой формулы см. в п. 1.6).  u 1.4.  Производные второго порядка.  Производной второго порядка  называется производная от ее )(xf y  (второй производной ) от функции  производной, т. е.  f  )( x xf ))( (  . Вторую производную также обозначают   )(xy    или   2 yd 2 dx . Производная от производной второго порядка называется производной третьего порядка и т. д. Производную n­го порядка обозначают  )()( y n x  или   n yd n dx . 1.5.   П р и м е р ы.  Используя  правила  дифференцирования  и таблицу производ­ 2 4 x 3   ных, найдем производные следующих функций:   y 1) ,   3)  ,     5)  ,      2)  ,     7)   31( 32 ) 7 3 x  5 x y x 5 x 3 3 ,     6)  x  x y Р е ш е н и е . 1) Перепишем  данную функцию, записав слагаемые  в виде степени: 3  cos2 2 sin 2 x e y y . x 4  3 x 1 4 y 2 5 x  7 x  3 .    Тогда    y  4 3(  x 1 4  ) 5( x 2  ) 7( x  3 4 1  ) 4 3 1 4  x  52 x y 2 x arcsin x ,     4)  y   lntg( 4  x )  )3(7 x  4  4 4 4 3 x  10 x  21 4 x . 2) Записываем данную функцию в виде степени:  y y  31( x 2 ) 3 5  2 5  31( x 2  ) 31( x 2 3 5 22 ) 3) Применив формулу 4  п. 1.2  правил дифференцирования, находим:  x 18 5  31(5 . 3 5  и вычисляем:   2x )31( 2 5  6 x )  y ( x 2  ) arcsin x  2 x  (arcsin x  ) 2 x arcsin x  x  1 2 2 x . 4) Дифференцируя функцию  y  (tgln  4  x )  как сложную, находим производную:  y (tg( (tg  ))  4  4  x  x )  1  4  x ) (tg  (  4 2  x )   x ( 4 )  sin(  4 1  cos( ) x  4  x )  2   2 sin( x )2  2 cos 2 x . cos 5) В соответствии с формулой 5 п. 1.2 получаем: 5 y 3 ( x  () x  ( )3  x 3  x 2 )3  ( x  )3 3 x  3 x 2   ( x )3 2  ( x )3  2 x 2 ( x 3   9 x 2 )3 . 6) По аналогии с примером 3 находим:  y      x 3 e      cos 2 2 x  e x 3  (cos 2 )2 x  1 3 e x 3  cos 2 2 x  e x 3  2 cos 2 x  ( x 3  1 3 e  cos 2 2 x  e 2 x 3 4sin x . 2)2sin  x 7) Так как данная функция — показательная, то  согласно формуле 2 п.1.3, y  2 sin x   (2ln sin x  2 ) sin x 12ln   2 (sin x )  1 2  cos x  2 sin x  cos x  2ln  2 1 sin x . 1.6.  Степенно–показательная   функция.  Выведем   формулу   для vuy  , считая что u  и  v производной степенно–показательной функции   дифференцируемые функции и  0u . Р е ш е н и е .   Логарифмируя   равенство   uv ln части   полученного   равенства    Следовательно, образом, получили    ln  uv  ( vy v  u ) u  1 u v v u ( u y ) ln  v y  ln ( vu v u ln  v u  . vu vu y    и   дифференцируя   обе   ln u ,   находим: . vu u    v u . Таким ) u u  y   y  uv  v 1 u v vu ln  З а м е ч а н и е .   Степенно–показательная     функция     дифференцируется     как степенная плюс как показательная. Например, производная функции  y )7( x cos x , где х>0,  равна   y cos x  )7( x cos x  1  )7( x  )7( x cos x  )7ln( x  (cos x  )  7 cos x  )7( x cos x  1  )7( x cos x  )7ln( x  sin x .       З а д а н и е   1 . Найти первые производные функций. В заданиях  а) и б)  дополнительно найти вторые производные. 1. а) у = 3х 5 –  1 x x x 4  x ; ; б) у =  sin 2 cos в) у = (х + 1)2  cos5x; г) у = arctg(е2x + 3); д) у =  x  3 x ; 2. а) у =  7 4 x  б) у =  x 1   3 e cos 1 2 x  x  2 3 x 2 x ; ; 6 е) у = ln tg(2x+1); ж) у =  х х ( 3 2 )2 ; з) у = 23х + 7х 7  +  и) у =  ; 7,0 ctg к) у = х arcsin x. x2 е) у = x2  cos7x ; 2xe ; ж) у =  2 x ( x 2 )1 ;в) у = ( х + 2)   2xe  ; г) у =  sin( 3 7 x )1  + 8x; д) у = x tg2 + 3 cos x4 3. а) у =  7 x  3 x  1 x 3 ; ; б) у = 3 1 1   x x 2 2 ; в) у = 3х  arcsin 2x; з) у = ln 5 sin x; и) у = arcsin e 4x; 1 xx )2 к) у =  (sin . е) у = sin 4 х + cos 4 x; ж) у = ln  2 1 x x  ; 2 з) у = (х2 + 2х + 2)  е ­х; 4. 3 1x ; x4 cos 3  x ; 12 x г) у =  + 3 д) у = 3 ctg x + 8 1 2 x ; б) у = 3 а) у =  1 x  9 x 2 2 3 в) у =  e 5sin x  ln x ; г) у = ln sin (2x + 5); д) у =  5. а) у =  x2cos9,0 ; 1  x 3 5 x  5 ;                       и) у = sin(x+ 6) – x  cos 4x; к) у =  ( 2 x ) 1 x . е) у = х  arctg 3x; 2 9 9   x x ж) у =  з) у = 3 sin2 x  cos 2x; ; 2 и) у =  2  e x 2  x  к) у =  x arccos x . 3 x  ; 5 x ; е) у =  x 1 x  2 б) у =  42 x 3  –  3  x 1 ; 3 x в) у = (ln x +1)2  cos 2x ; г) у = arcsin x41  ; д) у = 5 tg x  + 3 sin ; x 6. а) у =  2 x 7  1 x 7 7 7  2 x ; б) у =  x  x  ; x в) у = (3 – sin 2 x) 3 ; ; ; ж) у =  1 1   e e x x з) у = sin2 2x+ cos x ; и) у = ln tg 5x ; к) у =  (  x 2)1 x . е) у = arctg x 2 + 7x6 + 2 ; 2 x 3 ж) у =  з) у = х 2  ln(x 2 + 1); x 1 ; 1  г) у =  cos 3 x x д) у =  e 2 + 3; 2 x  + sin (3x + 9) ; и) у =  1 2 x  1  5 5 3 x  1 ; к) у = (sin x) tg x. 7;   5 4 5sin x 2 cos x е) у =  ж) у = ( х 2 +1)  arctg 4x; з) у = ( 2х + 5)   5xe  ; и) у = ln 1x ; x . x) (cos к) у =  е) у = е х  cos x; ж) у = 3 х 2  ln x 3; з) у =  и) у = (2х + 2 cos x)  е –х ; к) у = ( sin 2x) cos x .  2sin 3 xe 2  9 x ; ж) у =  x   – ln 4x ; 1x arcsin x x 2 з) у =  и) у = cos 100 x + sin 100x ; 1  ; к) у =  3 arccos x3 . е) у = sin x  cos (7x+ 5); ж) у = ( е cos x + 3) 2; з) у = ln sin (3x + 5); и) у =  ; 3 x x 12 ; е) у = е 4sin x 8 ; 7. 8. 9. 7 7   1 7 x x  x 3  а) у =  б) у =  25 x в) у =arcsin(3x2 + 2); 43  3 x ; + 4x  ln x; г) у =  sin  2 д) у =  sin3 9 x 4 а) у =  2 x 2 cos x2 ; 4 9 x  x  1 1 б) у =  3  2 в) у = arctg   г) у = х  arccos x2ctg2,0 д) у =  15 15 3 x а) у =  x  3 x ; 9  4 x ; ; 2 ; 3 x x 2 ; 4 x ;  x 3 2 ln б) у =  1 x2  3cos x  x 3sin tg 2 x в) у =  г) у =  д) у = ( х + х 2 ) х ; ; 4 ; 4  + 8x + 7; 5 2 2  5 10 x cos x 1 x 2 x 1 10 5 x ; ; ; ; 2 x  10.а) у =  5 x 10  б) у =   1 в) у = х 2   г) у =arctg  д) у =  sin5  x 11 11.а) у =  3 б) у =  (sin  1 3 x ; 5 11 x x  2 x  11  3 x ; cos x 2 2) ; к) у = ( х 3 ) ln х. е) у = (1 – х2 )  cos 2x; ж) у =  3 x  xx ; 2 ; 25 x в) у =  г) у = arctg(ln x) +ln(sinx);  д) у = 2  cos (4x+x2); з) у = е –х  sin 2x ; и) у = ln 5( x 2 – 1); к) у =  . 1 xx ) ( 12.а) у =  12 x 7  12 7 x 7  2 x ; е) у = е ctg 3 x; 8x 2  4 x ; б) у =  2x  arccos  в) у =  5 x 4 x ; 2 г) у = arctg 2 x + 6x2; д) у =   + 7 2 2 cos x4 ; 6    1 x  5 x 1 7 7 x 6 x x  2 6  x 6 5 x 2 1 ; 5 x ; x ; 13.a) у =  6 б) у =  3 в) у =   г) у = ln 3 sin (3x + 3); д) у =  x3tg2 14  x 14.a) у =  12 ; 14 2 x 3x ; 12  x ; ; б) у =  3 в) у =  x  2 x 2 x 2 г) у = ln (2x3 +3x2 ); д) у =  15.a) у =  x x 15 x 15 15  2 x ;  x ; б) у = (5х + х 3 )  ln x 2; в) у =   cos x  1 sin г) у = arccos  x  +2sin 4x + 4; x 1 22 x ; 16. a) у =  д) у = 0,7 arctg х; 5  2 x 2 б) у =  3 x   2 x 5 5 2 x ; 2 x ; cos 3 x  1 x в) у =  г) у = х  arccos x – ; 3 2 x 3 ; ж) у =  4 1  cos з) у =   4 sin( 3cos  5 x ; 4 x x ; )3 и) у = ( х 3 + х 2 )  е –х; к) у =  arcsin . 2 x x 2 ; з) у = arctg  е) у = ln( x 2 + 5);  ж) у = х 5  е –х; x  1 x cos x cos x x . и) у =  к) у =  е) у = 8х   ж) у = ( 3х +1) 5  cos3x; з) у =  x x x sin) 2xe sin sin (   ; ; ; sin cos x 2 x 3 и) у = arctg 2 e x ; к) у =  x 2ln x . е) у = cos (10x+x3); ж) у =  7 з) у =  5 3 x ) 3 x cos 5sin x 1(   ; ; 3 и) у = ln(4+sin4x); . x x sin к) у =  е) у =(3х + 2)  sin 3x; ж) у = ln 2 tg 2x ; sin x 2 cos x и) у = arcsin( e 7x ); cos 2 sin з) у =  x x  ; д) у =  17. a) у =  x 7 ; x2ln7 7 3 x   к) у = (sin2x) x. е) у = е х sin 2x; 3 7 x ; 9ж) у = arctg з) у =  3 x  3 x   x ; 2 3 x ; и) у = cos (3x ); . 8 ; 2 (arcsin )2() к) у =  xx е) у =( х 2 + 6 )  ln 3x; x  3 x ж) у =   +  з) у = е 3х  cos 3x; 1 ; и) у = arctg 2  x )2()1 к) у =  x x 1 x  x 9 ( . 2 x ; sin ln x sin б) у =  в) у = (5 + х 3 ) 2  е –х;  1 x ; г) у =  42 x  д) у =  18. a) у =  x 7  5 cos 5 3 x 4 2 ;  5 3 x x ; 3  5 x ; x  2 ) б) у =  x 5sin2  3cos 1 x arcsin(cos ; в) у =  г) у = 2tg 3(x 3 + 2) ; д) у = 2 sin 3x; 5 x 5  7 x x ;  5 2 б) у = ln ctg 3 x; в) у =  7 x 5 x ; 2 19.a) у =  г) у = arctg(tg 2 x + 2 ); ; д) у =  x2 cos x 12 20. a) у = x7 –   6 ; x  + 7 x 6 x  6 arctg x ; 3 3 x  cos ; x б) у =  в) у =  г) у =  x 3 x  sin x 1x ; д) у = ln 2 sin3x; 5 5 21. a) у =  б) у =  в) у =  x  1 5 x x 2 xex   x ; x ;  + 5 cos x4 ; г) у = arctg(7sin3x); д) у =  2 x  1 2 x  ; 1 22. а) y =  4 3 x   5 2 x 3 3 x  2 ; з) у =  е) у = sin 26x + 3x2; ж) у =  x  3 arcsin x 2  1 e  e 1 и) у =   ln( к) у =  xx ) (sin  2 ; 4 x x x 2 2 x ; x  )3 ; . x ; 2 е) у =  ln2 ctg x (6 x ж) у =  ; з) у = arcsin (e –4x); )1 и) у =  к) у =   1  1 x x 5 xex)3(  + 3 cos x4 ; . 2 2 2 x   +  1 x x 6 е) у =  3 x ж) у = ln 2 arctg x ; (tg з) у = ln ; x ); 2 и) у =  к) у =  x ;  cos x 2 sin x x cos ( ) 2 . 3 x  1 x  21  1 cos 3 x 2 x cos ; е) у =  10б) у = tg ( x 2 +3); ж) у =  x)9,0( ; в) у =  x 2 cos x ; x 2  4 ( г) у = ln tg д) у = х 2  arcsin (9x + 2) ; ) ; x 3 5x ) ; з) у =  sin 3  cos x ; и) у =  к) у =  (7,0 xx  ln3( x  )2 . 23. a) у =  б) у =  3 2 x  2  x  4 3 2 x x 2sin  3 ; x  ;  в) у =  sin 4 x  x 2  cos 2 ; x г) у =  ln 1 1   sin sin x x ; д) у =  cos5 2 x ; ; 2xe е) у =  ж) у =3 tg 6 x + 7; з) у = 4х  arctg (2x+ 9); и) у =  к) у =  (    x x 1 x 2 ; 2 )3 arccos    x . 24. a) y =  3 2 x б) у =  в) у =  г) у =   1  1 3 x ( x 2    2 2 x  ; 3 3 x sin x sin x   arctg x ;  xe  x ) 3  ; 1 ; е) у = tg (x 2 +cos x); x  2 1( ж) у =  1 2 3  x з) у =  и) у =  3  3 ln x  ; sin x 2 x  2 ; arcsin x )  ; 25. a) у =  5  ; x 3  д) у =  x2ln15 1  2 5 x 2 tg 3 x + б) у = tg x + 3  ; 1 tg 5 x; 5 в) у = х 3  ( х – 5 cos x ) 2  1 4 x г) у =   x x 32 x  x ; д) у = 5 x3sin 3 26. a) у =  4 2 x x 3 x  2 б) у =   2 e   e 9 4 x ; 2 3  x ;   x2; в) у = arctg( x 2+e3x); г) у = ln tg (5x+1); 11 к) у =  ( x arctg x . ) е) у =  1 x 2 + 5 x3cos ; ж) у = ln 2 sin x; 2 2 ; x x 2xe 9 9 з) у = arccos    и) у = (1 + 9х )   к) у = ( 1 + х ) cos x. е) у = ln(2x – 3); ; ж) у =  3 8   4sin 3 cos x x ; з) у = (2х3 + 5)4  х 3; и) у = sin 5x+cos 3x 3;д) у = 3 ln3x; 27. а) у = 3x5 –  5 5 x  +  5 5 x 2 ; б) y = arcsin (3x3 + 4); в) y = ( x+ 8)  arctg 4x3 ; г) y =  2 x 2 x ; 3  3 x 3 д) y = 4x  ( 1 – 3ln x); к) у =  2 xx . е) y =   4sin 5 x x cos 4 2 x  ; ж) y = ln cos(5x 3 + 4); з) y = ( ctg 3x + 1 )5; и) y = 5 x2sin ; к) y = (cos x ) x . е) у = сos 2 x –2ln cos x; 1 x ; з) у =  и) у =  arcsin 2 7 x 2 ; 1 x 28. a) y =   x 5 1 2 x 1 б) у = arctg  1   5  x ; x в) у =  3 2)34( г) у = х2  ctg2 x ; x x ; ; ж) у =  1(  3)4sin ; д) у = cos 2 5x + 7x; к) у = (cos x ) sin x. 29. а) у =  2 3  x ;  3 1 x 3 ; 2 1 2 x 2 x  б) у =  в) у = (х + 5) 7  sin3x; 2 2 г) у =  sin 3 x  cos 3 ; x 30. а) у =  1 x 1 2 x д) у = 52 ctg x ;    3 ; б) у = 3х  sin 5x + 8; в) у = (3 + sin x) 2  x; 1 3 x г) у =  д) у =  3 x   2  2 x 3 ; 2 5 x arcsin x ; 4 2 x ; 1 е) у = arctg  1  1 x x ж) у =  з) у = (х +1)  arccos (x 2 +1); ; ; 5 2 и) у =  x ln 5 x к) у = (tg x)х. sin x  2 cos    1 2    ; е) у =  ж) у =х (cos ln x + sin ln x ); з) у =  x 3 x 2 x ;  e ) (2 e и) у = 0,92 к) у =  x ( ( 3x ) 2tg) x ; .  2. Геометрические приложения производной  2.1. Т е о р е м а .   Если кривая задана уравнением   f  ( 0x , то значение   в точке   0x   равно угловому коэффициенту   k   производной   f  (x y  (xf ) ) ) 12