Учебно- методическое пособие для учителя и его учеников. Разработано в помощь при прохождении материала при изучении темы "Производная". Цель предлагаемой работы — помочь тем, кто изучает дифференци-альное исчисление, приобрести навык решения стандартных задач.
Рекомендуется перед выполнением индивидуальных заданий, ознако-миться с теорией и решением типовых примеров изложенных в данном учебно-методическом пособии.
УМП Производная.doc
Министерство образования и науки Российской Федерации
Волгоградский филиал федерального государственного бюджетного
образовательного учреждения инклюзивного высшего образования
«Московский государственный гуманитарноэкономический
университет»
Учебнометодическое пособие
для студентов по теме:
«Производная»
1 Волгоград 2014
2 Предисловие
Цель предлагаемой работы — помочь тем,
кто изучает
дифференциальное исчисление, приобрести навык решения стандартных
задач.
Рекомендуется перед выполнением индивидуальных заданий,
ознакомиться с теорией и решением типовых примеров изложенных в
данном учебнометодическом пособии.
3 1. Определение производной. Дифференцирование функций
1.1. Производной функции у = f (x) называется предел отноше
ния приращения функции к соответствующему приращению аргумента,
когда приращение аргумента стремиться к нулю:
x
)
x
x
)(
y
x
xf
)(
xf
(
.
f
lim
x
0
lim
x
0
Если этот предел конечный, то производная существует и функция f (x)
называется дифференцируемой в точке x. Производная обозначается
dy Процесс нахождения производной называется
dx
также у' (x) или
.
дифференцированием функции.
1.2. Правила дифференцирования функций. Пусть С R —
посто
янная, и = и (х), v = v(x) — функции, имеющие производные.
1.С ' =0 . 2. (Си)' =С ∙ u' .
3. (u ± v)' = и' ± v'. 4. (u ∙ v)’ =u’ ∙ v + u ∙ v’ .
5.
u
v
vuvu
2v
.
6. Правило дифференцирования сложной функции. Если функция y
=
= f (u) дифференцируема по и, а функция и =
функция y = f (φ (x)) имеет производную y' =f ' (u) ∙ u' (x) .
1.3. Таблица производных элементарных функций
(φ x) — по х , то сложная
1
uun
n
.
n
)
u
u
2
.
1.
u
(
1а.
2.
3.
4.
u
u
u
a
log
usin
a
ua
ln
.
ua
u
a
u
ln
cos u u.
.
u
u
2
.
sin
.
uu
u
1б.
2а.
e
3а.
ln
u
1
u
u
1
u
.
u
e
u
.
u
u
5.
cos
4
u
arcsin
6.
tg
8.
10.
12.
u
2
u
u
.
cos
u
u
21
u
u
1
u
1
u
uv
u
v
2
arctg
v
u
7. (ctg u)
sin
9.
u
11.
arcctg
arccos
u
u
2
.
u
21
u
u
.
1
u
2
.
.
.
v
ln
vu
(вывод этой формулы см. в п. 1.6).
u
1.4. Производные второго порядка. Производной второго порядка
называется производная от ее
)(xf
y
(второй производной ) от функции
производной, т. е.
f
)(
x
xf
))(
(
.
Вторую производную также обозначают
)(xy
или
2
yd
2
dx
. Производная от
производной второго порядка называется производной третьего порядка и
т. д. Производную nго порядка обозначают
)()(
y n
x
или
n
yd
n
dx
.
1.5. П р и м е р ы. Используя правила дифференцирования и таблицу производ
2
4
x
3
ных, найдем производные следующих функций:
y
1)
, 3)
,
5)
, 2)
, 7)
31(
32 )
7
3
x
5
x
y
x
5
x
3
3
, 6)
x
x
y
Р е ш е н и е . 1) Перепишем данную функцию, записав слагаемые в виде степени:
3
cos2
2
sin
2
x
e
y
y
.
x
4
3
x
1
4
y
2
5
x
7
x
3
. Тогда
y
4
3(
x
1
4
)
5(
x
2
)
7(
x
3
4
1
)
4
3
1
4
x
52
x
y
2
x
arcsin
x
, 4)
y
lntg( 4
x
)
)3(7
x
4
4
4
4
3
x
10
x
21
4
x
.
2) Записываем данную функцию в виде степени:
y
y
31(
x
2
)
3
5
2
5
31(
x
2
)
31(
x
2
3
5
22
)
3) Применив формулу 4 п. 1.2 правил дифференцирования, находим:
x
18
5
31(5
.
3
5
и вычисляем:
2x
)31(
2
5
6
x
)
y
(
x
2
)
arcsin
x
2
x
(arcsin
x
)
2
x
arcsin
x
x
1
2
2
x
.
4) Дифференцируя функцию
y
(tgln
4
x
)
как сложную, находим производную:
y
(tg(
(tg
))
4
4
x
x
)
1
4
x
)
(tg
(
4
2
x
)
x
(
4
)
sin(
4
1
cos(
)
x
4
x
)
2
2
sin(
x
)2
2
cos
2
x
.
cos
5) В соответствии с формулой 5 п. 1.2 получаем:
5
y
3
(
x
()
x
(
)3
x
3
x
2
)3
(
x
)3
3
x
3
x
2
(
x
)3
2
(
x
)3
2
x
2
(
x
3
9
x
2
)3
.
6) По аналогии с примером 3 находим:
y
x
3
e
cos
2
2
x
e
x
3
(cos
2
)2
x
1
3
e
x
3
cos
2
2
x
e
x
3
2
cos
2
x
(
x
3
1
3
e
cos
2
2
x
e
2
x
3
4sin
x
.
2)2sin
x
7) Так как данная функция — показательная, то согласно формуле 2 п.1.3,
y
2
sin
x
(2ln
sin
x
2
)
sin
x
12ln
2
(sin
x
)
1
2
cos
x
2
sin
x
cos
x
2ln
2
1
sin
x
.
1.6.
Степенно–показательная функция. Выведем формулу для
vuy , считая что u и v
производной степенно–показательной функции
дифференцируемые функции и
0u
.
Р е ш е н и е . Логарифмируя равенство
uv
ln
части полученного равенства
Следовательно,
образом, получили
ln
uv
(
vy
v
u
)
u
1
u
v
v
u
(
u
y
)
ln
v
y
ln
(
vu
v
u
ln
v
u
.
vu
vu
y и дифференцируя обе
ln
u
, находим:
.
vu
u
v
u
. Таким
)
u
u
y
y
uv
v
1
u
v
vu
ln
З а м е ч а н и е . Степенно–показательная функция дифференцируется как
степенная плюс как показательная. Например, производная функции
y
)7(
x
cos
x
, где
х>0, равна
y
cos
x
)7(
x
cos
x
1
)7(
x
)7(
x
cos
x
)7ln(
x
(cos
x
)
7
cos
x
)7(
x
cos
x
1
)7(
x
cos
x
)7ln(
x
sin
x
.
З а д а н и е 1 . Найти первые производные функций. В заданиях а) и б)
дополнительно найти вторые производные.
1.
а) у = 3х 5 –
1
x
x
x
4
x
;
;
б) у =
sin
2
cos
в) у = (х + 1)2 cos5x;
г) у = arctg(е2x + 3);
д) у =
x
3 x
;
2.
а) у =
7
4
x
б) у =
x
1
3
e
cos
1
2
x
x
2
3
x
2
x
;
;
6
е) у = ln tg(2x+1);
ж) у =
х
х
(
3
2
)2
;
з) у = 23х + 7х 7 +
и) у =
;
7,0 ctg
к) у = х arcsin x.
x2
е) у = x2 cos7x ;
2xe
;
ж) у =
2
x
( x
2
)1
; в) у = ( х + 2)
2xe
;
г) у =
sin(
3
7 x
)1
+ 8x;
д) у =
x tg2
+ 3
cos
x4
3.
а) у =
7
x
3
x
1
x
3
;
;
б) у = 3
1
1
x
x
2
2
;
в) у = 3х arcsin 2x;
з) у = ln 5 sin x;
и) у = arcsin e 4x;
1
xx
)2
к) у =
(sin
.
е) у = sin 4 х + cos 4 x;
ж) у = ln
2
1 x
x
;
2
з) у = (х2 + 2х + 2) е х;
4.
3 1x
;
x4
cos
3
x
;
12 x
г) у =
+ 3
д) у = 3 ctg x + 8
1
2
x
;
б) у = 3
а) у =
1 x
9
x
2
2
3
в) у =
e
5sin
x
ln
x
;
г) у = ln sin (2x + 5);
д) у =
5.
а) у =
x2cos9,0
;
1
x
3
5
x
5
; и) у = sin(x+ 6) – x cos 4x;
к) у =
( 2
x
)
1
x
.
е) у = х arctg 3x;
2
9
9
x
x
ж) у =
з) у = 3 sin2 x cos 2x;
;
2
и) у =
2
e x
2
x
к) у =
x arccos
x
.
3
x
;
5
x
;
е) у =
x
1 x
2
б) у =
42
x
3
–
3
x
1
;
3
x
в) у = (ln x +1)2 cos 2x ;
г) у = arcsin
x41
;
д) у = 5 tg x + 3
sin ;
x
6.
а) у =
2
x
7
1
x
7
7
7
2
x
;
б) у =
x
x
;
x
в) у = (3 – sin 2 x) 3 ;
;
;
ж) у =
1
1
e
e
x
x
з) у = sin2 2x+ cos x ;
и) у = ln tg 5x ;
к) у =
(
x
2)1
x
.
е) у = arctg x 2 + 7x6 + 2 ;
2
x
3
ж) у =
з) у = х 2 ln(x 2 + 1);
x
1
;
1
г) у =
cos
3
x
x
д) у =
e 2 + 3;
2
x
+ sin (3x + 9) ;
и) у =
1
2
x
1
5
5
3
x
1
;
к) у = (sin x) tg x.
7 ;
5
4
5sin
x
2
cos
x
е) у =
ж) у = ( х 2 +1) arctg 4x;
з) у = ( 2х + 5)
5xe
;
и) у = ln
1x
;
x
.
x)
(cos
к) у =
е) у = е х cos x;
ж) у = 3 х 2 ln x 3;
з) у =
и) у = (2х + 2 cos x) е –х ;
к) у = ( sin 2x) cos x .
2sin
3
xe
2
9
x
;
ж) у =
x – ln 4x ;
1x
arcsin
x
x
2
з) у =
и) у = cos 100 x + sin 100x ;
1
;
к) у =
3
arccos
x3
.
е) у = sin x cos (7x+ 5);
ж) у = ( е cos x + 3) 2;
з) у = ln sin (3x + 5);
и) у =
;
3
x
x
12
;
е) у = е
4sin
x
8
;
7.
8.
9.
7
7
1
7
x
x
x
3
а) у =
б) у =
25
x
в) у =arcsin(3x2 + 2);
43
3
x
;
+ 4x ln x;
г) у =
sin
2
д) у =
sin3
9
x
4
а) у =
2
x
2
cos
x2
;
4
9
x
x
1
1
б) у = 3
2
в) у = arctg
г) у = х arccos
x2ctg2,0
д) у =
15
15
3
x
а) у =
x
3
x
;
9
4
x
;
;
2
;
3
x
x
2
;
4 x
;
x
3
2
ln
б) у =
1
x2
3cos
x
x
3sin
tg 2
x
в) у =
г) у =
д) у = ( х + х 2 ) х ;
;
4
;
4
+ 8x + 7;
5
2
2
5
10
x
cos
x
1 x
2
x
1
10
5
x
;
;
;
;
2
x
10.а) у =
5
x
10
б) у =
1
в) у = х 2
г) у =arctg
д) у =
sin5
x
11
11.а) у =
3
б) у =
(sin
1
3
x ;
5
11
x
x
2
x
11
3
x
;
cos
x
2
2)
;
к) у = ( х 3 ) ln х.
е) у = (1 – х2 ) cos 2x;
ж) у = 3
x
xx
;
2
;
25 x
в) у =
г) у = arctg(ln x) +ln(sinx);
д) у = 2 cos (4x+x2);
з) у = е –х sin 2x ;
и) у = ln 5( x 2 – 1);
к) у =
.
1
xx
)
(
12.а) у =
12
x
7
12
7
x
7
2
x
;
е) у = е ctg 3 x;
8 x
2
4
x
;
б) у =
2x arccos
в) у =
5
x
4
x
;
2
г) у = arctg 2 x + 6x2;
д) у =
+ 7
2
2
cos
x4
;
6
1
x
5 x
1
7
7
x
6
x
x
2
6
x
6 5
x
2
1
;
5
x
;
x
;
13.a) у =
6
б) у = 3
в) у =
г) у = ln 3 sin (3x + 3);
д) у =
x3tg2
14
x
14.a) у =
12
;
14
2
x
3x
;
12
x
;
;
б) у = 3
в) у =
x
2
x
2 x
2
г) у = ln (2x3 +3x2 );
д) у =
15.a) у =
x
x
15 x
15
15
2
x
;
x
;
б) у = (5х + х 3 ) ln x 2;
в) у =
cos
x
1
sin
г) у = arccos
x
+2sin 4x + 4;
x
1
22
x
;
16. a) у =
д) у = 0,7 arctg х;
5
2
x
2
б) у = 3
x
2
x
5
5
2
x
;
2
x
;
cos
3
x
1 x
в) у =
г) у = х arccos x –
;
3
2
x
3
;
ж) у = 4
1
cos
з) у =
4
sin(
3cos
5
x
;
4
x
x ;
)3
и) у = ( х 3 + х 2 ) е –х;
к) у =
arcsin
.
2
x
x
2
;
з) у = arctg
е) у = ln( x 2 + 5);
ж) у = х 5 е –х;
x
1 x
cos
x
cos
x
x
.
и) у =
к) у =
е) у = 8х
ж) у = ( 3х +1) 5 cos3x;
з) у =
x
x
x sin)
2xe
sin
sin
(
;
;
;
sin
cos
x
2
x
3
и) у = arctg 2 e x ;
к) у =
x 2ln
x
.
е) у = cos (10x+x3);
ж) у =
7
з) у =
5
3
x
)
3
x
cos
5sin
x
1(
;
;
3
и) у = ln(4+sin4x);
.
x
x sin
к) у =
е) у =(3х + 2) sin 3x;
ж) у = ln 2 tg 2x ;
sin
x
2
cos
x
и) у = arcsin( e 7x );
cos
2
sin
з) у =
x
x
;
д) у =
17. a) у =
x
7
;
x2ln7
7
3
x
к) у = (sin2x) x.
е) у = е х sin 2x;
3
7
x
;
9 ж) у = arctg
з) у = 3
x
3 x
x ;
2
3
x
;
и) у = cos (3x );
.
8
;
2
(arcsin
)2()
к) у =
xx
е) у =( х 2 + 6 ) ln 3x;
x
3
x
ж) у =
+
з) у = е 3х cos 3x;
1 ;
и) у = arctg 2
x
)2()1
к) у =
x
x
1
x
x
9
(
.
2
x
;
sin
ln
x
sin
б) у =
в) у = (5 + х 3 ) 2 е –х;
1
x
;
г) у =
42
x
д) у =
18. a) у =
x
7
5
cos
5
3
x
4
2
;
5
3
x
x
;
3
5
x
;
x
2 )
б) у =
x
5sin2
3cos
1
x
arcsin(cos
;
в) у =
г) у = 2tg 3(x 3 + 2) ;
д) у = 2 sin 3x;
5
x
5
7
x
x
;
5
2
б) у = ln ctg 3 x;
в) у =
7
x
5
x
;
2
19.a) у =
г) у = arctg(tg 2 x + 2 );
;
д) у =
x2
cos
x
12
20. a) у = x7 –
6
;
x
+ 7
x
6
x
6
arctg x ;
3
3
x
cos
;
x
б) у =
в) у =
г) у =
x
3
x
sin
x
1x
;
д) у = ln 2 sin3x;
5
5
21. a) у =
б) у =
в) у =
x
1
5
x
x 2
xex
x
;
x
;
+ 5
cos
x4
;
г) у = arctg(7sin3x);
д) у =
2
x
1
2
x
;
1
22. а) y =
4
3
x
5
2
x
3
3
x
2
;
з) у =
е) у = sin 26x + 3x2;
ж) у =
x
3
arcsin
x
2
1
e
e
1
и) у =
ln(
к) у =
xx )
(sin
2
;
4
x
x
x
2
2
x
;
x
)3
;
.
x ;
2
е) у =
ln2
ctg
x
(6 x
ж) у =
;
з) у = arcsin (e –4x);
)1
и) у =
к) у =
1
1
x
x
5
xex)3(
+ 3
cos
x4
;
.
2
2
2
x
+
1 x
x
6
е) у =
3
x
ж) у = ln 2 arctg x ;
(tg
з) у =
ln
;
x );
2
и) у =
к) у =
x
;
cos
x
2
sin
x
x cos
(
)
2
.
3
x
1 x
21
1
cos
3
x
2
x
cos
;
е) у =
10 б) у = tg ( x 2 +3);
ж) у =
x)9,0(
;
в) у =
x
2
cos
x
;
x
2
4
(
г) у = ln tg
д) у = х 2 arcsin (9x + 2) ;
)
;
x
3
5x
)
;
з) у =
sin 3
cos
x
;
и) у =
к) у =
(7,0
xx
ln3(
x
)2
.
23. a) у =
б) у =
3
2
x
2
x
4
3
2
x
x
2sin
3
;
x
;
в) у =
sin
4
x
x
2
cos
2
;
x
г) у =
ln
1
1
sin
sin
x
x
;
д) у =
cos5
2
x ;
;
2xe
е) у =
ж) у =3 tg 6 x + 7;
з) у = 4х arctg (2x+ 9);
и) у =
к) у =
(
x
x
1
x
2
;
2
)3
arccos
x
.
24. a) y =
3
2
x
б) у =
в) у =
г) у =
1
1
3 x
(
x
2
2
2
x
;
3
3
x
sin
x
sin
x
arctg x ;
xe
x
)
3
;
1
;
е) у = tg (x 2 +cos x);
x
2
1(
ж) у =
1
2
3
x
з) у =
и) у =
3
3
ln
x
;
sin
x
2
x
2
;
arcsin
x
)
;
25. a) у =
5
;
x
3
д) у =
x2ln15
1
2
5
x
2 tg 3 x +
б) у = tg x +
3
;
1 tg 5 x;
5
в) у = х 3 ( х – 5 cos x ) 2
1
4
x
г) у =
x
x
32 x
x
;
д) у = 5
x3sin
3
26. a) у =
4
2
x
x
3
x
2
б) у =
2
e
e
9
4
x
;
2
3
x
;
x2;
в) у = arctg( x 2+e3x);
г) у = ln tg (5x+1);
11
к) у =
( x arctg x .
)
е) у =
1 x
2
+ 5
x3cos
;
ж) у = ln 2 sin x;
2
2
;
x
x
2xe
9
9
з) у = arccos
и) у = (1 + 9х )
к) у = ( 1 + х ) cos x.
е) у = ln(2x – 3);
;
ж) у =
3
8
4sin
3
cos
x
x
;
з) у = (2х3 + 5)4 х 3;
и) у = sin 5x+cos 3x 3; д) у = 3 ln3x;
27. а) у = 3x5 –
5
5
x
+ 5
5 x
2
;
б) y = arcsin (3x3 + 4);
в) y = ( x+ 8) arctg 4x3 ;
г) y =
2
x
2
x
;
3
3
x
3
д) y = 4x ( 1 – 3ln x);
к) у =
2
xx
.
е) y =
4sin
5
x
x
cos
4
2
x
;
ж) y = ln cos(5x 3 + 4);
з) y = ( ctg 3x + 1 )5;
и) y = 5
x2sin
;
к) y = (cos x ) x .
е) у = сos 2 x –2ln cos x;
1
x
;
з) у =
и) у =
arcsin 2
7 x
2
;
1
x
28. a) y =
x
5
1
2
x
1
б) у = arctg
1
5
x
;
x
в) у = 3
2)34(
г) у = х2 ctg2 x ;
x
x
;
;
ж) у =
1(
3)4sin
;
д) у = cos 2 5x + 7x;
к) у = (cos x ) sin x.
29. а) у =
2
3
x
;
3
1
x
3
;
2
1
2
x
2
x
б) у =
в) у = (х + 5) 7 sin3x;
2
2
г) у =
sin
3
x
cos
3
;
x
30. а) у =
1
x
1
2
x
д) у = 52 ctg x ;
3
;
б) у = 3х sin 5x + 8;
в) у = (3 + sin x) 2 x;
1
3
x
г) у =
д) у =
3
x
2
2
x
3
;
2
5
x
arcsin x ;
4 2 x
;
1
е) у = arctg
1
1
x
x
ж) у =
з) у = (х +1) arccos (x 2 +1);
;
;
5
2
и) у =
x
ln 5
x
к) у = (tg x)х.
sin
x
2
cos
1
2
;
е) у =
ж) у =х (cos ln x + sin ln x );
з) у =
x
3
x
2
x
;
e
)
(2
e
и) у = 0,92
к) у =
x
(
( 3x
)
2tg)
x
;
.
2. Геометрические приложения производной
2.1. Т е о р е м а . Если кривая задана уравнением
f
( 0x
, то значение
в точке 0x равно угловому коэффициенту k
производной
f
(x
y
(xf
)
)
)
12
УМП "Производная"
УМП "Производная"
УМП "Производная"
УМП "Производная"
УМП "Производная"
УМП "Производная"
УМП "Производная"
УМП "Производная"
УМП "Производная"
УМП "Производная"
УМП "Производная"
УМП "Производная"
УМП "Производная"
УМП "Производная"
УМП "Производная"
УМП "Производная"
УМП "Производная"
УМП "Производная"
УМП "Производная"
УМП "Производная"
УМП "Производная"
УМП "Производная"
УМП "Производная"
Материалы на данной страницы взяты из открытых истончиков либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.
04.09.2017
Посмотрите также:
© ООО «Знанио»
С вами с 2009 года.
О портале
