Учебно- методическое пособие для учителя и его учеников. Разработано в помощь при прохождении материала при изучении темы "Производная". Цель предлагаемой работы — помочь тем, кто изучает дифференци-альное исчисление, приобрести навык решения стандартных задач.
Рекомендуется перед выполнением индивидуальных заданий, ознако-миться с теорией и решением типовых примеров изложенных в данном учебно-методическом пособии.
Министерство образования и науки Российской Федерации
Волгоградский филиал федерального государственного бюджетного
образовательного учреждения инклюзивного высшего образования
«Московский государственный гуманитарноэкономический
университет»
Учебнометодическое пособие
для студентов по теме:
«Производная»
1Волгоград 2014
2Предисловие
Цель предлагаемой работы — помочь тем,
кто изучает
дифференциальное исчисление, приобрести навык решения стандартных
задач.
Рекомендуется перед выполнением индивидуальных заданий,
ознакомиться с теорией и решением типовых примеров изложенных в
данном учебнометодическом пособии.
31. Определение производной. Дифференцирование функций
1.1. Производной функции у = f (x) называется предел отноше
ния приращения функции к соответствующему приращению аргумента,
когда приращение аргумента стремиться к нулю:
x
)
x
x
)(
y
x
xf
)(
xf
(
.
f
lim
x
0
lim
x
0
Если этот предел конечный, то производная существует и функция f (x)
называется дифференцируемой в точке x. Производная обозначается
dy Процесс нахождения производной называется
dx
также у' (x) или
.
дифференцированием функции.
1.2. Правила дифференцирования функций. Пусть С R —
посто
янная, и = и (х), v = v(x) — функции, имеющие производные.
1.С ' =0 . 2. (Си)' =С ∙ u' .
3. (u ± v)' = и' ± v'. 4. (u ∙ v)’ =u’ ∙ v + u ∙ v’ .
5.
u
v
vuvu
2v
.
6. Правило дифференцирования сложной функции. Если функция y
=
= f (u) дифференцируема по и, а функция и =
функция y = f (φ (x)) имеет производную y' =f ' (u) ∙ u' (x) .
1.3. Таблица производных элементарных функций
(φ x) — по х , то сложная
1
uun
n
.
n
)
u
u
2
.
1.
u
(
1а.
2.
3.
4.
u
u
u
a
log
usin
a
ua
ln
.
ua
u
a
u
ln
cos u u.
.
u
u
2
.
sin
.
uu
u
1б.
2а.
e
3а.
ln
u
1
u
u
1
u
.
u
e
u
.
u
u
5.
cos
4
u
arcsin
6.
tg
8.
10.
12.
u
2
u
u
.
cos
u
u
21
u
u
1
u
1
u
uv
u
v
2
arctg
v
u
7. (ctg u)
sin
9.
u
11.
arcctg
arccos
u
u
2
.
u
21
u
u
.
1
u
2
.
.
.
v
ln
vu
(вывод этой формулы см. в п. 1.6).
u
1.4. Производные второго порядка. Производной второго порядка
называется производная от ее
)(xf
y
(второй производной ) от функции
производной, т. е.
f
)(
x
xf
))(
(
.
Вторую производную также обозначают
)(xy
или
2
yd
2
dx
. Производная от
производной второго порядка называется производной третьего порядка и
т. д. Производную nго порядка обозначают
)()(
y n
x
или
n
yd
n
dx
.
1.5. П р и м е р ы. Используя правила дифференцирования и таблицу производ
2
4
x
3
ных, найдем производные следующих функций:
y
1)
, 3)
,
5)
, 2)
, 7)
31(
32 )
7
3
x
5
x
y
x
5
x
3
3
, 6)
x
x
y
Р е ш е н и е . 1) Перепишем данную функцию, записав слагаемые в виде степени:
3
cos2
2
sin
2
x
e
y
y
.
x
4
3
x
1
4
y
2
5
x
7
x
3
. Тогда
y
4
3(
x
1
4
)
5(
x
2
)
7(
x
3
4
1
)
4
3
1
4
x
52
x
y
2
x
arcsin
x
, 4)
y
lntg( 4
x
)
)3(7
x
4
4
4
4
3
x
10
x
21
4
x
.
2) Записываем данную функцию в виде степени:
y
y
31(
x
2
)
3
5
2
5
31(
x
2
)
31(
x
2
3
5
22
)
3) Применив формулу 4 п. 1.2 правил дифференцирования, находим:
x
18
5
31(5
.
3
5
и вычисляем:
2x
)31(
2
5
6
x
)
y
(
x
2
)
arcsin
x
2
x
(arcsin
x
)
2
x
arcsin
x
x
1
2
2
x
.
4) Дифференцируя функцию
y
(tgln
4
x
)
как сложную, находим производную:
y
(tg(
(tg
))
4
4
x
x
)
1
4
x
)
(tg
(
4
2
x
)
x
(
4
)
sin(
4
1
cos(
)
x
4
x
)
2
2
sin(
x
)2
2
cos
2
x
.
cos
5) В соответствии с формулой 5 п. 1.2 получаем:
5
y
3
(
x
()
x
(
)3
x
3
x
2
)3
(
x
)3
3
x
3
x
2
(
x
)3
2
(
x
)3
2
x
2
(
x
3
9
x
2
)3
.
6) По аналогии с примером 3 находим:
y
x
3
e
cos
2
2
x
e
x
3
(cos
2
)2
x
1
3
e
x
3
cos
2
2
x
e
x
3
2
cos
2
x
(
x
3
1
3
e
cos
2
2
x
e
2
x
3
4sin
x
.
2)2sin
x
7) Так как данная функция — показательная, то согласно формуле 2 п.1.3,
y
2
sin
x
(2ln
sin
x
2
)
sin
x
12ln
2
(sin
x
)
1
2
cos
x
2
sin
x
cos
x
2ln
2
1
sin
x
.
1.6.
Степенно–показательная функция. Выведем формулу для
vuy , считая что u и v
производной степенно–показательной функции
дифференцируемые функции и
0u
.
Р е ш е н и е . Логарифмируя равенство
uv
ln
части полученного равенства
Следовательно,
образом, получили
ln
uv
(
vy
v
u
)
u
1
u
v
v
u
(
u
y
)
ln
v
y
ln
(
vu
v
u
ln
v
u
.
vu
vu
y и дифференцируя обе
ln
u
, находим:
.
vu
u
v
u
. Таким
)
u
u
y
y
uv
v
1
u
v
vu
ln
З а м е ч а н и е . Степенно–показательная функция дифференцируется как
степенная плюс как показательная. Например, производная функции
y
)7(
x
cos
x
, где
х>0, равна
y
cos
x
)7(
x
cos
x
1
)7(
x
)7(
x
cos
x
)7ln(
x
(cos
x
)
7
cos
x
)7(
x
cos
x
1
)7(
x
cos
x
)7ln(
x
sin
x
.
З а д а н и е 1 . Найти первые производные функций. В заданиях а) и б)
дополнительно найти вторые производные.
1.
а) у = 3х 5 –
1
x
x
x
4
x
;
;
б) у =
sin
2
cos
в) у = (х + 1)2 cos5x;
г) у = arctg(е2x + 3);
д) у =
x
3 x
;
2.
а) у =
7
4
x
б) у =
x
1
3
e
cos
1
2
x
x
2
3
x
2
x
;
;
6
е) у = ln tg(2x+1);
ж) у =
х
х
(
3
2
)2
;
з) у = 23х + 7х 7 +
и) у =
;
7,0 ctg
к) у = х arcsin x.
x2
е) у = x2 cos7x ;
2xe
;
ж) у =
2
x
( x
2
)1
;в) у = ( х + 2)
2xe
;
г) у =
sin(
3
7 x
)1
+ 8x;
д) у =
x tg2
+ 3
cos
x4
3.
а) у =
7
x
3
x
1
x
3
;
;
б) у = 3
1
1
x
x
2
2
;
в) у = 3х arcsin 2x;
з) у = ln 5 sin x;
и) у = arcsin e 4x;
1
xx
)2
к) у =
(sin
.
е) у = sin 4 х + cos 4 x;
ж) у = ln
2
1 x
x
;
2
з) у = (х2 + 2х + 2) е х;
4.
3 1x
;
x4
cos
3
x
;
12 x
г) у =
+ 3
д) у = 3 ctg x + 8
1
2
x
;
б) у = 3
а) у =
1 x
9
x
2
2
3
в) у =
e
5sin
x
ln
x
;
г) у = ln sin (2x + 5);
д) у =
5.
а) у =
x2cos9,0
;
1
x
3
5
x
5
; и) у = sin(x+ 6) – x cos 4x;
к) у =
( 2
x
)
1
x
.
е) у = х arctg 3x;
2
9
9
x
x
ж) у =
з) у = 3 sin2 x cos 2x;
;
2
и) у =
2
e x
2
x
к) у =
x arccos
x
.
3
x
;
5
x
;
е) у =
x
1 x
2
б) у =
42
x
3
–
3
x
1
;
3
x
в) у = (ln x +1)2 cos 2x ;
г) у = arcsin
x41
;
д) у = 5 tg x + 3
sin ;
x
6.
а) у =
2
x
7
1
x
7
7
7
2
x
;
б) у =
x
x
;
x
в) у = (3 – sin 2 x) 3 ;
;
;
ж) у =
1
1
e
e
x
x
з) у = sin2 2x+ cos x ;
и) у = ln tg 5x ;
к) у =
(
x
2)1
x
.
е) у = arctg x 2 + 7x6 + 2 ;
2
x
3
ж) у =
з) у = х 2 ln(x 2 + 1);
x
1
;
1
г) у =
cos
3
x
x
д) у =
e 2 + 3;
2
x
+ sin (3x + 9) ;
и) у =
1
2
x
1
5
5
3
x
1
;
к) у = (sin x) tg x.
7;
5
4
5sin
x
2
cos
x
е) у =
ж) у = ( х 2 +1) arctg 4x;
з) у = ( 2х + 5)
5xe
;
и) у = ln
1x
;
x
.
x)
(cos
к) у =
е) у = е х cos x;
ж) у = 3 х 2 ln x 3;
з) у =
и) у = (2х + 2 cos x) е –х ;
к) у = ( sin 2x) cos x .
2sin
3
xe
2
9
x
;
ж) у =
x – ln 4x ;
1x
arcsin
x
x
2
з) у =
и) у = cos 100 x + sin 100x ;
1
;
к) у =
3
arccos
x3
.
е) у = sin x cos (7x+ 5);
ж) у = ( е cos x + 3) 2;
з) у = ln sin (3x + 5);
и) у =
;
3
x
x
12
;
е) у = е
4sin
x
8
;
7.
8.
9.
7
7
1
7
x
x
x
3
а) у =
б) у =
25
x
в) у =arcsin(3x2 + 2);
43
3
x
;
+ 4x ln x;
г) у =
sin
2
д) у =
sin3
9
x
4
а) у =
2
x
2
cos
x2
;
4
9
x
x
1
1
б) у = 3
2
в) у = arctg
г) у = х arccos
x2ctg2,0
д) у =
15
15
3
x
а) у =
x
3
x
;
9
4
x
;
;
2
;
3
x
x
2
;
4 x
;
x
3
2
ln
б) у =
1
x2
3cos
x
x
3sin
tg 2
x
в) у =
г) у =
д) у = ( х + х 2 ) х ;
;
4
;
4
+ 8x + 7;
5
2
2
5
10
x
cos
x
1 x
2
x
1
10
5
x
;
;
;
;
2
x
10.а) у =
5
x
10
б) у =
1
в) у = х 2
г) у =arctg
д) у =
sin5
x
11
11.а) у =
3
б) у =
(sin
1
3
x ;
5
11
x
x
2
x
11
3
x
;
cos
x
2
2)
;
к) у = ( х 3 ) ln х.
е) у = (1 – х2 ) cos 2x;
ж) у = 3
x
xx
;
2
;
25 x
в) у =
г) у = arctg(ln x) +ln(sinx);
д) у = 2 cos (4x+x2);
з) у = е –х sin 2x ;
и) у = ln 5( x 2 – 1);
к) у =
.
1
xx
)
(
12.а) у =
12
x
7
12
7
x
7
2
x
;
е) у = е ctg 3 x;
8x
2
4
x
;
б) у =
2x arccos
в) у =
5
x
4
x
;
2
г) у = arctg 2 x + 6x2;
д) у =
+ 7
2
2
cos
x4
;
6
1
x
5 x
1
7
7
x
6
x
x
2
6
x
6 5
x
2
1
;
5
x
;
x
;
13.a) у =
6
б) у = 3
в) у =
г) у = ln 3 sin (3x + 3);
д) у =
x3tg2
14
x
14.a) у =
12
;
14
2
x
3x
;
12
x
;
;
б) у = 3
в) у =
x
2
x
2 x
2
г) у = ln (2x3 +3x2 );
д) у =
15.a) у =
x
x
15 x
15
15
2
x
;
x
;
б) у = (5х + х 3 ) ln x 2;
в) у =
cos
x
1
sin
г) у = arccos
x
+2sin 4x + 4;
x
1
22
x
;
16. a) у =
д) у = 0,7 arctg х;
5
2
x
2
б) у = 3
x
2
x
5
5
2
x
;
2
x
;
cos
3
x
1 x
в) у =
г) у = х arccos x –
;
3
2
x
3
;
ж) у = 4
1
cos
з) у =
4
sin(
3cos
5
x
;
4
x
x ;
)3
и) у = ( х 3 + х 2 ) е –х;
к) у =
arcsin
.
2
x
x
2
;
з) у = arctg
е) у = ln( x 2 + 5);
ж) у = х 5 е –х;
x
1 x
cos
x
cos
x
x
.
и) у =
к) у =
е) у = 8х
ж) у = ( 3х +1) 5 cos3x;
з) у =
x
x
x sin)
2xe
sin
sin
(
;
;
;
sin
cos
x
2
x
3
и) у = arctg 2 e x ;
к) у =
x 2ln
x
.
е) у = cos (10x+x3);
ж) у =
7
з) у =
5
3
x
)
3
x
cos
5sin
x
1(
;
;
3
и) у = ln(4+sin4x);
.
x
x sin
к) у =
е) у =(3х + 2) sin 3x;
ж) у = ln 2 tg 2x ;
sin
x
2
cos
x
и) у = arcsin( e 7x );
cos
2
sin
з) у =
x
x
;
д) у =
17. a) у =
x
7
;
x2ln7
7
3
x
к) у = (sin2x) x.
е) у = е х sin 2x;
3
7
x
;
9ж) у = arctg
з) у = 3
x
3 x
x ;
2
3
x
;
и) у = cos (3x );
.
8
;
2
(arcsin
)2()
к) у =
xx
е) у =( х 2 + 6 ) ln 3x;
x
3
x
ж) у =
+
з) у = е 3х cos 3x;
1 ;
и) у = arctg 2
x
)2()1
к) у =
x
x
1
x
x
9
(
.
2
x
;
sin
ln
x
sin
б) у =
в) у = (5 + х 3 ) 2 е –х;
1
x
;
г) у =
42
x
д) у =
18. a) у =
x
7
5
cos
5
3
x
4
2
;
5
3
x
x
;
3
5
x
;
x
2 )
б) у =
x
5sin2
3cos
1
x
arcsin(cos
;
в) у =
г) у = 2tg 3(x 3 + 2) ;
д) у = 2 sin 3x;
5
x
5
7
x
x
;
5
2
б) у = ln ctg 3 x;
в) у =
7
x
5
x
;
2
19.a) у =
г) у = arctg(tg 2 x + 2 );
;
д) у =
x2
cos
x
12
20. a) у = x7 –
6
;
x
+ 7
x
6
x
6
arctg x ;
3
3
x
cos
;
x
б) у =
в) у =
г) у =
x
3
x
sin
x
1x
;
д) у = ln 2 sin3x;
5
5
21. a) у =
б) у =
в) у =
x
1
5
x
x 2
xex
x
;
x
;
+ 5
cos
x4
;
г) у = arctg(7sin3x);
д) у =
2
x
1
2
x
;
1
22. а) y =
4
3
x
5
2
x
3
3
x
2
;
з) у =
е) у = sin 26x + 3x2;
ж) у =
x
3
arcsin
x
2
1
e
e
1
и) у =
ln(
к) у =
xx )
(sin
2
;
4
x
x
x
2
2
x
;
x
)3
;
.
x ;
2
е) у =
ln2
ctg
x
(6 x
ж) у =
;
з) у = arcsin (e –4x);
)1
и) у =
к) у =
1
1
x
x
5
xex)3(
+ 3
cos
x4
;
.
2
2
2
x
+
1 x
x
6
е) у =
3
x
ж) у = ln 2 arctg x ;
(tg
з) у =
ln
;
x );
2
и) у =
к) у =
x
;
cos
x
2
sin
x
x cos
(
)
2
.
3
x
1 x
21
1
cos
3
x
2
x
cos
;
е) у =
10б) у = tg ( x 2 +3);
ж) у =
x)9,0(
;
в) у =
x
2
cos
x
;
x
2
4
(
г) у = ln tg
д) у = х 2 arcsin (9x + 2) ;
)
;
x
3
5x
)
;
з) у =
sin 3
cos
x
;
и) у =
к) у =
(7,0
xx
ln3(
x
)2
.
23. a) у =
б) у =
3
2
x
2
x
4
3
2
x
x
2sin
3
;
x
;
в) у =
sin
4
x
x
2
cos
2
;
x
г) у =
ln
1
1
sin
sin
x
x
;
д) у =
cos5
2
x ;
;
2xe
е) у =
ж) у =3 tg 6 x + 7;
з) у = 4х arctg (2x+ 9);
и) у =
к) у =
(
x
x
1
x
2
;
2
)3
arccos
x
.
24. a) y =
3
2
x
б) у =
в) у =
г) у =
1
1
3 x
(
x
2
2
2
x
;
3
3
x
sin
x
sin
x
arctg x ;
xe
x
)
3
;
1
;
е) у = tg (x 2 +cos x);
x
2
1(
ж) у =
1
2
3
x
з) у =
и) у =
3
3
ln
x
;
sin
x
2
x
2
;
arcsin
x
)
;
25. a) у =
5
;
x
3
д) у =
x2ln15
1
2
5
x
2 tg 3 x +
б) у = tg x +
3
;
1 tg 5 x;
5
в) у = х 3 ( х – 5 cos x ) 2
1
4
x
г) у =
x
x
32 x
x
;
д) у = 5
x3sin
3
26. a) у =
4
2
x
x
3
x
2
б) у =
2
e
e
9
4
x
;
2
3
x
;
x2;
в) у = arctg( x 2+e3x);
г) у = ln tg (5x+1);
11
к) у =
( x arctg x .
)
е) у =
1 x
2
+ 5
x3cos
;
ж) у = ln 2 sin x;
2
2
;
x
x
2xe
9
9
з) у = arccos
и) у = (1 + 9х )
к) у = ( 1 + х ) cos x.
е) у = ln(2x – 3);
;
ж) у =
3
8
4sin
3
cos
x
x
;
з) у = (2х3 + 5)4 х 3;
и) у = sin 5x+cos 3x 3;д) у = 3 ln3x;
27. а) у = 3x5 –
5
5
x
+ 5
5 x
2
;
б) y = arcsin (3x3 + 4);
в) y = ( x+ 8) arctg 4x3 ;
г) y =
2
x
2
x
;
3
3
x
3
д) y = 4x ( 1 – 3ln x);
к) у =
2
xx
.
е) y =
4sin
5
x
x
cos
4
2
x
;
ж) y = ln cos(5x 3 + 4);
з) y = ( ctg 3x + 1 )5;
и) y = 5
x2sin
;
к) y = (cos x ) x .
е) у = сos 2 x –2ln cos x;
1
x
;
з) у =
и) у =
arcsin 2
7 x
2
;
1
x
28. a) y =
x
5
1
2
x
1
б) у = arctg
1
5
x
;
x
в) у = 3
2)34(
г) у = х2 ctg2 x ;
x
x
;
;
ж) у =
1(
3)4sin
;
д) у = cos 2 5x + 7x;
к) у = (cos x ) sin x.
29. а) у =
2
3
x
;
3
1
x
3
;
2
1
2
x
2
x
б) у =
в) у = (х + 5) 7 sin3x;
2
2
г) у =
sin
3
x
cos
3
;
x
30. а) у =
1
x
1
2
x
д) у = 52 ctg x ;
3
;
б) у = 3х sin 5x + 8;
в) у = (3 + sin x) 2 x;
1
3
x
г) у =
д) у =
3
x
2
2
x
3
;
2
5
x
arcsin x ;
4 2 x
;
1
е) у = arctg
1
1
x
x
ж) у =
з) у = (х +1) arccos (x 2 +1);
;
;
5
2
и) у =
x
ln 5
x
к) у = (tg x)х.
sin
x
2
cos
1
2
;
е) у =
ж) у =х (cos ln x + sin ln x );
з) у =
x
3
x
2
x
;
e
)
(2
e
и) у = 0,92
к) у =
x
(
( 3x
)
2tg)
x
;
.
2. Геометрические приложения производной
2.1. Т е о р е м а . Если кривая задана уравнением
f
( 0x
, то значение
в точке 0x равно угловому коэффициенту k
производной
f
(x
y
(xf
)
)
)
12
УМП Производная.doc
