Уравнение непрерывности. Плотность потока жидкости

Уравнение непрерывности. Плотность потока жидкости

Изучение движения жидкостей (и газов) представляет собой содержание гидродинамики. Поскольку явления, рассматриваемые в гидродинамике, имеют макроскопический характер, то в гидродинамике жидкость рассматривается как сплошная среда. Это значит, что всякий малый элемент объема жидкости считается все-таки настолько большим, что содержит еще очень большое число молекул. 

Соответственно этому, когда мы будем говорить о бесконечно малых элементах объема, то всегда при этом будет подразумеваться «физически» бесконечно малый объем, то есть объем, достаточно малый по сравнению с межмолекулярными расстояниями. В таком же смысле надо понимать в гидродинамике выражения «жидкая частица», «точка жидкости». Если, например, говорят о смещении некоторой частицы жидкости, то при этом идет речь о смещении отдельной молекулы, а о смещении целого элемента объема, содержащего много молекул, но рассматриваемого в гидродинамике как точка. 

Математическое описание состояния движущейся жидкости осуществляется с помощью функций, определяющих распределение скорости жидкости v=v(x,y,z,t) и каких-либо ее двух термодинамических величин, например, давления p(x,y,z,t) и плотности (x, , ,y z t) . Как известно, все термодинамические величины определяются по значениям каких-либо двух из них с помощью уравнения состояния вещества; поэтому задание пяти величин: трех компонент скорости, давления и плотности, полностью определяет состояние движущейся жидкости. 

Все эти величины являются, вообще говоря, функциями координат x,y,z  и времени t. Подчеркнем, что v=v(x,y,z,t) есть скорость жидкости в каждой данной точке x,y,z  пространства в момент времени t, то есть относится к определенным точкам пространства, а не к определенным частицам жидкости, передвигающимся со временем в пространстве; то же самое относится к величинам и p. 

Начнем вывод основных гидродинамических уравнений с вывода уравнения, выражающего собой закон сохранения вещества в гидродинамике. 

Рассмотрим некоторым объем V₀ пространства. Количество (масса) жидкости в этом объеме есть dV , где  есть плотность жидкости, а интегрирование производится по объему V₀. Через элемент df поверхности, ограничивающей рассматриваемый объем, в единицу времени протекает количество vdf жидкости; вектор df по абсолютной величине равен площади элемента поверхности и направлен по нормали к ней. Тогда vdf положительно, если жидкость вытекает из объема, и отрицательно, если жидкость втекает в него. Полное количество жидкости, вытекающей в единицу времени из объема V₀, есть, следовательно, vdf , где интегрирование производится по всей замкнутой поверхности, охватывающей рассматриваемый объем.

С другой стороны, уменьшение количества жидкости в объеме V₀ можно записать в виде



 dV

t

Приравнивая оба выражения, получаем: 

                                                                     _t     

dV vdf         (1)

Интеграл по поверхности преобразуем в интеграл по объему  vdf divvdf .  Таким образом, (  divv)dV  0.

t

Поскольку это равенство должно иметь место для любого объема, то должно быть равным нулю подынтегральное выражение, то есть 



 divv  0  (2)

t

Выражение (2) называется уравнением непрерывности. 

Также существует еще один способ выражения уравнения непрерывности, используя теорему о циркуляции магнитного поля.

Закон Ампера гласит: 

^D

                                                          rotH  j ^ - запись в системе СИ.

                                                                                   t                                                       _r

^r 1D 4^r

                В дифференциальной форме в системе СГС: rotH                    j_пров.

                                                                                                                                                         c t       c

Взяв дивергенцию от обеих частей выражения, получим



divrotH  divj  divD

t



Левое выражение зануляется, тогда divj  divD  0 

t



                  По теореме Гаусса divD , divj    0.

t

Плотность тока – это движение зарядов. Уравнение непрерывности – (сильная) локальная форма законов сохранения. В электродинамике оно выводится из уравнений максвелла. Уравнение непрерывности гласит, что если заряд уходит из дифференциального объема (то есть дивергенция плотности тока положительна), тогда количество заряда внутри объема уменьшается. В этом случае приращение плотности заряда отрицательно. 

Раскрыв выражение divv , уравнение (2) можно записать также в виде 



divv vgrad 0 (3)

t

                                         r      r

Вектор j v (4) называют плотностью потока жидкости. Его направление совпадает с направлением движения жидкости, а абсолютная величина определяет количество жидкости, протекающей в единицу времени через единицу площади, расположенной перпендикулярно к скорости. Во

многих случаях можно считать, что плотность жидкости const , тогда из

r уравнения непрерывности следует, что divv 0.