Уравнение с двумя переменными и его график

ТЕМА УРОКА: Уравнение с двумя переменными и его график Цели   урока:  Познакомить   учащихся   с   алгоритмом   построения   графиков   функций. Формировать умение составлять это уравнение  и строить график. Воспитывать умение построения графиков, интерес к предмету через исторические справки. Ход урока I. II. Орг. Момент Проверка д.з. Проверочная работа. 1. Найдите два каких­нибудь решения уравнения: а) 2х – у = 3; 2. Постройте график уравнения: б)  х  1  3 (у + 2) = 0. х а)  2  – у = 1; б) (х + 1) (у – 3) = 0. III. Актуализация опорных знаний Диофант Александрийский – один из самых своеобразных древнегреческих математиков.  До сих пор не выяснены ни год рождения, ни дата смерти Диофанта; полагают, что он жил в 3 веке нашей эры. Из работ Диофанта самой важной является “Арифметика”, из 13 книг  которой только 6 сохранились до наших дней. В сохранившихся книгах Диофанта  содержится 189 задач с решениями. В пяти книгах содержатся методы решения  неопределенных уравнений. Это и составляет основной вклад Диофанта в математику. Что  же это за уравнения? Рассмотрим задачу на старинный сюжет. В клетке сидят кролики и фазаны, всего у них 18  ног. Узнать, сколько в клетке тех и других. Как бы вы предложили решить эту задачу?  ( Обсуждение с классом. ) Необходимо ввести две переменные: х – число кроликов, у – число фазанов, тогда получим уравнение 4х + 2у = 18 или 2х + у = 9. Выразим у через х: у = 9 – 2х и  далее воспользуемся методом перебора: х = 1, у = 7; х = 2, у = 5; х = 3, у = 3; х = 4, у = 1. Т.о.  задача имеет 4 решения. Подобные уравнения встречаются часто, они ­ то и называются неопределенными.  Особенность их состоит в том, что уравнение содержит две или более переменных и  требуется найти все целые или натуральные их решения. Такими уравнениями и занимался  Диофант. Он изобрел большое число способов решения подобных уравнений, поэтому их  часто называют диофантовыми уравнениями. Но в целых числах решают не только линейные уравнения. Древнейшей задачей такого рода  является задача о натуральных решениях уравнения х2 + у2 = z2. Что напоминает вам это  уравнение? Эту задачу называют задачей о пифагоровых тройках. Какие пифагоровы тройки вам известны? (3,4,5; 6,8,10; 5,12,13; 7,24,25; 9,40,41). А вот о том, сколько же лет прожил Диофант вы мне ответите на следующем уроке, решив  дома задачу текст которой у вас на парте,. Эта задача была найдена в одном из древних  рукописных сборников задач в стихах, где жизнь Диофанта описывается в виде  алгебраической загадки, представляющей надгробную надпись на его могиле.    Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей – и камень Мудрым искусством его скажет усопшего век. Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком. И половину шестой встретил с пушком на щеках. Только минула седьмая, с подругою он обручился. С нею 5 лет проведя, сына дождался мудрец; Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил ,  Отнят он был у отца ранней могилой своей. Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе, Тут и увидел предел жизни печальной своей. Это имя выдающегося французского математика, жившего в 17 веке ( 1601 – 1665 ) Пьера  Ферма. По профессии он был юристом и почти всю жизнь занимал должность советника  парламента в городе Тулузе. Свободное от служебных обязанностей время Ферма посвящал  математическим исследованиям, которые проложили новые пути почти во всех отраслях  математики. Для исследований Ферма исходным пунктом нередко служила математика  древних, в частности “Арифметика” Диофанта. На одной из страниц Диофант решает  следующую задачу: “Найти два квадрата, сумма которых тоже является квадратом” Задача  сводится к решению в целых числах неопределенного уравнения х2 + у2 = z2 . Мы с вами уже  говорили сегодня о таком уравнении. Диофант приводит формулы, по которым легко найти  все решения данного уравнения в натуральных числах. На полях этой страницы Пьер Ферма  записал: “Наоборот, невозможно разложить куб на два куба или биквадрат на два  биквадрата и, вообще, никакую степень, выше второй, нельзя разложить на сумму двух  степеней с тем же показателем. Я нашел поистине удивительное доказательство этого  предложения, но поля книги слишком узки, чтобы его изложить.” Итак, речь идет о следующем: доказать, что уравнение х n + y n = z n не имеет целых решений для n > 2. Это предложение и было названо “Великой, или большой, теоремой Ферма” или  “Последней теоремой Ферма”. Ни в произведениях, ни в бумагах или письмах Ферма не  осталось следов доказательства, о котором Ферма писал на полях книги, начиная с 18 века  предпринимались большие усилия для доказательства этой теоремы. Но доказательства  касались лишь частных случаев. В 1907 году даже была объявлена премия в 100 000  немецких марок тому, кто докажет эту теорему для любого натурального n. Тот факт, что  теорема Ферма ни могла быть ни доказана, ни опровергнута в течение нескольких веков,  поставил перед многими учеными следующий вопрос: обладал ли действительно Ферма  правильным доказательством теоремы? Но конец 20 века ознаменовался для математиков  настоящей сенсацией: попытки доказать великую теорему Ферма наконец – то увенчались  успехом! Летом 1995 г. в одном из ведущих американских журналов – “Анналы математики” ­  было опубликовано полное доказательство теоремы. Разбитое на две статьи, оно заняло  весь номер – в общей сложности более 100 страниц. Основная часть доказательства  принадлежала 42 – летнему английскому математику Эндрю Уайлсу, профессору  Принстонского университета, штурмовавшему” знаменитую проблему почти 10 лет. На  последнем этапе к работе подключился Ричард Тейлор, профессор Оксфордского  университета. “Улитка Паскаля” строфоида. Декартов лист лемниската Бернулли   Сначала   следует   актуализировать   знания   учащихся   об   известных   им   графиках уравнений с двумя переменными. Затем разобрать, что является графиком уравнения х2 + у2 = r2, и вывести общее уравнение окружности с центром в точке (a; b) и радиусом r: Сообщение темы и цели урока Работа по теме (х – а)2 + (у – b)2 = r2. IV. V. Формирование умений и навыков. Задания   можно   разбить   на   две   группы.   Сначала   учащиеся   по   данному   уравнению окружности строят ее, а затем выполняют задания на составление уравнения окружности. Упражнения: 1­я  г р у п п а. 1. № 403 (устно). 2. Постройте график уравнения: а) х2 + у2 = 4; б) (х – 1)2 + у2 = 9; в) (х + 2)2 + (у – 3)2 = 1. 2­я  г р у п п а. 1. № 404 (а, б), № 405 (а, б). 2. № 407. 3. № 410. В классе с высоким уровнем подготовки можно выполнить несколько дополнительных заданий. 1. № 406. х2 + у2 – 6 (х – у) = 7. Для того чтобы доказать, что графиком этого уравнения является окружность, его Р е ш е н и е нужно привести к виду  (х – а)2 + (у – b)2 = r2. Выполним ряд преобразований: х2 + у2 – 6х + 6у = 7; х2 – 6х + 9 – 9 + у2 + 6у + 9 – 9 = 7; (х – 3)2 – 9 + (у + 3)2 – 9 = 7; (х – 3)2 + (у + 3)2 = 25. Таким образом, графиком данного уравнения является окружность с центром в точке (3; –3) и радиусом 5. 2. № 409. Р е ш е н и е Центром окружности (х – 5)2 + (у – 7)2 = r2 является точка с координатами (5; 7), то есть центр этой окружности находится в первой координатной четверти на расстоянии 5 от оси у и 7 – от оси х. Чтобы данная окружность касалась оси х, ее радиус должен совпадать с расстоянием между центром и осью  х, то есть  r  = 7. А чтобы окружность касалась оси  у, ее радиус должен совпадать с расстоянием между центром и осью у, то есть r = 5. Итог урока VI. В о п р о с ы   у ч а щ и м с я: – Что называется решением уравнения с двумя переменными? – Сколько решений имеет уравнение с двумя переменными? – Что является графиком уравнения х2 + у2 = r2? – Назовите координаты центра окружности и ее радиус, если она задана уравнением (х + 1)2 + (у – 5)2 = 49. VII. Домашнее задание:  № 402 (в, г), № 404 (в), № 405 (в).