Урок 2 Основные правила комбинаторики План урока

Дата:

ФИО учителя:

Классы: 9

Количество присутствующих:

отсутствующих:

Тема урока

Основные понятия и правила комбинаторики (правила суммы и произведения)

Цели обучения, которые достигаются на данном уроке

9.3.1.3 знать определения перестановки, размещения, сочетания без повторений;

9.3.1.4 знать формулы комбинаторики для вычисления чисел перестановок, размещений, сочетания без повторений;

Цели урока

ü  знать определения перестановки, размещения, сочетания без повторений;

ü  знать и применять формулы комбинаторики для вычисления чисел перестановок, размещений, сочетания без повторений;

ü  решать задачи на применение формул комбинаторики для вычисления чисел перестановок, размещений, сочетания без повторений;

Критерии успеха

ü  знает определения и взаимосвязь перестановок, размещений, сочетаний без повторений;

ü  знает и применяет формулы комбинаторики для вычисления чисел перестановок, размещений, сочетания без повторений;

ü  решает задачи на применение формул комбинаторики для вычисления чисел перестановок, размещений, сочетания без повторений;

Языковые цели

Учащиеся:

Описывают и обсуждают устно определения перестановок, размещений, сочетаний без повторений;

Лексика и терминология, специфичная для предмета:

Комбинаторика, элемент, комбинация, выборка, перестановки, размещения, сочетания, факториал

Полезные выражения для диалогов и письма:

Перестановкой из n элементов (или n-перестановкой) называется n-элементное упорядоченное множество, составленное из элементов n-элементного множества …

Привитие ценностей

Умение учиться, добывать самостоятельно информацию, анализировать ситуацию, адаптироваться к новым ситуациям, ставить проблемы и принимать решения, работать в команде, отвечать за качество своей работы, умение организовывать свое время

Привитие ценностей осуществляется посредством работ, запланированных на данном уроке.

Межпредметные связи

Учащиеся будут исследовать большие возможности в обрабатывании и оценке основных правил комбинаторики, понимании и исследовании перестановок, размещений, сочетаний без повторений и их отношений в науке, и мире вокруг них.

Навыки использования ИКТ

Использование интерактивной доски в качестве демонстрационного средства и средства записи.

Предварительные знания

Определение комбинаторики, правил суммы и произведений, факториал числа, конечное множество.

Ход урока

Запланированные этапы урока

Запланированная деятельность на уроке

Ресурсы

Начало урока

1 мин

I. Организационный момент:

- концентрацию внимания учащихся

- совместно с учащимися определить цели урока/ЦО

- определить «зону ближайшего развития» учащихся, ожидания к концу урока.

Проверка домашнего задания.

Слайды 1-2

Середина урока

1 мин

5 мин

5 мин

5 мин

5 мин

5 мин

10 мин

II. Актуализация знаний.

Учащимся предлагается повторить определение комбинаторики  и понятия «факториал», правил суммы и произведений.

ІІІ. Изучение нового материала.

1) Вводится понятие перестановки без повторений.

Перестановкой называется конечное множество, в котором установлен порядок элементов.

Число всевозможных перестановок из n элементов вычисляется по формуле:

                      P_n = n!

Пример 1. 

Сколькими способами могут быть расставлены восемь участниц финального забега на восьми беговых дорожках?

Решение: P₈ = 8! = 40 320

Пример 2.

Сколько различных четырёхзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, причём в каждом числе цифры должны быть разные?

Решение: Р₄ – Р₃ = 4! – 3! = 18.

Пример 3.

Имеется 12 различных книг, среди которых есть четырёхтомник одного автора. Сколькими способами можно расставить эти книги на полке, если книги четырёхтомника должны находиться вместе, но в любом порядке?

Решение: Р₉ · Р₄ = 9! ·4! = 8709120.

2) Вводится понятие размещений без повторений.

Размещением  из n элементов конечного множества по k, где k≤n, называют упорядоченное множество, состоящее из k элементов.

Число всевозможных размещений из n элементов по k вычисляется по формуле:

Пример 1.

Из 13 учащихся нужно отобрать по одному человеку для участия в городских олимпиадах по математике, физике, истории и географии. Каждый из учащихся участвует только в одной олимпиаде. Сколькими способами это можно сделать?

Решение:

=.

Пример 2.

Сколько существует семизначных телефонных номеров, в которых все цифры различны и первая цифра отлична от нуля?

Решение:

.

Пример 3.

Сколько существует трёхзначных чисел, составленных из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 (без повторений), которые НЕ кратны 3?

Решение:

.

3) Вводится понятие сочетаний без повторений.

Подмножества, составленные из n элементов данного множества и содержащие k элементов в каждом подмножестве, называют сочетаниями из n элементов по k. (Сочетания различаются только элементами, порядок их не важен: ab и ba – это одно и тоже сочетание).

Число всевозможных сочетаний из n элементов по k вычисляется по формуле:

Пример 1.

Сколькими способами можно выбрать четырёх дежурных из класса, в котором 24 человек?

Решение:

.

Пример 2.

Из вазы с цветами, в которой стоят 10 красных гвоздик и 5 белых, выбирают 2 красные гвоздики и одну белую. Сколькими способами можно сделать такой выбор букета?

Решение:

.

Пример 3.

Семь огурцов и три помидора надо положить в два пакета так, чтобы в каждом пакете был хотя бы один помидор и чтобы овощей в пакетах было поровну. Сколькими способами это можно сделать?

Решение:

.

4) Число размещений, перестановок и сочетаний связаны равенством:

.

Различия между перестановками, сочетаниями и размещениями без повторений:

•      В случае перестановок берутся все элементы и изменяется только их местоположение.

•      В случае размещений берётся только часть элементов и важно расположение элементов друг относительно друга.

•      В случае сочетаний берётся только часть элементов и не имеет значения расположение элементов друг относительно друга.

5) Устный опрос учащихся «Проверь себя»:

•      Что такое комбинаторика?

•      В чём состоит правило суммы?

•      В чём состоит правило произведения?

•      Что такое размещения?

•      Запишите формулу для нахождения числа размещений.

•      Что такое перестановки?

•      Запишите формулу для нахождения числа перестановок.

•      Что такое факториал?

•      Что такое сочетания?

•      Запишите формулу для нахождения числа сочетаний.

•      В чём различие между перестановками, размещениями, сочетаниями?

IV. Закрепление нового материала.

Работа в группе. Все учащиеся (12 человек) делятся на 3 команды примерно по 4 человек. Раздаются задания в виде карточек. Участники каждой команды решают задачи, обсуждая между собой решение 3 задач. Через 5 минут из каждой команды по 1 ученику выходят к доске на объяснение одной из 3-х задач. Учитель проверяет. Все учащиеся также совместно проверяют правильность решении каждой задачи.

№1. Сколько существует двузначных чисел, в которых цифра десятков и цифра единиц различные и нечетные?

№2. Сколько всего шестизначных четных чисел можно составить из цифр 1, 3, 4, 5, 7 и 9, если в каждом из этих чисел ни одна цифра не повторяется?

№3. 12 человек играют в городки. Сколькими способами они могут набрать команду из четырех человек на соревнование?

Решение задач:

№1. Поскольку нечетных цифр пять, а именно 1, 3, 5, 7, 9, то эта задача сводится к выбору и размещению на две разные позиции двух из пяти различных цифр. Следовательно, указанных чисел имеется

 .

№2. Необходимым и достаточным условием делимости натурального числа на 2 является делимость на 2 цифры разряда единиц этого числа. Поэтому из всех указанных цифр цифрой единиц искомого числа может быть только цифра 4. Остальные пять цифр могут стоять на оставшихся пяти местах в любом порядке. Следовательно, поставленная задача сводится к нахождению числа перестановок из пяти элементов. Поскольку

, то всего можно составить 120 указанных чисел.

№3. Число способов выбрать четыре человека из 12 равно числу сочетаний из 12 по четыре, т. е.

Слайды 3-6

Слайды 7-9

Слайды 10-13

Слайды 14-17

Слайд 18

Приложение №1

Конец урока

3 мин

В конце урока учащиеся проводят рефлексию:

- что узнал, чему научился

- что осталось непонятным

- над чем необходимо работать и т.д.

Домашнее задание:

№1.Сколько всего семизначных телефонных номеров, в каждом из которых ни одна цифра не повторяется?

№2.Сколькими способами семь книг разных авторов можно расставить на полке в один ряд?

№3.Сколькими способами семь книг разных авторов можно расставить на полке в один ряд?

№4.У Нины есть семь разных книг по математике, а у Славы – девять разных книг по философии. Сколькими способами они могут обменяться друг с другом по пять книг?

№5. В розыгрыше первенства по футболу принимают участие 16 команд, при этом любые две команды играют между собой только один матч. Сколько всего календарных игр?

Приложение

Приложение №2

Дифференциация

Более способным учащимся предлагаются задания более сложного уровня.

Оценивание

Формативное оценивание учителя в течение урока – учитель следит за выполнением тренировочных упражнений.

Здоровье и соблюдение техники безопасности

Рефлексия по уроку

×          Были ли цели урока/цели обучения реалистичными?

×          Все ли учащиеся достигли ЦО?

×          Если нет, то почему?

×          Правильно ли проведена дифференциация на уроке?

×          Выдержаны ли были временные этапы урока?

×          Какие отступления были от плана урока и почему?

Общая оценка

Какие два аспекта урока прошли хорошо (подумайте как о преподавании, так и об обучении)?

1:

2:

Что могло бы способствовать улучшению урока (подумайте как о преподавании, так и об обучении)?

1:

2:

Что я выявил(а) за время урока о классе или достижениях/трудностях отдельных учеников, на что необходимо обратить внимание на последующих уроках?