Урок по теме: «Понятие комбинаторики. Перестановки».

            По дисциплине «Математика», отделения ПП КРС группы №18 «Повар, кондитер»

Теория вероятности составителями стандартов отнесена к обязательному для изучения материалу, который используется в дальнейшем при изучении специальных дисциплин.

Место учебного материала урока в изучаемой теме: урок является первым в разделе «Комбинаторика».

Тип урока: это урок изучения нового материала и закрепление первичных знаний.

      Вид урока: смешанный урок (киноурок, урок-лекция, практическая, творческая работа)

Цели урока:

Дидактическая:   Выработать умение распознавать и решать основные типы вероятностных задач; показать учащимся различные способы решения задач и использование их на практике.

Образовательные:

-познакомить обучающихся с предметом теории вероятностей и её местом в системе научного познания мира.

-ввести основные понятия: комбинаторика, перестановки, факториал.

-научить применять полученные знания, как при решении задач, так и в практической деятельности; в жизненной ситуации; рассмотреть применение математики в литературе;

Сформировать умения:

учебно-интеллектуальные:

   - умение диалектически анализировать;

   -умение сравнивать, обобщать, систематизировать, конкретизировать, синтезировать;

   -умение формулировать проблемы, исследовательские умения (постановка задач, выработка гипотезы, выбор метода решения);

учебно-познавательные:

  - умение участвовать в учебном диалоге;

  -умение задавать уточняющие вопросы, формулировать;

  -умение пользоваться математическим языком, математически грамотно выражать свои мысли;

учебно-организационные:

  -умение организовать себя на выполнение поставленной задачи;

  -умение осуществлять самоконтроль и самоанализ учебной деятельности;

  -умение сотрудничать при решении учебных задач (кому-то объяснять, принимать помощь преподавателя и студента).

Развивающие:

-создавать условия, способствующие развитию  познавательного интереса и творческой активности и формированию логического мышления, навыков самостоятельной работы, взаимоконтроля и самоконтроля;

-способствование развитию познавательного интереса посредством создания проблемных ситуаций на уроке;

-ознакомление с приемами исследовательской деятельности;

Воспитательные:

-воспитание у обучающихся глубокого интереса к математике и её приложению;

-выработка привычки к постоянной занятости, воспитание отзывчивости, трудолюбия, аккуратности;

-воспитание культуры умственного труда;

-воспитание культуры общения, культуры ведения учебного диалога (преподаватель-обучающийся, обучающийся-обучающийся).

-воспитание чувства ответственности за результаты своего труда.

Здоровье сберегающий элемент урока заключается в создании эмоционально благоприятных условий для всех участников образовательного процесса через доброжелательное отношение, чередующиеся формы учебной деятельности, через использование физкульт. паузы.

Формы организации учебной деятельности: диалог, частично-поисковая деятельность, индивидуальная самостоятельная, коллективная.

Методы обучения: создание проблемной ситуации, осуществление педагогической поддержки, создание ситуации взаимопомощи и взаимоконтроль

Структура урока:

1.   Организационная установка, эмоциональный настрой.

2.   Обзор обучающимися по вопросу «История развития науки».

3.   Сообщения об использовании вероятностных методов в жизни.

4.   Рассмотрение основных понятий данной науки путем последовательного выстраивания проблемных ситуаций.

5.   Рассмотрение типичных «опытов» в данной теме.

6.   Формирование новых знаний через решение задач.

7.   Физкульт.пауза.

8.   Первичное закрепление полученных знаний посредством практической работы с последующим контролем.

9.   Инструктаж по выполнению домашнего задания.

10.            Подведение итогов и результатов  урока (рефлексия).

Продолжительность занятия 90 минут (пара).

План урока

Ход урока

1.     Организационная установка, эмоциональный настрой.

Главное в этом мире не то, где мы стоим, а то,

 в каком направлении движемся. (Оливер Холмс)

Очень часто в жизни нам приходится выбирать, начиная с мелочей: какую одежду купить, какие продукты лучше, с кем сесть за парту; и более серьезный выбор: выбор учебного заведения, выбор места работы и т.д. Выбор правильного пути всегда вставал перед человеком, еще в древности для охоты выбирались лучшие охотники, для посева – отбирается лучшее зерно и т.д.

 Сегодня мы приступаем к рассмотрению раздела «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятности».

Запишем число, тема урока «Понятие комбинаторики. Перестановки»

Так, как мы приступаем к изучению нового раздела, то, что мы с вами должны будем сделать? (обучающиеся сами пытаются поставить цели урока)

Таким образом, целями урока будут:

1.      Ввести и определить основные  понятия данного раздела математики.

2.      Выяснить как они взаимосвязаны друг с другом (т.е. установить закономерности).

3.      Научиться применять (использовать) изученный материал на практике (т.е. при решении задач) и в жизни (что является очень важным)  (вероятность выигрыша в азартные игры рассматривается во второй половине занятия).

В настоящее время теория вероятностей имеет статус точной науки наравне с арифметикой, алгеброй, геометрией, тригонометрией и т.д. Этот раздел математики уже входит в учебники и входит в программу экзамена.

Но начиналось всё весьма и своеобразно…

Первые понятия теории вероятности возникли под влиянием  азартных игр, особенно, игры в кости.

Математики по этому поводу шутя, говорили, что глупая игра в кости породила большую и мудрую науку, очень важную для практической деятельности людей, в то время как умная игра в шахматы в истории науки никакой роли не сыграла.

Самый древний игральный кубик найден в  Северном Ираке и относится к IV тыс. до н.э.

Для кого-то кости, еще в те времена, становились источником богатства, для кого-то – причиной нищенства и позора.

Для внеаудиторной самостоятельной работы выделено было три вопроса:

1.      Определения комбинаторики.

2.      Этапы развития науки.

3.      Применение комбинаторики в современной жизни.

Выступление 1: Понятие комбинаторики, комбинаторных задач

  Толковый словарь определяет  понятие комбинаторика – как раздел дискретной мате­матики, изучающий всевозможные сочетания и расположения предметов (Ожегов С.И. , Шве­дова Н.Ю. Толковый словарь русского языка, Москва. 1999).

  В Большой Российской энциклопедии даётся следующее определение: комбинаторика - раздел математики, в котором исследуется, сколько различных комбинаций (всевозможных объединений элементов), подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданного конечного множества объектов. Комбинаторика (от латинского слова combinare) означает - «соединять, сочетать». Впервые термин «комбинаторика» был введён в математический оби­ход немецким философом, математиком Лейбницем.

    Для решения многих практических задач приходится выбирать из некоторой совокупно­сти объектов элементы, обладающие тем или иным свойством, располагать эти элементы в оп­ределенном порядке и т.д. Задачи, в которых идет речь о тех или иных комбинациях объектов, называются комбинаторными. Область математики, в которой изучаются комбинаторные за­дачи, называется комбинаторикой.

Запишем определение которое даётся в нашем учебнике. Комбинаторикой называется область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из элементов, принадлежащих данному множеству.

Выступление 2: Обзор обучающимися по вопросу «История развития науки»

В истории развития науки можно выделить пять этапов.

Этапы развития теории вероятностей.

     Сообщения обучающихся, в ходе которых в тетрадях проводится заполнение таблицы:

Докладчик 1

1. этап. Предыстория теории вероятностей. (который берет свое начало в глубине веков и заканчивается XVI в.) В этот период ставились и примитивно решались простейшие задачи, т.е. никаких специальных методов решения в этот период не было. Но, тем не менее, именно здесь появляются первые работы Кардано («Книга об игре в кости») и Луки Паччиоли («Сумма знаний по арифметике, геометрии, отношении и пропорции», в которой он рассматривает задачу о разделе ставки) .

Докладчик 2

2. этап Возникновение теории вероятностей как науки. (относится к середине XVI века – начало XVIII века) В этот период появляются первые понятия, доказываются первые теоремы. этот этап развития связан с именами французских математиков Паскаля, Ферма (ввели понятия «вероятность события», «теория ожидания»), и голландского математика-изобретателя Гюйгенса (трактат «О расчетах в азартных играх»). В этот период теория вероятностей находит свои первые применения в демографии, страховом деле, оценке ошибок наблюдения.

Докладчик 3

3. этап. начинается с появления работы Я. Бернулли «Искусство предположения» (1713 год). Здесь была доказана теорема Бернулли, которая дала возможность широко применять теорию вероятностей к статистике. К этому периоду относятся работы Муавра, Лапласа, Гаусса, Пуассона, теория вероятностей начинает применяться в различных областях естествознания.

Докладчик 4

4. этап. Во второй половине 19-20 вв. теория вероятностей развивалась очень быстро. это связано, прежде всего, с русской (Петербургской) школой. Фундаментальные открытия были сделаны математиками Чебышевым, Марковым, Ляпуновым. В это время данная наука продолжает широко применяться в различных областях естествознания, в первую очередь – в физике. Возникает статистическая физика, которая развивается в тесной связи с теорией вероятностей.

Докладчик 5

5. этап Современный этап развития теории вероятностей. Для успешного применения теории вероятностей к физике, биологии, астрономии, экономике и другим наукам, а также к технике и военному делу необходимо было привести в стройную систему ее основные понятия. Над этим вопросом работали Бернштейн, Мизес, Борель. И только в 30-е годы XX века произошло окончательное установление аксиоматики. Это связано с именами Бернштейна и советского математика, одного из крупнейших математиков ХХ века Андрея Николаевича Колмогорова.

  Проверка получившейся таблицы.

Таким образом, возникновение и развитие теории вероятностей продиктовано необходимостью ее применения, начиная от хозяйственно-прикладных вопросов и заканчивая самыми тонкими теоретическими вопросами…

Сообщения об использовании вероятностных методов в жизни.

Сообщение 1

Искусство шифрования и дешифровки основано на использовании статистических закономерностей языка. Вероятностно-статистические методы широко применяются в исторических исследованиях, особенно в археологии для расшифровки надписей на языке древних народов. Так, например, при расшифровке древнего иероглифического письма  Ж. Шампольон учитывал вероятностные закономерности языка.

Сообщение 2

Вероятностные методы используются для установления авторства и изобличения литературных подделок. Пример из нашей недавней истории. Это споры об авторстве "Тихого Дона". Довольно многие считали, что в 23 года М.А. Шолохов не мог написать такую глубокую и поистине великую книгу. И только вероятностно-статистические методы развеяли эти сомнения. В результате чего ему была присуждена Нобелевская премия в области литературы.

Выявление частоты появления звуков языка в устной и письменной речи позволяет ставить вопрос об оптимальном кодировании букв данного языка для передачи информации. Частота использования букв определяет соотношение количества знаков в наборной типографской кассе. Расположение букв на каретке пишущей машины и на клавиатуре компьютера, определяется статистическим изучением частоты сочетаний букв в данном языке.

Сообщение 3

Ещё один яркий пример из нашей истории. в 1968 году между командами СССР и Италии состоялся полуфинальный матч на первенство Европы, который закончился ничьей. Было дано дополнительное время и серия пенальти, но и это не выявило победителя. Тогда было решено, что победителя определит его величество случай. Бросили монету. Случай был благосклонен к итальянцам.

Сообщение 4

        Статистическая физика стала основой всей современной физики, а теория вероятностей – ее математическим аппаратом. В статистической физике рассматриваются задачи, которые описывают явления, определяющиеся поведение большого числа частиц. В молекулярной физике с ее помощью объясняют тепловые явления, в электромагнетизме – диэлектрические, в оптике она позволила создать теорию теплового излучения, молекулярного рассеивания света.

Понимание природы химических реакций, динамического равновесия также невозможно без статистических представлений. Вся физическая химия, ее математический аппарат и предлагаемые ею модели являются статистическими.

Обработка результатов наблюдений, которые всегда сопровождаются и случайными ошибками, еще в XIX столетии привела исследователей к созданию теории ошибок наблюдений, и эта теория полностью опирается на статистические представления.

Астрономия в ряде своих разделов использует статистический аппарат. Звездная астрономия, исследование распределения материи в пространстве, изучение потоков космических частиц, распределение на поверхности солнца солнечных пятен (центров солнечной активности) и многое другое нуждается в использовании статистических представлений.

  Сообщение 5   Вопросы экономики не могут не интересовать общество, поскольку с ней связаны все аспекты ее развития. Без статистического анализа невозможно предвидеть изменение количества населения, его потребностей, характера занятости, изменения массового спроса, а без этого невозможно планировать хозяйственную деятельность.

     Сообщение 6   Непосредственно связаны с вероятностно-статистическими методами вопросы проверки качества изделий. Зачастую изготовление изделия занимает несравненно меньше времени, чем проверка его качества. По этой причине нет возможности проверить качество каждого изделия. Поэтому приходится судить о качестве партии по сравнительно небольшой части выборки. Статистические методы используются и тогда, когда испытание качества изделий приводит к их порче или гибели.

      Сообщение 7  Вопросы, связанные с сельским хозяйством, уже давно решаются с широким использованием статистических методов. Выведение новых пород животных, новых сортов растений, сравнение урожайности, зависимость от природных условий и т.д.

       Можно без преувеличения сказать, что вероятностно-статистическими методами сегодня пронизана вся наша жизнь.

3 блок.

Следующая неделя будет посвящена литературе и искусству, поэтому сегодня мы проведем некоторые исследования литературных произведений.

  Давайте вспомним известное нам из детства сказание о том, как богатырь или другой добрый молодец, доехав до развилки трех дорог, читает на камне: “Вперед поедешь – голову сложишь, направо поедешь – коня потеряешь, налево поедешь – меча лишишься”. А дальше уже говорится, как он выходит из того положения, в которое попал в результате выбора. Эти пути и варианты складываются в самые разнообразные комбинации.

  Итак, что такое  комбинаторика? – раздел математики, в котором изучается, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

  Задачей комбинаторики можно считать задачу размещения объектов по специальным правилам и нахождение числа способов таких размещений.

Пример 1. Составить все размещения из трех букв А, В, С.

Решение: 1-ый способ - перебора: АВС, АСВ, ВАС, ВСА, СВА, САВ.

2 –ой способ:  дерево возможных вариантов

3-й способ: по формуле: на 1-ом месте может находиться одна из трех букв, на 2- одна из двух и на третьем остается одна буква.     Р₃ = 1·2·3 = 6.(3!)

Видео (о задаче из армейской жизни)

Математики придумали символическую запись  произведения всех натуральных чисел от 1 до n – это n! n – факториал.

Запишем определение: перестановками из n элементов называются размещения из n элементов по n.

Число перестановок из n эле­ментов обозначается Рn. Получим формулу для вы­числения числа перестановок из n элементов: Рn.= n!

Используя знак факториала, можно, например, записать:

1! = 1,

2! = 2•1 = 2,

3! = 3 •2 •1 = 6,

4! = 4 •3 •2 •1 = 24,

5! = 5 •4 •3 •2 •1 = 120.

Необходимо знать, что 0!=1

Термин “перестановки” употребил впервые Якоб Бернулли в книге “Искусство предположений”.

Пример2.В знаменитой басне Крылова “Квартет” “Проказница мартышка, Осел, Козел да косолапый Мишка” было проведено исследование влияния взаимного расположения музыкантов на качество исполнения.

Зададим вопрос: Сколько существует способов, чтобы рассадить четырех музыкантов?

Решение: на слайде

Влияет ли расположение музыкантов на  качество исполнения?

Пример 3. «Приберёмся» на книжной полке:  У нас есть семитомник  Пушкина. Сколькими способами вы можете расставить книги  на полке?

Ответ на наш вопрос будет следующим Р7 = 7!, где 7! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 =5040, значит существует 5040 способов осуществить расстановку книг.

Пример 4. Александр Сергеевич Пушкин, как и многие великие деятели искусства обращались к математике? Что стоит его изречение: «Вдохновение нужно в геометрии, как и в поэзии». 
Много замечательных произведений написаны Пушкиным, одно из них «Пиковая дама»

Учитель читает отрывок: 

«Герман вздрогнул: в самом деле, вместо туза у него стояла пиковая дама. Он не верил своим глазам. Не понимая, как мог он  обдёрнуться. В эту минуту ему показалось, что пиковая дама прищурилась и усмехнулась…
Герман сошёл с ума. Он сидит в Обуховской больнице в 17-м нумере, не отвечает ни на какие вопросы и бормочет необыкновенно скоро: «Тройка, семёрка, туз! Тройка, семёрка, дама!..»

Сколькими способами может выпасть комбинация карт «тройка, семерка, туз» Решите эту задачу различными способами.

ФИЗКУЛЬТМИНУТКА.

Проведем эксперимент (Представим что мы актеры играем сцену – рукопожатия):

При встрече восемь  приятелей обменялись рукопожатиями. Сколько было сделано рукопожатий?

1-2    1-3   1-4   1-5   1-6   1-7    1-8

2-3    2-4    2-5  2-6   2-7  2-8

3-4    3-5    3-6   3-7   3-8

4-5    4-6    4-7   4-8

5-6    5-7    5-8

6-7    6-8

7-8

Всего 28 рукопожатий.

Решение многих комбинаторных задач основывается на двух фундаментальных прави­лах, называемых правилом суммы и правилом произведения.

Правило суммы: если объект А можно выбрать n способами, а объект В - k спосо­бами, то объект "А или В" можно выбрать n+k способами.

Пример: Если на одной книжной полке шкафа стоит 30 различных книг, а на другой – 40 различных книг, то выбрать одну книгу из стоящих на полках книг можно 30 + 40 = 70 способами.

Правило произведения: если объект А можно выбрать n способами, а объект В неза­висимо от него - k способами, то пару объектов "А и В" можно выбрать n·k способами.

Пример 5. Вновь посмотрим на книжную полку. В семитомнике Пушкина: 3 тома стихи и 4- проза. Сколькими способами можно расставить тома, что-бы тома со стихами всегда находились вместе.

(решение: 5!*3!=1*2*3*4*5*1*2*3=120*6=720 способов)

Продолжим наш «театр».  Хоккейная комбинация: на поле 5 игроков. Начал игру №1, продолжили игроки с другими номерами, и завершил игру игрок под №5. Каждый ударил по шайбе только 1 раз. Сколько можно составить комбинаций? (6)

Выполнить практическую работу по обработке статистических данных, используя стихи А.С.Пушкина, на частоту появления букв «в» и «м»

(Раздаю практическую работу)

Учитель: близится обед и мне хотелось бы зачитать «Задачу о бесплатном обеде».

Задача о бесплатном обеде.

10 молодых людей решили отпраздновать окончание средней школы товарищеским обедом в ресторане. Когда все собрались и первое блюдо было подано, заспорили о том, как усесться вокруг стола. Одни предлагали разместиться в алфавитном порядке, другие — по возрасту, третьи — по успеваемости, четвертые—по росту и т. д.

Спор затянулся, суп успел простыть, а за стол никто не садился.

Примирил всех официант, обратившийся к ним с такой речью:

— Молодые друзья мои, оставьте ваши пререкания. Сядьте за стол как кому придется и выслушайте меня.

Все сели как попало. Официант продолжал:

— Пусть один из вас запишет, в каком порядке вы сейчас сидите. Завтра вы снова явитесь сюда пообедать и разместитесь уже в ином порядке. Послезавтра сядете опять по-новому

и т. д., пока не перепробуете всех возможных размещений. Когда же придет черёд вновь сесть так, как сидите вы здесь сегодня, тогда, обещаю торжественно, я начну ежедневно угощать вас бесплатно самыми изысканными обедами.

Предложение понравилось. Решено было ежедневно собираться в этом ресторане и перепробовать все способы размещения за столом, чтобы скорее начать пользоваться бесплатными обедами.

Однако им не пришлось дождаться этого дня. И вовсе не потому, что официант не исполнил обещания, а потому, что число всех возможных размещений за столом чересчур велико.

Подсчитайте чему оно равняется по формуле. Оно равняется, ни мало ни много, 3 628 800-дней, в году 365 дней, значит, такое число дней составляет, почти 10 тысяч лет!

Какой вывод можно из этого сделать?

Люди, владеющие техникой решения комбинаторных задач, а, значит, умеющие рассуждать, перебирать различные варианты решений, часто находят выход, казалось бы, из самой безвыходной ситуации.

Домашнее задание: 1.Решить задачу: Пять человек обменялись друг с другом фотографиями. Сколько всего фотографий было. (комбинация 1-2 и 2-1 – разные)

2. расспросить родителей о их работе и на основе этого опроса составить мини-сочинение или просто задачи по теме «Комбинаторные задачи в жизни моих родителей».

Рефлексия: Перед вами лежат листочки с различными наборами элементов лица. Вы должны составить фоторобот вашего сегодняшнего впечатления от урока. А сколько возможных фотороботов можно составить с этими данными?

– Спасибо за урок!

Скачано с www.znanio.ru