Урок "Решение систем двух уравнений методом сложения"

Мытищи 2020

Подготовила : учитель математики Кошевая Инна Александровна

Алгоритм решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными  
методом алгебраического сложения:

Умножить почленно уравнения системы на такие множители, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами;
Сложить почленно уравнения;
Решить полученное на втором шаге уравнение с одной переменной;
Найти значение второй переменной;
Записать ответ. 

3) решаем

4) находим

3) решаем

Решение аналогично примеру а), но

проще найти первой переменную 𝒚𝒚, а потом 𝒙𝒙 .

Решение аналогично примеру а).
Ищем 𝒙𝒙, потом 𝒚𝒚.

Решение аналогично примеру а), но

проще найти переменную 𝒚𝒚 первой , а потом 𝒙𝒙 .

Решение аналогично заданию 15.2 (а), но

одно из уравнений надо умножить на −1 .
Ищем 𝒚𝒚, потом 𝒙𝒙.

Решение аналогично заданию 15.4 (а), но
ищем 𝒙𝒙, потом 𝒚𝒚.

|· -1

|· -1

1) умножаем

Решение аналогично заданию 15.4 (а), но

первое уравнение надо умножить на −3 .
Ищем 𝒚𝒚, потом 𝒙𝒙.

Решение аналогично заданию 15.5 (а), но
ищем 𝒙𝒙, потом 𝒚𝒚.

|· -3

|· 5

1) умножаем

Ой! А как быть?!

Решение аналогично предыдущему.

Ищем наиболее удачный множитель.
Это −𝟐𝟐 для второго уравнения.
1) умножаем

|· -2

2) складываем

3) решаем

4) находим

5) отвечаем

Решение аналогично предыдущему.

Ищем наиболее удачный множитель.
Это −𝟒𝟒 для первого уравнения.
1) умножаем

|· -4

2) складываем

3) решаем

4) находим

5) отвечаем

Коэффициенты отличны от ±1.
Придётся искать НОК коэффициентов, чтобы
привести их к противоположным значениям.

Далее аналогично предыдущему: 2) складываем; 3) решаем; 4) находим;

|· 2

1) умножаем

Упс! Все пропало?!

НОК (4; 6) = 12. Значит множитель первого
уравнения: 12 4 12 4 12 12 4 4 12 4 12 4 =3, а второго: (− 12 −6 12 12 −6 −6 12 −6 )=2.

|· 3

⇔

|·

⇔

|·2

1 3 1 1 3 3 1 3

|·-1

1) умножаем

…умножаем

Решение аналогично предыдущему.
Ищем оптимальные множители.

Это 𝟐𝟐 - для первого и 𝟑𝟑 – для второго уравнения.
1) умножаем

|· 2

2) складываем

3) решаем

4) находим

5) отвечаем

|·3

Решение аналогично предыдущему.
Ищем оптимальные множители.

Это 𝟐𝟐 - для первого и 𝟓𝟓 – для второго уравнения.
1) умножаем

|· 2

2) складываем

3) решаем

4) находим

5) отвечаем

|·5

Не пугайтесь! Коэффициенты в уравнениях
могут быть любыми, но алгоритм решения прежний.

|· 12

1) умножаем

Ой!

⇔

|· -1

&12·( 1 2 𝑥− 1 3 𝑦)=12·1, &−1·(6𝑥−5𝑦)=−1·3. &12·( 1 2 𝑥− 1 3 𝑦)=12·1, &−1·(6𝑥−5𝑦)=−1·3. &12·( 1 2 1 1 2 2 1 2 𝑥𝑥− 1 3 1 1 3 3 1 3 𝑦𝑦)=12·1, &12·( 1 2 𝑥− 1 3 𝑦)=12·1, &−1·(6𝑥−5𝑦)=−1·3. &−1·(6𝑥𝑥−5𝑦𝑦)=−1·3. &12·( 1 2 𝑥− 1 3 𝑦)=12·1, &−1·(6𝑥−5𝑦)=−1·3. &12·( 1 2 𝑥− 1 3 𝑦)=12·1, &−1·(6𝑥−5𝑦)=−1·3.

⇔

⇔

1) умножаем;
2) складываем;
3) решаем;
4) находим;
5) отвечаем.

|· -5

|· 9

|· -25

|· 45

Не нравится
9 5 9 9 5 5 9 5 𝑦𝑦 ? Тогда …

|· -5

|· 16

|· -15

|· 48

Неудобство
− 16 3 16 16 3 3 16 3 𝑦𝑦 ? Тогда …

|· -1

|· 10

|· -2

|· 20

Сложность
10 4 10 10 4 4 10 4 𝑦𝑦 ? Тогда …

Поскольку значения переменных нам заданы, а их коэффициенты неизвестны, то можно считать, что они поменялись ролями. Подставим данное решение в систему:

1) Умножаем или оставляем как есть – кому как нравится.

|· -1

&2𝑎−𝑏=36, &2𝑎+𝑏=8, &2𝑎−𝑏=36, &2𝑎+𝑏=8, &2𝑎𝑎−𝑏𝑏=36, &2𝑎−𝑏=36, &2𝑎+𝑏=8, &2𝑎𝑎+𝑏𝑏=8, &2𝑎−𝑏=36, &2𝑎+𝑏=8, &2𝑎−𝑏=36, &2𝑎+𝑏=8,

Первым делом мы можем упростить уравнения, привести их к виду без дробей. Для этого нужно левую и правую части уравнения умножить на такое число, чтобы сократились знаменатели и эти числа. Например:

a) & 𝑥 2 + 𝑦 3 =3, & 𝑥 3 + 𝑦 2 = 1 3 . & 𝑥 2 + 𝑦 3 =3, & 𝑥 3 + 𝑦 2 = 1 3 . & 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 + 𝑦 3 𝑦𝑦 𝑦 3 3 𝑦 3 =3, & 𝑥 2 + 𝑦 3 =3, & 𝑥 3 + 𝑦 2 = 1 3 . & 𝑥 3 𝑥𝑥 𝑥 3 3 𝑥 3 + 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 = 1 3 1 1 3 3 1 3 . & 𝑥 2 + 𝑦 3 =3, & 𝑥 3 + 𝑦 2 = 1 3 . & 𝑥 2 + 𝑦 3 =3, & 𝑥 3 + 𝑦 2 = 1 3 .

|· 6

⇔

|· 6

&3𝑥+2𝑦=18, &2𝑥+3𝑦=2. &3𝑥+2𝑦=18, &2𝑥+3𝑦=2. &3𝑥𝑥+2𝑦𝑦=18, &3𝑥+2𝑦=18, &2𝑥+3𝑦=2. &2𝑥𝑥+3𝑦𝑦=2. &3𝑥+2𝑦=18, &2𝑥+3𝑦=2. &3𝑥+2𝑦=18, &2𝑥+3𝑦=2.

Далее действуем по алгоритму решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными  
методом алгебраического сложения:

Умножить почленно уравнения системы на такие множители, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами;
Сложить почленно уравнения;
Решить полученное на втором шаге уравнение с одной переменной;
Найти значение второй переменной;
Записать ответ. 

9