Урок_5_Приложение 2_Теоретический материал

График и свойства квадратичной функции

Любую квадратичную функцию  можно задать формулой вида .

Докажем это.

Выделив из квадратного трехчлена  квадрат  двучлена, получим

где .

Обозначив  буквой m, a   - буквой n, получим

Следовательно, график функции  можно получить из графика функции  с помощью двух параллельных переносов — сдвига вдоль оси х и сдвига вдоль оси у.

График функции  - парабола. Значит, и графиком функции  является парабола с вершиной в точке (m; n), где ,  . Осью симметрии параболы является прямая х = m.

Учитывая этот вывод, можно схематически изобразить график квадратичной функции.

На рисунке показано, какой вид имеют эти графики в зависимости от знака дискриминанта D при а > 0.

Перечислим свойства функции  при а > 0.

1. Область определения функции — множество действительных чисел.

2. Если D > 0, то функция обращается в нуль при  и . Если D=0, то она обращается в нуль при  . Если D < 0, то функция нулей не имеет.

3. Если D > 0, то функция принимает положительные значения в каждом из промежутков (-∞;) и (; +∞) и отрицательные значения в промежутке (; ). Если D=0, то функция принимает положительные значения при любых , кроме . Если D < 0, то функция положительна на всей области определения.

4. Функция убывает на промежутке  и возрастает на промежутке . При  функция принимает наименьшее значение, равное .

5. Область значений функции – множество .

На рисунке ниже показано, какой вид имеют графики квадратичной функции при

 а < 0 и в зависимости от знака D.

Задание 1

Перечислите свойства функции  при а < 0.

При построении графика квадратичной функции, заданной формулой , целесообразно найти нули функции, координаты вершины параболы, координаты точки пересечения параболы с осью у и точки, симметричной ей относительно оси  симметрии параболы. Затем следует отметить эти точки в координатной плоскости и провести через них плавную непрерывную линию.

Заметим, что в тех случаях, когда парабола не имеет общих точек с осью х или пересекает ось у в точке, достаточно удаленной от начала координат, для построения параболы используют другие точки, симметричные относительно ее оси.

Пример 1. Построим график функции .

Найдем нули функции. Решив уравнение , получим, что  и . Значит, парабола пересекает ось х в точках, абсциссы которых приближенно равны -0,5 и 4,5.

Вычислим координаты m и n вершины параболы. Абсциссу m найдем по формуле , а ординату n найдем, подставив в формулу  вместо х значение m. Имеем:

Положив х = 0, найдем координаты точки пересечения параболы с осью у. Получим точку (0; -1). Симметричная ей точка относительно оси симметрии параболы имеет координаты (4; -1).

Построим эти точки и, учитывая направление ветвей параболы, проведем через них непрерывную линию. Получим график функции .

Остановимся теперь на одном важном свойстве параболы. При вращении вокруг оси симметрии парабола описывает фигуру, называемую параболоидом. Если внутреннюю поверхность параболоида сделать зеркальной и направить на нее пучок лучей, параллельных оси, то отраженные лучи соберутся в одной точке - фокусе. Если параболическое зеркало направить на Солнце, то температура в фокусе окажется такой высокой, что можно будет расплавить металл. Это свойство, согласно легенде, использовал Архимед (287—212 гг. до н. э.), чтобы помочь защитникам Сиракуз в войне против римлян. Он построил систему параболических зеркал, позволившую сфокусировать отраженные солнечные лучи на кораблях римлян. В результате на кораблях вспыхнул пожар, и они превратились в пепел.

Если источник света поместить в фокусе, то отраженные от зеркальной поверхности параболоида лучи оказываются направленными параллельно его оси и не рассеиваются. Это свойство используется при изготовлении прожекторов и автомобильных фар.

Источник: Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Феоктистов И.Е. Алгебра. 9 класс : учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений.  – М.: Мнемозина, 2010