Урок по геометрии "Теорема Пифагора"

по геометрии 8 класс                                                                                            Выполнила :    Место работы: Хасавюртовский район с.Ботаюрт 2018 г. учитель математики Атаева Дженнет С. 1 Предмет: геометрия Класс: 8 Тема: «Теорема Пифагора» Цель урока:  Сформировать мотивацию к обучению. Изучить и доказать теорему Пифагора,   рассмотреть   способы   решения   типовых   задач.  Найти   практическое применение теоремы Пифагора Задачи:  узнать, кто такой Пифагор;  познакомить и доказать теорему Пифагора;  научить применять теорему для решения задач;  показать связь между теоремой Пифагора и другими дисциплинами;  показать практическую значимость теоремы Пифагора;  развитие мировоззрения учащихся, алгоритмического, комплексного  мышления;  воспитание активности, самостоятельности, ответственности, культуры  общения, развитие коммуникативных способностей. Формируемые  УУД  Личностные:  учатся замечать и признавать свои ошибки, прислушиваться  к мнениям одноклассников, анализировать, овладевать  историческими и  математическими знаниями и умениями, навыками их применения в  реальной жизни, осознавать ценности исторических и математических знаний как важнейшего компонента научной картины мира,  рефлексия.  Коммуникативные: планирование учебного сотрудничества с учителями и сверстниками, приобретают умения организовать сотрудничество с  партнёром, осуществлять оценку действий партнера, умение с достаточной  полнотой и точностью выражать свои мысли. 2  Регулятивные: осознание качества и уровня усвоения пройденного  материала.  Оценивают умение  сотрудничать с учителем и  одноклассниками.  Познавательные: устанавливают причинно­следственные связи между  объектами, осуществляют подведение под понятие , проводят сравнение,  классификацию объектов, выбирают наиболее эффективный способов  решения задач. Планируемые образовательные результаты  Метапредметные. Понимать связь математики с искусством, поэзией,  философией, научиться чувствовать красоту формул и теорем, развивать  интерес к истории математических открытий.  Личностные. Грамотно излагать свои мысли, анализировать, сравнивать,  развивать познавательный интерес через творческие задания. Уметь  самостоятельно приобретать новые знания и практические умения,  управлять своей познавательной деятельностью. Развивать активность и  находчивость при решении  поставленных задач, умение работать в  коллективе.   Предметные. Понимать, что такое «теорема Пифагора». Знать, как найти  неизвестную сторону прямоугольного треугольника при помощи теоремы  Пифагора. Тип урока: формирование новых знаний и умений. Формы работы учащихся: фронтальная, индивидуальная, парная, групповая. Необходимое   техническое   оборудование: оборудование.  компьютер,   интерактивное Дидактические средства: учебник, презентация, модели треугольников (красные, зелёные, синие), тест. Методы   и   приемы:   фронтальная   работа,   сочетающаяся   с   обще   классной; частично­поисковый метод; индивидуальная работа, работа парами и группами. 3 Структура урока:  Мотивационно ­ организационный момент.  Актуализация опорных знаний.  Создание проблемной ситуации.  Сообщение темы и цели уроков.  Изучение нового материала.  Практическая работа исследовательского характера.  Первичная проверка усвоения знаний.  Первичное закрепление знаний.  Подведение итогов урока.  Информация о домашнем задании.                                                                         Эпиграф урока                                          «…Геометрия владеет двумя сокровищами:  Одно из них ­ это теорема Пифагора,   которую можно сравнить с мерой золота»   Иоганн Кеплер Ход урока:. I.              Мотивационно­организационный этап. 1. Мотивационно ­ организационный этап. –Здравствуйте, ребята.    4 Математическое творчество – это высший пилотаж,  и сегодня я приглашаю вас к  полетам в мыслях как наяву.  Мы проведем не обычный урок геометрии, а  отправимся с вами в далекое путешествие. В глубь веков приведет нас колесо  истории. – Ребята, а вы можете сказать, зачем люди путешествуют?                                (Чтобы узнать что­то новое, познакомится с новыми людьми, сделать  маленькие или большие открытия) – С этой целью отправимся в путешествие и мы! А привело нас колесо истории в  Древний Египет, и оказались мы с вами в пифагорейской школе. Представьте, что  я ­  Пифагор, а  вы ­ мои ученики ­ пифагорейцы.   Союз пифагорейцев ­ тайный. В него  вступают представители аристократии с  большими церемониями после долгих испытаний. Вам тоже предстоит пройти  испытания, прежде чем вступить в этот  союз. 2. Актуализация опорных знаний. ­Чтобы наше путешествие прошло удачно, мы должны с вами,  повторить ранее  изученный материал. 1) Какой треугольник называется прямоугольным?  2)  Какие из треугольников являются прямоугольными? 3)  Как называются стороны прямоугольного треугольника? Назовите катеты  прямоугольного треугольника, гипотенузу. 4) Какими свойствами обладает прямоугольный треугольник? 5 II   . Создание проблемной ситуации ­ Итак, наше  путешествие  началось. На горизонте  Остров Незнаек. ­ Я хочу предложить вам такую задачу:  Задача:  Для крепления мачты нужно установить 4 троса. Один конец каждого троса должен крепиться на высоте 12 м, другой на земле на расстоянии 5 м от мачты.  Хватит ли 50 м троса для крепления мачты?  ­ Предложите алгоритм решения задачи. (Ответы учеников) ­ При решении задачи возникла проблема: недостаточность знаний.  ­ Помочь выйти из данной ситуации, расширить свои знания нам поможет одна из  немногих теорем геометрии, которую помнят все поколения. Должны знать ее и вы ­ теорема Пифагора, которая позволяет находить неизвестную сторону  прямоугольного треугольника по двум известным сторонам.  6 III   . Сообщение темы и целей урока. ­ Давайте сформулируем тему урока?  ­ А какова цель нашего урока? (Ответы детей.) ­  Верно,   цель   урока   (я   добавлю):  изучить   теорему   Пифагора   и   рассмотреть способы решения типовых задач.  ­ Оформите запись в тетради.  ­ Эпиграфом к нашему уроку послужат слова немецкого астронома Иоганна  Кеплера: “Геометрия владеет двумя великими сокровищами.  Первое – это  теорема Пифагора, которую можно сравнить с мерой золота”. – Ребята, вы наверное догадались, какая геометрическая фигура должна  стать объектом вашего внимания в путешествии? (Прямоугольный  треугольник). Треугольник ­ самая простая геометрическая фигура, знакомая вам с детства. К  треугольнику на уроках геометрии мы обращаемся чаще всего. Эта фигура таит в  себе немало интересного и загадочного, как Бермудский треугольник, в котором  бесследно исчезают корабли и самолеты. Один мудрец сказал: «Высшее  проявление духа – это разум. Высшее проявление ума – это геометрия. Клетка  геометрии – это треугольник. Он так же неисчерпаем, как и  Вселенная». Это одна из основных тем школьного курса планиметрии. Умение  решать задачи с помощью применения теоремы Пифагора широко используется в  геометрии, физике, астрономии. ­ Ребята, а кто такой Пифагор?   ­ Что вы знаете о нем? А хотите узнать? Хорошо! Сценка «Пифагор и Платон» Платон. Приветствую тебя, почтенный Пифагор! Велики заслуги твои перед математикой. Ты  впервые разделил числа на четные и нечетные, простые и составные. Впервые в твоей школе было введено доказательство в геометрии. Геометрия владеет двумя сокровищами: теоремой Пифагора и правилом золотого сечения. Если первое из них можно сравнить с мерой золота, то второе – с  драго­ценным камнем. 7 Пифагор. Ты явно преувеличиваешь мои  заслуги, о Платон! Я очень многое открыл не  сам, а узнал, путешествуя по Египту, Вавилону. Платон. Я глубоко чту тебя, о легендарный  Пифагор! Но все же хочу возразить тебе. Как  ты можешь утверждать: «Все есть число»?  Твои взгляды кажутся мне ошибочными. Не  арифметика способна выразить законы мира, а  геометрия. Пифагор. О Платон! Посмотри вокруг. Во всем мире царит порядок, все подчи­нено гармонии.  Числа управляют мировым порядком. Миром правит число. Платон. Я весьма уважаю тебя, но не могу с тобой согласиться. Как ты можешь утверждать, что в  основе построения мира лежит число, когда в твоей же школе открыли, что диагональ квадрата  нельзя выразить никаким числом. Не арифметика способна выразить законы мира, а геометрия! Пифагор. Ты велик, Платон! Мы так можем спорить бесконечности. Пусть нас рассудят наши  потомки. Вопрос. Над входом в школу какого ученого была надпись «Незнающий геометрии да не войдет  в Академию»? Ответ. Платон в 388 году основал в Афинах Академию. Всякий входящий в Академию читал такую  надпись над входом. IV. Практическая работа исследовательского характера:   ­ Ребята, хотели ли вы попробовать себя в роли ученого?   ­ Тогда предлагаю выполнить исследовательскую поисковую работу в группах: у каждой группы лежат модели прямоугольных треугольников (с катетами 12 см и 5 см; 6 см и 8 см; 9 см и 12 см). Произведите измерения катетов и гипотенузы. Результаты занести в таблицу 1. а b с 12 5 6 8 13 10 9 12 15 ­ Ребята, посмотрите внимательно на таблицу. Видна ли связь между   длинами   катетов   и   гипотенузой   в   прямоугольных треугольниках  (школьники   выдвигают   свои   гипотезы, которые обсуждаются). 8 ­  Я выслушала ваши гипотезы, но чтобы ответить есть ли среди них правильные давайте заполним таблицу 2. л ­ Найдите квадраты катетов и гипотенузы и заполните таблицу 2. а 2 в 2 с 2 14 4 36 81 25 64 16 9 10 0 14 4 22 5  ­ А  сейчас, кто  желает сформулировать  зависимость между длинами катетов и гипотенузы   в   прямоугольном   треугольнике?  (школьники   выдвигают   свои гипотезы, которые обсуждаются). Поздравляю вас с открытием теоремы Пифагора! V. Теорема Пифагора.  ­ Путешествие продолжается, на горизонте берега Древней Греции. ­ А знаете, почему греки обогнали в математике все другие народы? Потому что греки умели спорить!  ­ Они не просто заучивали правила. А доискивались причин.  ­ Давайте и мы с вами порассуждаем, поспорим и докажем теорему.  На столе учителя и у каждого на парте лежат 4 одинаковых прямоугольных треугольника. У детей прошу с помощью этих треугольников получить квадрат . Желающие выходят к доске (с большим азартом учащиеся пытаются получить квадрат , но не у всех получается) VI. Доказательство теоремы Пифагора.    ­ Докажем, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.  9 1 Рассмотрим прямоугольный  Учитель треугольник с катетами а и b,  гипотенузой с. Учащиеся   2 Достроим прямоугольный треугольник    до квадрата со стороной (а+b), как  показано на слайде.  3 Из каких многоугольников состоит этот Из 4­ех прямоугольных треугольников и  квадрат? 4 Что вы можете сказать о  треугольниках? четырехугольника Они равны по двум катетам 5 Сравните остальные элементы этих  Из равенства треугольников следует, что  треугольников. 6 Определите вид четырехугольника со  сторонами с. их соответствующие стороны и углы.  Равные стороны отметим буквой с.  Равные углы: 1, 3, 5 и 7; 2, 4, 6 и 8. Это либо квадрат, либо ромб. 7 Чему равны углы четырехугольника со  Каждый из углов четырехугольника равен стороной с. разности 180 градусов и, например,  суммы углов 2 и 3. Так как сумма углов 2 и 3 равна 90 градусов, то и каждый из  углов четырехугольника равен 90  градусов. 8 Вид четырехугольника со сторонами с. Четырехугольник, у которого стороны  9 Чему равна площадь квадрата со  стороной а+b  равны и углы прямые является  квадратом.  S=(а+b)2 10 1 0 С другой стороны площадь этого квадрата равна сумме площадей  многоугольников из которых он состоит, то есть:  S = 4*1/2ab +c2 =2ab+c2 (а+b)2 = 2ab+c2 c2 = a2 + b2  ч.т.д Современная формулировка теоремы Пифагора «В прямоугольном треугольнике квадрат       гипотенузы равен  сумме квадратов катетов». Во времена Пифагора формулировка теоремы звучала так: «Квадрат,   построенный   на   гипотенузе   прямоугольного   треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах. Просматриваем видео ролик про «Пифагоровы штаны» ­ Откройте учебник на стр.130 ­ прочитайте теорему Пифагора; ­ обратите внимание на её доказательство; ­ сравните с нашим доказательством; VII. Закрепление материала –Давайте вспомним задачу, которую мы не смогли решить в начале урока, ведь  теперь мы знаем, какая зависимость связывает стороны прямоугольного  треугольника. ­ Есть желающие попробовать свои силы? ­ Ребята, давайте ещё раз обратим внимание на нашу задачу.  ­ Какие стороны треугольника были известны7 ­ Какую сторону необходимо было найти? ­ Какую использовали теорему, для её вычисления? 11 ­ Какую сторону можно ещё найти по теореме Пифагора? Как? ­  Какие типы задач решают с помощью теоремы Пифагора? Вывод: Теорема Пифагора позволяет установить следующие соотношения,  применяемые при решении задач:  с2  = а2 + b2  а2 = с2 – b2; b2 = с2 – а2.  ­ Запишите формулы в тетрадь. ­ Ребята, обратите внимание на алгоритм нахождения неизвестной стороны  прямоугольного треугольника  1. Указать прямоугольный треугольник; 2. Записать для него теорему Пифагора; 3. Выразить неизвестную сторону через две другие; 4. Подставить известные значения и вычислить неизвестную сторону. Для закрепления поработаем в группах. ­ Каждой группе предлагается решить   задачу по готовому чертежу. На  выполнение задания вам 3 минуты. Вычислите, если возможно: а) Сторону АС треугольника АВС (рис. 1); ­ 1 группа б) Сторону MN треугольника KMN(рис. 2); ­ 2 группа в) Сторону KP треугольника KPR(рис.3); ­ 3 группа ­ Ребята, время вышло. Прошу прокомментировать ваше решение. Кто выступает  от первой группы?  Вторая группа – ваш выступающий? Очередь третьей группы? 12 О т в е т ы: а)  √5;   б) 5;  в)  строну треугольника вычислить нельзя. Замечание: Следует обратить внимание учеников на то, что в задаче 1, в)  не хватает данных для решения. Неясно, какой вид имеет треугольник KPR.  В  такой ситуации теорема Пифагора, конечно, неприменима. VIII. Тест с самопроверкой (подчеркни ответ): 1. Катеты прямоугольного треугольника равны 12 см и 5 см. Найти гипотенузу  этого треугольника.   а) 49 см     б) 13 см     в) 289 2.    Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 5 см, а один из катетов 3  см. Найти второй катет.  а) 4 см       б) 2 см       в)  34 3.  В прямоугольном треугольнике стороны имеют длину 9 см, 15 см, 12 см. Как   называется сторона, имеющая длину 15 см?  а) катет б) основание  в) гипотенуза 4.   Запишите теорему Пифагора для треугольника АВС, у которого угол В прямой а) AB²=AC²+BC²    б) AC²=AB²+BC²     в) BС²=AB²+AC² 5. Найти площадь прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равны 10 см,  а катет ­ 8см.    А)  80 см2     б) 24 см2    в)48 см2      г) 40см2. ­ Время взятия крепости закончилось. ­ Обменяйтесь тестами,  проверяем друг друга. ­ Где вы испытали трудности? 1) б           2) а        3) в     4)   б      5) б 5 – «5»       4   – «4»      3 – «3» «ПИФАГОРОВА ГОЛОВОЛОМКА» Минутка релаксации ­ Пифагорова головоломка. Из семи частей нужно составить   квадрат.  13 ­ Оценив ваши умения и  способности, я принимаю вас в союз пифагорейцев. Теперь вы можете надеть свой отличительный знак. Эмблемой или опознавательным знаком моей  школы является ­ пентаграмма ­  правильный пятиугольник. Считается, что он  обладает многими мистическими  свойствами.  Это  символ  света и добра, жизни и здоровья.  На ваших  пентаграммах записаны заповеди Пифагора, все они выражают вечные  общечеловеческие ценности, которые остаются актуальными всегда, покуда жив  человек. ­Почему теорема Пифагора, актуальна в  современной жизни, где ее можно  применить»? На ваш вопрос я отвечу отрывком из произведения  немецкого писателя­ романиста Адельберта  Шамиссо о теореме Пифагора.           Суть истины вся в том, что нам она ­ навечно,           Когда хоть раз в прозрении её увидим свет,           И теорема Пифагора через столько лет           Для нас. Как для него, бесспорна, безупречна . ­Область применения теоремы достаточно обширна. Рассмотрим примеры  практического применения теоремы Пифагора в  строительстве. Например, при строительстве любого сооружения, рассчитывают расстояния,  центры тяжести, размещение опор, балок.   В астрономии.  Парижской академией наук была  установлена премия в 100 тыс.  франков тому, кто первый установит связь с обитателями  других  планет.  Было  решено передать им сигнал в виде теоремы Пифагора. Для всех очевидно, что  математический факт, выражаемый теоремой Пифагора, имеет место всюду, и  поэтому этот сигнал должны понять все.     В Германии недавно открылся кинотеатр, где показывают кино в шести  измерениях: первые три даже перечислять не стоит, а также время, запах и вкус.  14 Вы спросите: а как связаны между собой теорема Пифагора и запахи, вкусы? А все очень "просто": ведь при показе кино надо рассчитать куда и какие запахи  направлять.  Представьте: на экране показывают джунгли, и вы чувствуете запах  листьев, показывают обедающего человека, а вы чувствуете вкус еды. Отгадай кроссворд: Кроссворд 1. Какой вид треугольников применяется чаще всего при решении  задач и доказательстве многих теорем геометрии?  2. Как называется сторона,  лежащая против прямого угла в  прямоугольном треугольнике? 3. А две другие стороны,  прилежащие к прямому углу? 4. Как называлась теорема в некоторых списках «Начал» Евклида? Моя     теорема     называлась   теоремой   нимфы,  по­видимому,   из­за сходства   чертежа   с   бабочкой,   поскольку   словом   «нимфа»   греки называют бабочек. Нимфами греки называют еще и невест, а также некоторых богинь. При переводе с греческого арабский переводчик, вероятно, не обратил внимания на чертеж и перевел слово «нимфа» как «невеста», а не «бабочка». Так и появилось ласковое название знаменитой теоремы – «теорема невесты». Если   соединять   между   собой   прямоугольные   треугольники,   с построенными на катетах и гипотенузе квадратами, то получится ДЕРЕВО ПИФАГОРА. 5. В какой стране  впервые  для построения прямых углов  использовали треугольник со сторонами 3, 4 и 5 единиц? 6. На каком острове родился великий математик, наибольшую славу  которому принесла доказанная им теорема?  7. Как звали учителя Пифагора?  Именно Фалес  пробудил интерес Пифагора к математике и  астрономии. ­Молодцы. ­А мы попробуем написать синквейн.  Это вид самоанализа, который позволит нам увидеть, чего мы сегодня достигли на уроке.  15 Стихотворение  состоит  из пяти строк . Первая строка­ имя существительное, пусть это будет слово ученик .  Вторая строчка­ 2 прилагательных, которые характеризуют вас на уроке. Третья строчка­3 глагола, отражающие ваши действия. Четвертая строчка ­ крылатая фраза. Здесь вы можете  воспользоваться  заповедями на ваших  пентаграммах. Пятая строчка­ имя существительное, содержащее вывод. ­Ну, что у вас получилось? ­ Мне очень приятно было совершать путешествие вместе с вами. Вы с  достоинством прошли все испытания и поэтому я поздравляю вас с вступлением в  Союз пифагорейцев. Вручаю вам эмблему членов союза пифагорейцев.  –  пятиконечную звезду. В Пифагорейской школе пятиконечная звезда была  символом дружбы, добра, справедливости. Тайным знаком, по которому  пифагорейцы узнавали друг друга. Ребята, заканчивая путешествие, что вы можете рассказать друзьям?  Я узнал….  Я научился…  Теперь я умею ...  Мне понравилось …  Было трудно…  Мне понравилось       Выставление оценок.  ­ Я благодарю вас за работу. 16           XII    . Домашнее задание.  1)  П.55,№ 484(б­г),№488 (а) 2)  Творческое задание домой: найти материал о различных доказательствах  теоремы Пифагора. Возможна работа в группах. Оформить проект и  презентовать его.   ­ Желаю успеха!        ­ Спасибо за урок!! 17 