В помощь учителю математики при организации работы с одаренными детьми "Решение занимательных зхадач для учащихся 5-6 классов"

Задание 1
На каждом километре дороги между Хорошово и Любимово стоит столб с табличкой, на одной стороне которой написано, сколько километром до Хорошово, а на другой – сколько до Любимово. Боря заметил, что на каждом столбе сумма цифр равна 13. Каково расстояние от Хорошово до Любимово?
Решение.
Пусть расстояние между Хорошово и Любимово n км.
Так как сумма цифр на каждом столбе 13, то n не может быть однозначным числом, значит n - двузначное число
Тогда найдётся столб с табличкой на одной стороне n и 0 с другой стороны.
Пусть наибольшее количество десятков 9, тогда единиц должно быть 13-9=4, т.е. получили вариант:
0 9+4+0=13
. . .
89 5 8+9+5=22 – не удовлетворяет условию
Значит наибольшее возможное количество единиц-9, но тогда десятков- 13-9=4, т.е. расстояние между Хорошово и Любимово 49 км
Проверим, что это число удовлетворяет условию.
0 4+9+0=13
. . .
10 3+9+1+0=13
. . .
20 2+9+2+0=13
. . .
30 1+9+3+0=13
. . .
40 9+4+0=13
. . .
Все условия выполняются, значит расстояние между Хорошово и Любимово – 49 км.
Ответ: 49 км.

Задание 2.
Можно ли 27 телефонов соединить проводами так, чтобы было 6 телефонов, каждый из которых бы был соединен с тремя, 7 телефонов, каждый из которых был бы соединён с пятью и 14 телефонов, каждый из которых соединен с 6?
Решение.
Телефоны – вершины
Провода – ребра
6 вершин – степень каждой вершины 3
7 вершин – степень каждой вершины 5
14 вершин – степень каждой вершины 6
Так как количество ребер в любом графе равно полусумме степеней его вершин, то количество ребер

не удовлетворяет условию.
Значит соединить указанным способом 27 телефонов невозможно.

Задание 3
Известно, что доля брюнетов среди кареглазых больше, чем доля брюнетов среди всех людей. Что больше – доля кареглазых среди брюнетов или доля кареглазых среди всех людей?

Решение.
Известно, что всех людей больше, чем брюнетов.
В>Б
<

Умножив на количество кареглазых получаем, что доля кареглазых среди брюнетов больше, чем доля кареглазых среди всех людей

Решение.
Пусть в классе х учеников.
Так как хотя бы один ученик занимается в секции гимнастики, значит меньше всего учеников будет в классе, если в секции гимнастики занимается только 1 ученик.
В классе гимнастикой занимается до 3,1% от общего числа учеников, значит

всего в классе > 1 : 0,031 т.е. больше учеников.

Наименьшее натуральное число удовлетворяющее этому неравенству 33


Проверим, это число удовлетворяет второму условию:
В классе гимнастикой занимаются от 2,9% от общего числа учеников значит

всего в классе ≤ 1 : 0,029 т. е. не больше учеников

Видим что в классе должно быть не более 34 учеников
33<34
Значит наименьшее количество учеников 33

Задание 4
Процент учеников 9 класса, занимающихся в секции гимнастики, заключен в пределах от 2,9% до 3,1%. Определите наименьшее возможное число учеников в этом классе.