Вариант ЕГЭ по математике профильного уровня

ЕГЭ математика (профильный уровень)  Вариант 1 Куулар Э.В.

1.     Впишите правильный ответ.

Стороны параллелограмма равны 18 и 20. Высота, опущенная на меньшую из этих сторон, равна 10. Найдите длину высоты, опущенной на большую сторону параллелограмма.

Ответ: ___________________

2.     Впишите правильный ответ.

Длины векторов и равны 3 и 7, а угол между ними равен 60°. Найдите скалярное произведение  ⋅. 

Ответ: ___________________

3.     Впишите правильный ответ.

Дано два цилиндра. Объём первого цилиндра равен 18. У второго цилиндра высота в 3 раза меньше, а радиус основания в 2 раза больше, чем у первого. Найдите объём второго цилиндра.  

Ответ: ___________________

4.     Впишите правильный ответ.

В группе туристов 300 человек. Их вертолётом доставляют в труднодоступный район, перевозя по 15 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист В. полетит первым рейсом вертолёта.

Ответ: ___________________

5.     Впишите правильный ответ.

В коробке 5 синих, 9 красных и 11 зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Найдите вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастеры.

Ответ: ___________________

6.     Впишите правильный ответ.

Найдите корень уравнения 

Ответ: ___________________

7.     Впишите правильный ответ.

Найдите значение выражения  3cos2α, если sinα=0,2.

Ответ: ___________________

8.     Впишите правильный ответ.

На рисунке изображён график функции y=f(x). На оси абсцисс отмечено восемь точек: . В ответе укажите количество точек (из отмеченных), в которых производная функции f(x) положительна.

Ответ: ___________________

9.     Впишите правильный ответ.

При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон , где давление в газе в паскалях, V – объем газа (в ), . Найдите, какой объем V (в ) будет занимать газ при давлении р, равном .

Ответ: ___________________

10.  Впишите правильный ответ.

Один мастер может выполнить заказ за 40 часов, а другой — за 24 часа. За сколько часов выполнят этот заказ оба мастера, работая вместе?

Ответ: ___________________

11.  Впишите правильный ответ.

На рисунке изображён график функции вида  Найдите значение

 f (-2).

Ответ: ___________________

12.  Впишите правильный ответ.

Найдите точку максимума функции

Ответ: ___________________

13.  Дайте развернутый ответ.

а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

14.  Дайте развернутый ответ.

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания АВ равна 2, а боковое ребро SA равно 8. Точка М – середина ребра АВ. Плоскость α перпендикулярна плоскости АВС и содержит точки М и D. Прямая SC пересекает плоскость α в точке К.

а) Докажите, что КМ = КD.

б) Найдите объем пирамиды CDKM.

15.  Дайте развернутый ответ.

Решите неравенство:

.

16.  Дайте развернутый ответ.

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 7 млн рублей на срок
10 лет. Условия возврата таковы:

- каждый январь долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга так, чтобы на начало июля каждого года долг уменьшался на одну и ту же сумму по сравнению с предыдущим июлем.

Найдите наименьшую возможную ставку r, если известно, что последний платёж будет не менее 0,819 млн рублей.

17.  Дайте развернутый ответ.

На стороне ВС параллелограмма АВСD выбрана точка М такая, что АМ = МС.

а) Докажите, что центр вписанной в треугольник AMD окружности лежит на диагонали АС.

б) Найдите радиус вписанной в треугольник АМD окружности, если АВ = 5, ВС = 10, .

18.  Дайте развернутый ответ.

Найдите все параметры , при каждом из которых уравнение

 ровно 3 решения.

19.  Дайте развернутый ответ.

Из пары натуральных чисел (а, b), где a > b, за один ход получают пару

(а+b; a-b).

а) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары (100;1) пару, большее число в которой равно 400?

б) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары (100;1) пару (806;788)?

в) Какое наименьшее, а может быть в паре (а; b), из которой за несколько ходов можно получить пару (806;788)?