Векторлар. Векторларға амалдар қолдану. Векторлардың скаляр көбейтіндісі.

Сабақтың тақырыбы: Векторлар. Векторларға  амалдар қолдану. Векторлардың скаляр көбейтіндісі.

Тема урока: Векторы. Действия над векторами. Скалярное произведение векторов.

Сабақтың түрі: құрастырылған

Сабақ мақсаты:                 

Білімділік: Жазықтықтағы вектордың қосындысы мен айырымы, оларды санға көбейту, үшбұрыш және параллелограмм ережелерін, бірлік вектор ұғымдарын беру. Векторлық скалярлық көбейтіндісінің анықтамасы,  теңдігін, векторлардың скалярлық көбейтіндісінің геометриялық мағынасын, векторлардың перпендикулярлық белгісін білу; координаторлары берілген векторлардың скалярлық көбейтіндісін, векторлар арасындағы бұрыштың шамасын таба алу

Дамытушылық: Студентердың ойлау , есте сақтау қабілеттерін дамыту, негізгі формулаларды қолдана отырып, есеп шығару дағдыларын қалыптастыру, ауызша есептеуге дағдыландыру, математикалық терминдерді дұрыс қолданып, айтуды меңгерту.

Тәрбиелік: Студентердың математикалық қызығушылықтарын арттыруға, сабақ барысында нақтылыққа, іздемпаздыққа тәрбиелеу.

Көрнекілігі : Интерактивті тақта.

Сабақтың барысы.

I.                   Ұйымдастыру бөлімі

1.      Студентермен сәлемдесу.

2.      Сабақта жоқ студентерды белгілеу.

3.      Сабаққа дайындықты тексеру.

II.                Өткен такырыпты қайталау. Сұрақ-жауап.

1)      Координаталық жазықтықтар кеңістікті неше бөлікке бөледі?

2)      Екі нүктенің ара қашықтығының формуласын көрсет.

3)      Координаталар дегеніміз не?

4)      Бағытталған кесінді дегеніміз не?

5)      Векторының координаталары дегеніміз не?

Повторение пройденного материала. Вопрос-ответ.

1) На сколько частей координатные плоскости делят пространство?

2) Формула расстояния между двумя точками.

3) Что такое координаты?

4) Что такое направленный отрезок?

5) Что такое координаты вектора?

III.             Жаңа сабақты түсіндіру    

Кеңістіктегі векторларға амалдар қолдану жазықтықтағы векторларға амалдар қолдануға ұқсас.

Анықтама:   және    векторларының қосындысы деп    координаталары болатын     векторын айтады.

Әрбір ,  ,     векторлары үшін мына теңдіктер орындалады:

1)    – қосудың ауыстырылымдық заңы;

2)    – қосудың терімділік заңы.

   Анықтама: Қосындылары нөл векторды беретін екі векторды қарама-қарсы

векторлар деп атайды.

Екі вектордың қосындысын кеңістікте геометриялық жолмен, яғни үшбұрыш ережесімен анықтауға болады:

 . Параллелограмм ережесін де қолдануға болады.

Анықтама:  мен  векторының айырымы деп -мен қосылып  векторын беретін үшінші бір    векторын айтады

Егер    және   болса, онда . 

Анықтама:   векторының  санына көбейтіндісі деп    векторын айтады.

Анықтамадан мына қасиеттер шығады:

1)    ;

2)    .

Анықтама: Бір жазықтықта жатпайтын немесе бір жазықтыққа паралллель емес

үш вектор компланар емес векторлар деп аталады. 

Анықтама.  векторларының скалярлық  көбейтіндісі деп осы векторлардың ұзындықтарын олардың арасындағы бұрыштың косинусына көбейткендегі көбейтіндіні айтады. Екі вектордың скалярлық көбейтіндісінің белгіленуі: .

Яғни, ,  ( 1)  мұндағы  ). 2 сурет

                                                           (2)

         О                      А

Қасиеттері:

.   (орын ауыстырымдылық)

+  (үлестірімділік заңы)

)() (көбейтіндінің үлестірімділік қасиеті)

0,  онда

  онда 0

Дәлелдеуі: онда , яғни

ә)  Егер , (, бұдан ;  

  координаталық вектор. 

                                                  .

                                               . 

Теорема: Екі вектордың скалярлық  көбейтіндісі  олардың сәйкес координаторларының көбейтіндісінің қосындысына тең.

Дәлелдеуі. ), ), 

*(***+

  (3)

Дербес жағдай:   

                               ;              -  векторының скалярлық квадраты.            

            (4)

Изучение нового материала.

Вектор — это направленный отрезок. Его длиной считают длину отрезка. Если даны две точки M₁ (x₁, y₁, z₁) и M₂ (x₂, y₂, z₂), то векторРасстояние между двумя точками — это длина отрезка М₁М₂ или длина вектора n:Если даны два вектора  и , то:

1. Длины векторов:
2. Сумма векторов:Суммой двух векторов a и b является диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах, исходящая из общей точки их приложения (правило параллелограмма); или вектор, соединяющий начало первого вектора с концом последнего — по правилу треугольника.Суммой трех векторов a, b, c называется диагональ параллелепипеда, построенного на этих векторах(правило параллелепипеда).
3. Разность векторов:
4. Умножение вектора на число (скаляр):Векторы t и b называются коллинеарными, т.е. лежат на параллельных прямых или на одной прямой. Пропорциональные координаты — условие коллинеарности векторов.
5. Скалярное произведение векторов:Если скалярное произведение равно нулю, то векторы перпендикулярны.
6. Угол между векторами a и b, точнее его косинус:

7.             Введение системы координат. Как лучше ввести систему координат для самых часто встречающихся в задаче C2 многогранников, рассмотрим на примерах. Координаты вершин куба

1. Начало координат — в точке A;
2. Сторона куба — единичный отрезок.
3. Ось ОХ направляем по ребру AB, ОY — по         ребру AD, а ось OZ — по ребру AA₁.               
4. Для нижней плоскости куба:

5. Для верхней плоскости куба:

8. Вычисление направляющих векторов прямых. Направляющим вектором прямой называется вектор параллельный данной прямой.  Прямая задается парой точек. Если ввести систему координат и рассмотреть вектор с началом и концом в этих точках, получим, так называемый, направляющий вектор прямой: Угол между двумя прямыми — это угол между их направляющими векторами.
9.  

IV.              Жаңа сабақты бекіту:

Енді есептер шығарайық:

Решение примеров:

№ 1 есеп. Бер:                                         

                  Т\к         

№ 2 есеп. Бер:        

№3 Үшбұрыштың А(1;1), В(4;1), С(4;5) төбелері берілген, үшбұрыш бұрыштарының косинусын есептеңдер.

Шешуі: 1.

                  5                    С

                       А         В  

                   0     1           4

2.

 ;  

Жауабы: 0; .

V.                 Рефлексия.

     Сабақты бекіту үшін мына сұрақтарға жауап берейік:

1.         Векторының координаталары дегеніміз не?

2.         Коллинеар векторлар дегеніміз не?

3.         Комплонар векторлар дегенімізне?

4.         Комплонар емес векторлар дегеніміз не?

5.         Кеңістіктегі екі вектордың қосындысы дегеніміз не?

6.         Вектордың қосындысының негізгі қасиеттері;

7.         Қосындысы нольдік векторды беретін вектор қалай аталады?

8.         Вектордың  k санына көбейтіндісі дегеніміз не?

VI.              Бағалау.

VII. Үйге тапсырма. Найдите скалярное произведение векторов:  и

Скачано с www.znanio.ru