Викторина" Эти удивительные многогранники"

Пчелы строят свои соты в виде сложного многогранника, представляющего собой шестиугольную призму со скошенным основанием. Боковая поверхность многогранника представляет собой шесть равных пятиугольников, а «донышко» состоит из трех равных ромбов. Такая форма позволяет пчелам полностью замостить сотами все пространство, а так же сэкономить воск и время на постройку сот.

Комментарий: Пчелы строят свои соты в виде сложного многогранника, представляющего собой шестиугольную призму со скошенным основанием. Боковая поверхность многогранника представляет собой шесть равных пятиугольников, а «донышко» состоит из трех равных ромбов. Такая форма позволяет пчелам полностью замостить сотами все пространство, а так же сэкономить воск и время на постройку сот.

Следующий вопрос

Комментарий: Геометрия всегда была основой архитектуры, наделяя ее, согласно классической триаде Витрувия, «пользой, прочностью и красотой». Двускатные крыши домов имеют форму треугольной призмы, лежащей на одной из своих боковых граней.

Следующий вопрос

Египетские пирамиды издавна вызывали интерес своими колоссальными размерами и загадочным предназначением. Впервые научный мир серьезно заинтересовался египетскими пирамидами во времена Наполеона, который вместе с многотысячной армией привез в Египет большую группу ученых. В 1837 г. английский исследователь полковник Говард Вайз произвел тщательные измерения великой пирамиды Хеопса. В частности, он определил угол между каждой из боковых граней и плоскостью основания. Угол этот, согласно измерениям Вайза, составляет 51°51’.

Комментарий: Египетские пирамиды издавна вызывали интерес своими колоссальными размерами и загадочным предназначением. Впервые научный мир серьезно заинтересовался египетскими пирамидами во времена Наполеона, который вместе с многотысячной армией привез в Египет большую группу ученых. В 1837 г. английский исследователь полковник Говард Вайз произвел тщательные измерения великой пирамиды Хеопса. В частности, он определил угол между каждой из боковых граней и плоскостью основания. Угол этот, согласно измерениям Вайза, составляет 51°51’. Измерения Вайза были повторены много раз. Однако расхождения в результатах измерений не превысили минуты. Примечательно, что при такой величине угла длина периметра основания пирамиды, деленная на ее удвоенную высоту, составила 3,14159, то есть число , выражающее отношение длины окружности к ее диаметру.

Следующий вопрос

Комментарий: На разных этапах истории математики многогранникам давались разные определения, и в результате родилось саркастическое замечание: «если у многогранников и есть что-то общее, то это название». Что общего у куба, пирамиды, ромбододекаэдра, усеченного октаэдра и, например, звезды Давида? Кроме того, что все эти фигуры – многогранники, их характеристики заметно отличаются. Но есть одно удивительное соотношение, открытое великим Эйлером, которое выполняется для всех выпуклых многогранников: Грани + Вершины = Ребра + 2.

Следующий вопрос

Земля сопоставлялась кубу, воздух — октаэдру, вода — икосаэдру, а огонь — тетраэдру. Для возникновения данных ассоциаций были следующие причины: жар огня ощущается чётко и остро (как маленькие тетраэдры); воздух состоит из октаэдров: его мельчайшие компоненты настолько гладкие, что их с трудом можно почувствовать; вода выливается, если её взять в руку, как будто она сделана из множества маленьких шариков (к которым ближе всего икосаэдры); в противоположность воде, совершенно непохожие на шар кубики составляют землю, что служит причиной тому, что земля рассыпается в руках, в противоположность плавному току воды. По поводу пятого элемента, додекаэдра, Платон сделал смутное замечание: «…его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца».

Комментарий: Первая теория о пяти правильных многогранниках принадлежит великому греческому математику Теэтету Афинскому (415 г. до н.э. – 369 г. до н.э.). Его основные открытия касались иррациональных чисел и были изложены в «Началах Евклида, в разделе, посвященном пяти правильным многогранникам. Однако, правильные многогранники обрели популярность благодаря Платону, который создал в своей Академии подлинный культ геометрии и рассказал о многогранниках в своем диалоге «Тимей». Поэтому неудивительно, что название «платоновы тела» прочно закрепилось в науке.

Следующий вопрос

Земля сопоставлялась кубу, воздух — октаэдру, вода — икосаэдру, а огонь — тетраэдру. Для возникновения данных ассоциаций были следующие причины: жар огня ощущается чётко и остро (как маленькие тетраэдры); воздух состоит из октаэдров: его мельчайшие компоненты настолько гладкие, что их с трудом можно почувствовать; вода выливается, если её взять в руку, как будто она сделана из множества маленьких шариков (к которым ближе всего икосаэдры); в противоположность воде, совершенно непохожие на шар кубики составляют землю, что служит причиной тому, что земля рассыпается в руках, в противоположность плавному току воды. По поводу пятого элемента, додекаэдра, Платон сделал смутное замечание: «…его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца».

Комментарий: Земля сопоставлялась кубу, воздух — октаэдру, вода — икосаэдру, а огонь — тетраэдру. Для возникновения данных ассоциаций были следующие причины: жар огня ощущается чётко и остро (как маленькие тетраэдры); воздух состоит из октаэдров: его мельчайшие компоненты настолько гладкие, что их с трудом можно почувствовать; вода выливается, если её взять в руку, как будто она сделана из множества маленьких шариков (к которым ближе всего икосаэдры); в противоположность воде, совершенно непохожие на шар кубики составляют землю, что служит причиной тому, что земля рассыпается в руках, в противоположность плавному току воды. По поводу пятого элемента, додекаэдра, Платон сделал смутное замечание: «…его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца».

Следующий вопрос

Комментарий: Додекаэдр можно получить совмещением двенадцати правильных пятиугольников. Почему не существует другого правильного многогранника из пятиугольников? С одной стороны, в каждой вершине многогранника может сходиться не менее трех граней, а с другой - сумма плоских углов при вершине должна быть менее 360 градусов. Поэтому правильный многогранник, состоящий из пятиугольников, только один.

Следующий вопрос

Комментарий: Октаэдр можно представить как две правильные четырехугольные пирамиды, соединенные основаниями (т.е. как бипирамиду), либо как два треугольника, расположенных параллельно (повернутых на пол-оборота), между которыми вставлены треугольные грани (т.е. как антипризму).

Следующий вопрос

Комментарий: Многогранники встречаются в природе не очень часто, но тем не менее они существуют. Геометрические фигуры, которые встречаются при изучении ботаники, зоологии и геологии, всегда вызывают большой интерес, в том числе из-за своей сложной формы, но не меньший интерес вызывают и простые формы, обладающие определенной симметрией. Эрнст Геккель, сопровождавший Чарльза Дарвина в его путешествиях, описал радиолярии – одноклеточные существа, по форме напоминающие правильные и звездчатые многогранники. Белковые структуры большинства вирусов имеют форму многогранников, например, структура ВИЧ представляет собой правильный икосаэдр.

Следующий вопрос

Комментарий: Куб имеет: центр симметрии – точку пересечения его диагоналей; 9 осей симметрии (ось может пролегать или сквозь середины параллельных ребер, не принадлежащих одной грани, или сквозь точки пересечения диагоналей противолежащих граней); 9 плоскостей симметрии (они пролегают или через противолежащие ребра (таких плоскостей 6), или через середины противолежащих ребер (таких плоскостей 3)).

Следующий вопрос

Комментарий: Архимед обобщил понятие правильного многогранника и открыл новые математические объекты – полуправильные многогранники. Так он назвал многогранники, у которых все грани – правильные многоугольники более как одного вида, и в котором равны многогранные углы и одноименные многоугольники. Только в наше время удалось доказать, что тринадцатью открытыми Архимедом полуправильными многогранниками исчерпывается все множество этих геометрических фигур.

Следующий вопрос

Комментарий: Многогранник получается при последовательном срезании каждой из вершин икосаэдра. Усечённый икосаэдр - полуправильный выпуклый многогранник, все грани которого являются правильными многоугольниками двух типов – 20 шестиугольников и 12 пятиугольников. Главной особенностью этого многогранника является то, что его форма послужила основой для  изготовления футбольного мяча. Это становится очевидным, после того как применить черно-белый вариант окраски граней.

Следующий вопрос

Комментарий: Леонардо да Винчи (1452 – 1519) первым изобразил многогранники с прозрачными гранями так, что зрителю были видны их ребра, расположенные сзади. Леонардо так же изображал группы многогранников, а в своих знаменитых блокнотах оставил прекрасные рисунки, иллюстрирующие свойства этих фигур.

Следующий вопрос

Этот гениальный художник эпохи Возрождения первым изобразил многогранники с прозрачными гранями так,
что зрителю были видны их ребра, расположенные сзади:

Пьеро делла Франческа

Комментарий: В трактате «О перспективе в живописи» великого математика и художника Возрождения Пьеро делла Франчески (ок. 1410 – 1492) были приведены изображения некоторых тороидальных многогранников (похожих на тор) и многогранных куполов. Увлечение математикой позволило ему открыть новые взаимосвязи между многогранниками, в особенности вписанными и описанными. Неопубликованные рукописи Пьеро делла Франчески послужили источником вдохновения для Луки Пачоли при написании им книги «О божественной пропорции».

Следующий вопрос

Комментарий: Математические темы чрезвычайно популярны в филателии. Поэтому неудивительно, что на почтовых марках, выпущенных к событиям, связанным с математикой, часто изображают многогранники. Примером служит марка Монако, посвященная Международному году математики (2000). На ней представлен коллаж, на котором шахматы, пропорции, числа, многоугольники и додекаэдр да Винчи символизируют всю математику.

Следующий вопрос

Иоганн Кеплер (1571—1630) в своей работе «Тайна мироздания» в 1596 году, используя правильные многогранники, вывел принцип, которому подчиняются формы и размеры орбит планет Солнечной системы.

Комментарий: Иоганн Кеплер (1571—1630) в своей работе «Тайна мироздания» в 1596 году, используя правильные многогранники, вывел принцип, которому подчиняются формы и размеры орбит планет Солнечной системы. От внутренних планет к внешним период обращения планет возрастал пропорционально удвоенной разницы радиусов сфер. Такая модель Солнечной системы получила название «Космического кубка» Кеплера. Позже от оригинальной идеи Кеплера пришлось отказаться, но результатом его поисков стало открытие двух законов орбитальной динамики — законов Кеплера, — изменивших курс физики и астрономии, а также правильных звёздчатых многогранников (тел Кеплера-Пуансо).

Следующий вопрос

Соединив центры граней тетраэдра, мы получим правильный тетраэдр, соединив центры граней куба – октаэдр, а центры граней октаэдра – куб. Двойственны друг другу также икосаэдр и додекаэдр.

Комментарий: Соединив центры граней тетраэдра, мы получим правильный тетраэдр, соединив центры граней куба – октаэдр, а центры граней октаэдра – куб. Двойственны друг другу также икосаэдр и додекаэдр.

Следующий вопрос

Красивые формы имеют так называемые звездчатые многогранники, то есть правильные невыпуклые многогранники. Они получаются из правильных многогранников продолжением их граней или ребер. Их всего четыре. Первые два были открыты И. Кеплером, а два других почти 200 лет спустя построил Л. Пуансо (1777—1859).

Комментарий: Красивые формы имеют так называемые звездчатые многогранники, то есть правильные невыпуклые многогранники. Они получаются из правильных многогранников продолжением их граней или ребер. Их всего четыре. Первые два были открыты И. Кеплером, а два других почти 200 лет спустя построил Л. Пуансо (1777—1859). В 1811 году французский математик О. Коши (1789-1857) в работе «Исследование о многогранниках» доказал, что других правильных звездчатых многогранников не существует. 

Следующий вопрос

Комментарий: Если построить плоские развертки на бумаге, а затем вырезать и склеить их, то можно получить прекрасные трехмерные модели многогранников. Для данного многогранника нетрудно найти одну из его плоских разверток. Однако обратная задача намного сложнее – представить, какой многогранник получится из заданной развертки не всегда просто.

Следующий вопрос

Комментарий

Конец викторины

Комментарий: Выдающийся американский интеллектуал, дизайнер, инженер и архитектор Ричард Фуллер совершил множество различных изобретений и стал автором книг в защиту окружающей среды. Его главным творением являются геодезические купола. Основной идеей был отказ от кирпича и бетона, требовавших возведения опор, и использование прочностных свойств многогранников. Химические соединения, имеющие структуру, напоминающую геодезические купола, в его честь были названы фуллеренами. Фуллерен – это группа специфических молекул, состоящих из атомов углерода, которые образуют каркас из 12 пятиугольников и нескольких шестиугольников.

Комментарий: Пчелы строят свои соты в виде сложного многогранника, представляющего собой шестиугольную призму со скошенным основанием. Боковая поверхность многогранника представляет собой шесть равных пятиугольников, а «донышко» состоит из трех равных ромбов. Такая форма позволяет пчелам полностью замостить сотами все пространство, а так же сэкономить воск и время на постройку сот.

Следующий вопрос

Комментарий: Геометрия всегда была основой архитектуры, наделяя ее, согласно классической триаде Витрувия, «пользой, прочностью и красотой». Двускатные крыши домов имеют форму треугольной призмы, лежащей на одной из своих боковых граней.

Следующий вопрос

Комментарий: Египетские пирамиды издавна вызывали интерес своими колоссальными размерами и загадочным предназначением. Впервые научный мир серьезно заинтересовался египетскими пирамидами во времена Наполеона, который вместе с многотысячной армией привез в Египет большую группу ученых. В 1837 г. английский исследователь полковник Говард Вайз произвел тщательные измерения великой пирамиды Хеопса. В частности, он определил угол между каждой из боковых граней и плоскостью основания. Угол этот, согласно измерениям Вайза, составляет 51°51’. Измерения Вайза были повторены много раз. Однако расхождения в результатах измерений не превысили минуты. Примечательно, что при такой величине угла длина периметра основания пирамиды, деленная на ее удвоенную высоту, составила 3,14159, то есть число , выражающее отношение длины окружности к ее диаметру.

Следующий вопрос

Комментарий: На разных этапах истории математики многогранникам давались разные определения, и в результате родилось саркастическое замечание: «если у многогранников и есть что-то общее, то это название». Что общего у куба, пирамиды, ромбододекаэдра, усеченного октаэдра и, например, звезды Давида? Кроме того, что все эти фигуры – многогранники, их характеристики заметно отличаются. Но есть одно удивительное соотношение, открытое великим Эйлером, которое выполняется для всех выпуклых многогранников: Грани + Вершины = Ребра + 2.

Следующий вопрос

Комментарий: Первая теория о пяти правильных многогранниках принадлежит великому греческому математику Теэтету Афинскому (415 г. до н.э. – 369 г. до н.э.). Его основные открытия касались иррациональных чисел и были изложены в «Началах Евклида, в разделе, посвященном пяти правильным многогранникам. Однако, правильные многогранники обрели популярность благодаря Платону, который создал в своей Академии подлинный культ геометрии и рассказал о многогранниках в своем диалоге «Тимей». Поэтому неудивительно, что название «платоновы тела» прочно закрепилось в науке.

Следующий вопрос

Комментарий: Земля сопоставлялась кубу, воздух — октаэдру, вода — икосаэдру, а огонь — тетраэдру. Для возникновения данных ассоциаций были следующие причины: жар огня ощущается чётко и остро (как маленькие тетраэдры); воздух состоит из октаэдров: его мельчайшие компоненты настолько гладкие, что их с трудом можно почувствовать; вода выливается, если её взять в руку, как будто она сделана из множества маленьких шариков (к которым ближе всего икосаэдры); в противоположность воде, совершенно непохожие на шар кубики составляют землю, что служит причиной тому, что земля рассыпается в руках, в противоположность плавному току воды. По поводу пятого элемента, додекаэдра, Платон сделал смутное замечание: «…его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца».

Следующий вопрос

Комментарий: Додекаэдр можно получить совмещением двенадцати правильных пятиугольников. Почему не существует другого правильного многогранника из пятиугольников? С одной стороны, в каждой вершине многогранника может сходиться не менее трех граней, а с другой - сумма плоских углов при вершине должна быть менее 360 градусов. Поэтому правильный многогранник, состоящий из пятиугольников, только один.

Следующий вопрос

Комментарий: Октаэдр можно представить как две правильные четырехугольные пирамиды, соединенные основаниями (т.е. как бипирамиду), либо как два треугольника, расположенных параллельно (повернутых на пол-оборота), между которыми вставлены треугольные грани (т.е. как антипризму).

Следующий вопрос

Комментарий: Многогранники встречаются в природе не очень часто, но тем не менее они существуют. Геометрические фигуры, которые встречаются при изучении ботаники, зоологии и геологии, всегда вызывают большой интерес, в том числе из-за своей сложной формы, но не меньший интерес вызывают и простые формы, обладающие определенной симметрией. Эрнст Геккель, сопровождавший Чарльза Дарвина в его путешествиях, описал радиолярии – одноклеточные существа, по форме напоминающие правильные и звездчатые многогранники. Белковые структуры большинства вирусов имеют форму многогранников, например, структура ВИЧ представляет собой правильный икосаэдр.

Следующий вопрос

Комментарий: Куб имеет: центр симметрии – точку пересечения его диагоналей; 9 осей симметрии (ось может пролегать или сквозь середины параллельных ребер, не принадлежащих одной грани, или сквозь точки пересечения диагоналей противолежащих граней); 9 плоскостей симметрии (они пролегают или через противолежащие ребра (таких плоскостей 6), или через середины противолежащих ребер (таких плоскостей 3)).

Следующий вопрос

Комментарий: Архимед обобщил понятие правильного многогранника и открыл новые математические объекты – полуправильные многогранники. Так он назвал многогранники, у которых все грани – правильные многоугольники более как одного вида, и в котором равны многогранные углы и одноименные многоугольники. Только в наше время удалось доказать, что тринадцатью открытыми Архимедом полуправильными многогранниками исчерпывается все множество этих геометрических фигур.

Следующий вопрос

Комментарий: Многогранник получается при последовательном срезании каждой из вершин икосаэдра. Усечённый икосаэдр - полуправильный выпуклый многогранник, все грани которого являются правильными многоугольниками двух типов – 20 шестиугольников и 12 пятиугольников. Главной особенностью этого многогранника является то, что его форма послужила основой для  изготовления футбольного мяча. Это становится очевидным, после того как применить черно-белый вариант окраски граней.

Следующий вопрос

Комментарий: В трактате «О перспективе в живописи» великого математика и художника Возрождения Пьеро делла Франчески (ок. 1410 – 1492) были приведены изображения некоторых тороидальных многогранников (похожих на тор) и многогранных куполов. Увлечение математикой позволило ему открыть новые взаимосвязи между многогранниками, в особенности вписанными и описанными. Неопубликованные рукописи Пьеро делла Франчески послужили источником вдохновения для Луки Пачоли при написании им книги «О божественной пропорции».

Следующий вопрос

Комментарий: Леонардо да Винчи (1452 – 1519) первым изобразил многогранники с прозрачными гранями так, что зрителю были видны их ребра, расположенные сзади. Леонардо так же изображал группы многогранников, а в своих знаменитых блокнотах оставил прекрасные рисунки, иллюстрирующие свойства этих фигур.

Следующий вопрос

Комментарий: Математические темы чрезвычайно популярны в филателии. Поэтому неудивительно, что на почтовых марках, выпущенных к событиям, связанным с математикой, часто изображают многогранники. Примером служит марка Монако, посвященная Международному году математики (2000). На ней представлен коллаж, на котором шахматы, пропорции, числа, многоугольники и додекаэдр да Винчи символизируют всю математику.

Следующий вопрос

Комментарий: Иоганн Кеплер (1571—1630) в своей работе «Тайна мироздания» в 1596 году, используя правильные многогранники, вывел принцип, которому подчиняются формы и размеры орбит планет Солнечной системы. От внутренних планет к внешним период обращения планет возрастал пропорционально удвоенной разницы радиусов сфер. Такая модель Солнечной системы получила название «Космического кубка» Кеплера. Позже от оригинальной идеи Кеплера пришлось отказаться, но результатом его поисков стало открытие двух законов орбитальной динамики — законов Кеплера, — изменивших курс физики и астрономии, а также правильных звёздчатых многогранников (тел Кеплера-Пуансо).

Следующий вопрос

Комментарий: Соединив центры граней тетраэдра, мы получим правильный тетраэдр, соединив центры граней куба – октаэдр, а центры граней октаэдра – куб. Двойственны друг другу также икосаэдр и додекаэдр.

Следующий вопрос

Комментарий: Красивые формы имеют так называемые звездчатые многогранники, то есть правильные невыпуклые многогранники. Они получаются из правильных многогранников продолжением их граней или ребер. Их всего четыре. Первые два были открыты И. Кеплером, а два других почти 200 лет спустя построил Л. Пуансо (1777—1859). В 1811 году французский математик О. Коши (1789-1857) в работе «Исследование о многогранниках» доказал, что других правильных звездчатых многогранников не существует. 

Следующий вопрос

Комментарий: Если построить плоские развертки на бумаге, а затем вырезать и склеить их, то можно получить прекрасные трехмерные модели многогранников. Для данного многогранника нетрудно найти одну из его плоских разверток. Однако обратная задача намного сложнее – представить, какой многогранник получится из заданной развертки не всегда просто.

Следующий вопрос

Комментарий

Конец викторины

Комментарий: Выдающийся американский интеллектуал, дизайнер, инженер и архитектор Ричард Фуллер совершил множество различных изобретений и стал автором книг в защиту окружающей среды. Его главным творением являются геодезические купола. Основной идеей был отказ от кирпича и бетона, требовавших возведения опор, и использование прочностных свойств многогранников. Химические соединения, имеющие структуру, напоминающую геодезические купола, в его честь были названы фуллеренами. Фуллерен – это группа специфических молекул, состоящих из атомов углерода, которые образуют каркас из 12 пятиугольников и нескольких шестиугольников.

Итоги викторины

Литература:
Мир математики: в 40 т. Т. 23: Клауди Альсина. Тысяча граней геометрической красоты. Многогранники. / Пер. с исп. – М.: Де Агостини, 2014. – 144 с.