Волшебная симметрия и загадочные фракталы

ГУО «Старосельская СШ Витебского района»  Волшебная симметрия и загадочные фракталы Ляхнович Анастасия,  учащаяся 5 класса  Научный руководитель:  Ляхнович М.С.,  учитель математики Витебск, 2015 Цель работы:    Приобрести навыки самостоятельной работы с большими объемами информации (из СМИ, Интернет, из энциклопедий по математике и других учебных пособий по предмету).   Рассмотреть виды и типы симметрий;  Проанализировать,   как и где используется симметрия;  Исследовать, что известно о симметрии учащимся моей школы;  Применить на практике полученные знания; Задачи:    Прочитать соответствующую литературу;   Узнать, как изучали и использовали симметрию древнейшие учёные;   Познакомиться с основными видами симметрии и использованием их в различных областях жизни и деятельности человека;    Рассмотреть   примеры   применения   симметрии   в   архитектуре, искусстве, языке и музыке. 2 План работы: 1.Введение  2.Методы исследования 3. Актуальность данной темы 4.   4.1    История понятия «симметрия»        4.2   Определение симметрии. Основные виды симметрии         4.3   Симметрия в живой природе        4.4   Симметрия в неживой природе         4.5   Симметрия в архитектуре         4.6    Симметрия в технике и  транспорте        4.7    Палиндромы  5.   Чудеса фракталов 6.  Практическая часть 7. Выводы 3 Введение Понятие симметрии проходит через всю историю человечества. Оно встречается уже у истоков человеческого знания. Возникло оно в связи с изучением   живого   организма,   а   именно   человека,   и   употреблялось скульпторами ещё в V веке до н. э. Слово   «симметрия»   греческое.   Оно   означает   «соразмерность», «пропорциональность», одинаковость в расположении частей. Его широко используют все без исключения направления современной науки. Об   этой   закономерности   задумывались   многие   великие   люди. Например, Л.Н.Толстой говорил: «Стоя перед чёрной доской и рисуя на ней мелом разные фигуры, я вдруг был поражён мыслью: почему симметрия понятна глазу? Что такое симметрия? Это врождённое чувство. На чём же оно основано?» К слову «симметрия» мы привыкаем с детства, и кажется, что в этом ясном   понятии   ничего   загадочного   быть   не   может.  Если   стать   в  центре здания и слева от вас окажется то же количество этажей, колонн, окон, что и справа, значит здание симметрично. Если бы можно было перегнуть его по центральной оси, то обе половинки дома совпали бы при наложении. Такая симметрия   получила   название   зеркальной.   Этот   вид   симметрии   весьма популярен в животном царстве, сам человек скроен по ее канонам.   В мире растений  другая симметрия — поворотная. Возьмите в руку цветок ромашки. Совмещение разных частей цветка происходит, если их повернуть вокруг стебелька. Морские звезды, ведущие растительный образ жизни, обладают поворотной симметрией, а листья — зеркальной. Как же выбирается вид симметрии? Прикованные к постоянному месту растения четко различают только верх и низ, а все остальные направления для них более или менее одинаковы. Естественно, что их внешний вид подчинен 4 поворотной симметрии. Для животных очень важно, что находится впереди и что сзади, только «лево» и «право» для них остаются равноправными. В этом   случае   господствует   зеркальная   симметрия.   Любопытно,   что животные,   меняющие   подвижную   жизнь   на   неподвижную   и   потом   вновь возвращающиеся к подвижной жизни, соответственное число раз переходят от   одного   вида   симметрии   к   другому,   как   это   случилось,   например,   с иглокожими (морскими звездами и др.).   Законам симметрии подчиняются все формы на свете. Даже «вечно свободные» облака обладают симметрией, хотя и искаженной. Замирая на голубом   небе,   они   напоминают   медленно   движущихся   в   морской   воде медуз,   явно   тяготея   к   поворотной   симметрии,   а   потом,   гонимые поднявшимся ветерком, меняют симметрию на зеркальную.   Названо было два вида симметрии. На самом деле их гораздо больше. Так   что   дать   общее   определение   симметрии   довольно   затруднительно. Пожалуй,   самым   удачным   может   считаться   остроумное   определение замечательного   немецкого   математика   Германа   Вейля,   всю   жизнь интересовавшегося   проблемами   симметрии   и   посвятившего   ей   свой последний   труд.   Согласно   Вейлю,   симметричным   называется   такой предмет, с которым можно проделать какую­то операцию, получив в итоге первоначальное   состояние.   В   случае   зеркальной   симметрии   меняются правая   и   левая   части   предмета,   а   при   поворотной   симметрии переставляются его дольки.  Итак, мы живем в довольно симметричном мире. Не удивительно, что сами   мы   симметричны   и   склонны   считать   красивым   все   симметричное. Иногда,   правда,   приятно   слегка   нарушить   идеальную   симметрию,   это придает   некоторую   живость,   но   не   слишком,   не   до   хаоса.   Весьма симметричны   животные,   довольно   симметричны   растения,   совсем симметричны кристаллы, почти идеально симметрична наша шарообразная планета, близка к симметрии ее траектория. После сказанного, может быть, покажется   не   столь   уж   фантастичным   утверждение,   что   все   законы природы определяются симметрией мира.    5 Этапы исследовательской работы:     Выбор интересующей темы исследования    Составление плана исследования и сроков получения промежуточных результатов,    Работа с разными информационными источниками;    Консультации с учителем,    Оформление работы, создание презентации  Публичное выступление с показом презентационного материала. Методы исследования: 1. Работа с учебной и научно­популярной литературой. 2. Социологический опрос. 3. Наблюдение, сравнение, анализ, аналогия. Объект исследования: «симметрия» Предмет исследования: симметрия в окружающей действительности Актуальность: Актуальность работы заключается в следующем: 1) симметрия в природе, искусстве, архитектуре и в других сферах  окружающей нас жизни означает соблюдение определённых  6 соотношений между отдельными частями и является непременным  условием гармонии и красоты; 2) присутствие симметрии в различных областях науки; 3) богатая и увлекательная история исследуемого материала; 4) знание свойств симметрии помогает расширить кругозор, показать  значение математики во всех областях окружающей нас жизни,  создавать красивые предметы и произведения искусства. Предполагаемое практическое  применение:  Возможность   применения   полученных   знаний:  при   решении предметных   задач,     в   повседневной   жизни,   при   изучении   тем   на других предметах.  Использование   результатов   исследования   в   виде   презентаций учителями – предметниками, в качестве вспомогательного материала при   проведении   интегрированных   уроков   по   различным   учебным дисциплинам. Используемая аппаратура:  Цифровой фотоаппарат, мультимедийное оборудование. 7 История понятия «симметрия» По   преданию   термин   «симметрия»   придумал   скульптор   Пифагор Регийский,   живший   в   городе   Регул.   Отклонение   от   симметрии   он   определил термином   «асимметрия».   О   нем   нам   говорили   как   о   первом   скульпторе,   в творчестве   которого   была   сделана   попытка   соблюсти   ритм   и   соразмерность. Кроме того, Пифагор прославился реалистическим изображением человеческих жил, вен и волос.  Древние греки полагали, что Вселенная симметрична просто потому, что она прекрасна. Считая сферу наиболее симметричной и совершенной формой, они делали   вывод   о   сферичности   Земли   и   её   движении   по   сфере   вокруг   некоего «центрального огня», где двигались  также 6 известных тогда планет вместе  с Луной,   Солнцем,   звёздами.  Древнегреческий   философ   и   математик   Пифагор Самосский   (VI  в.   до   н.э.)   и   пифагорейцы   предпочитали   вместо   слова «симметрия»     пользоваться   словом   «гармония».  Последователи   Пифагора Самосского   пытались   связать   симметрию   с   числом.   Каждой   вещи,   учили пифагорейцы,   соответствует   определённое   отношение   чисел,   которое   они называли   логосом.   Поэтому   познание   вещей   заключалось   для   них   познанием логоса. Гармония  является божественной и заключается в числовых отношениях. Широко используя идею гармонии и симметрии, учёные древности любили обращаться   не   только   к   сферическим   формам,   но   и   к   правильным многогранникам,   для   построения   которых   они   использовали   «золотое отношение». У правильных многогранников грани – правильные многоугольники 8 одного   вида,   а   углы   между   гранями   равны.   Древние   греки   установили поразительный   факт:   существует   всего   пять   правильных   выпуклых многогранников, названия которых связаны с числом граней, ­ тетраэдр, октаэдр, икосаэдр, куб, додекаэдр.  Все   правильные   многогранники   обладают   и   зеркальной,   и   поворотной симметрией.   А   идея   симметрии   являлась   отправным   пунктом   для   учёных прошлых   веков   в   теориях   о   строении   материи   и   Вселенной.   Правильные многогранники   изучал   и   сам   Пифагор   Самосский   (V  в.   до   н.э.),   математик, философ, религиозный авторитет, основатель одной из первых математических школ.   Но   впервые   их   подробно   описал   Платон,   поэтому   математики   стали называть   эти   фигуры   Платоновыми   телами.   Платон   сводил   гармонию   к пространственной симметрии. По Платону космос сферичен, а в центре сферы расположена Земля. И пифагорейцы, и Платон полагали, что материя состоит из четырёх основных элементов – огня, земли, воздуха и воды. Согласно их теории, атомы   этих   элементов   имели   форму   Платоновых   тел:   атомы   огня   –   форму тетраэдра, земли – форму куба, воздуха – форму октаэдра, а атомы воды – форму икосаэдра. Додекаэдр считался местожительством богов, неким эфиром. «Симметрия ­ это некая «средняя мера», – считал Аристотель. Аристотель говорил   о   симметрии,   как   о   таком   состоянии,   которое   характеризуется соотношением   крайностей.   Из   этого   высказывания   следует,   что   Аристотель, пожалуй,   был   ближе   всех   к   открытию   одной   из   самых   фундаментальных закономерностей природы ­ закономерности о ее двойственности. Проходя сквозь века   термин  «симметрия»  обрастал   различными   толкованиями.   Римский   врач Гален   (II  в.   н.   э.)   из   Пергама   под  симметрией  понимал   покой   души   и уравновешенности. Идея   симметрии   увлекла   немецкого   астронома   Иогана   Кеплера.   Кеплер пытался   построить   геометрическую   модель   мира.   Модель   Солнечной   системы Кеплера была создана 400 лет назад. В сферу Сатурна он вписал куб, а в куб вписал сферу Юпитера. В сферу Юпитера он вписал тетраэдр – сферу Марса, а в сферу   Марса   был   вписан   додекаэдр,  в   который   Кеплер   вписал   сферу   Земли. Вычислив   в   соответствии   со   своей   схемой   радиусы   планетных   сфер,   он обнаружил,   что   отношения   этих   радиусов   хорошо   согласуются   с   данными, полученными из наблюдений. Это побудило  Кеплера  думать, что ему удалось объяснить строение солнечной системы на основе единой геометрической схемы, использующей 6 планет и 5 Платоновых тел. Но Кеплер заблуждался: планет в Солнечной системе было не 6, а 9, отношения радиусов планетных сфер случайно совпали   с   отношениями   в   геометрической   схеме.   Современная   наука рассматривает Вселенную с позиций единства симметрии и асимметрии. Герман Вейль – это немецкий математик. Его деятельность приходится на первую половину ХХ века. Именно он сформулировал определение симметрии, установил   по   каким   признакам   усмотреть   наличие   или,   наоборот,   отсутствие 9 симметрии   в   том   или   ином   случае.   Таким   образом,   математически   строгое представление сформировалось сравнительно недавно – в начале ХХ века. Оно достаточно сложное.  Герман Клаус Хуго Вейль родился в городе Эльмсхорне (Германия). Автор книги   «Симметрия».   Герман   Вейль   ­   один   из   крупнейших   ученых  XX  века, оставил     глубокий   след   во   многих   разделах   математики   и   математической физики. Вейлю, в частности,  мы обязаны тем, что отдаем себе сегодня  полный отчет в  значении для математики и физики общего понятия симметрии. Герман Вейль сказал: “Симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и  создать порядок, красоту и совершенство “ Определение понятия «симметрия» А что же такое симметрия? В толковом словаре С.И. Ожегова симметрия истолковывается, как «соразмерность, одинаковость в расположении частей чего­ нибудь   по   противоположным   сторонам   от   точки,   прямой   или   плоскости».   Из этого   же   словаря   я   узнала,   что   слово   гармония   означает   «согласованность, стройность   в   сочетании   чего­нибудь».   Мы   видим,   что   симметрия   и   гармония связаны между собой. Рассмотрим,     какие   виды   симметрии   встречаются   в   школьном   курсе математики:  центральная (относительно точки) Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре. Точка О называется центром симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает центральной симметрией   (см.рис. 1). 10  осевая ( относительно прямой) Фигура называется симметричной относительно прямой а, если для каждой точки   фигуры   симметричная   ей   точка   относительно   прямой   а,   также принадлежит   этой   фигуре.   Прямая   а   называется   осью   симметрии   фигуры. Говорят также, что фигура обладает осевой симметрией (см. рис. 2).  зеркальная (относительно плоскости). Зеркальной симметрией (симметрией относительно плоскости) называется такое отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в симметричную ей относительно этой плоскости точку М1(см. Рис 3).             11 Кроме   изучаемых   в   школе,   существует   также   вращательная   симметрия, центральная   симметрия,   точечная   симметрия, поступательная   симметрия,   винтовая   симметрия,   неизометричная   симметрия, фрактальные симметрии.   скользящая   симметрия, Теперь я хочу, понаблюдав и изучив специальную литературу, посмотреть, где   найдет   свое   отображение   симметрия.   Почему   мы   находим   одни   вещи красивыми,   а   другие   нет?   Почему   смотреть   на   симметричные   изображения приятнее, нежели на асимметричные? Проявление симметрии в живой  природе Красота   в   природе   не   создаётся,   а   лишь   фиксируется,   выражается. Рассмотрим проявление симметрии на нашей планете Земля.  То, что Земля — шар, стало известно образованным людям еще   в   древности.   Земля   в   представлении   большинства начитанных   людей   до   эпохи   Коперника   была   центром мироздания. Поэтому прямые, проходящие через центр Земли, они   считали   центром   симметрии   Вселенной.   Поэтому   даже макет Земли – глобус имеет ось симметрии (см. рис. 4).  12 Далее я рассмотрела проявление симметрии в живой природе. Почти все живые   существа   построены   по   законам   симметрии,   недаром   в   переводе   с греческого слово «симметрия» означает «соразмерность».  Среди   цветов,   например,   наблюдается   поворотная   симметрия.   Многие цветы можно повернуть так, что каждый лепесток займет положение соседнего, цветок   совместится   с   самим   собой.   Минимальный   угол   такого   поворота   для различных   цветов   неодинаков.   Для   ириса   он   равен   120°   (см.   рис.   5),    для колокольчика – 72° (см. рис. 6) ,, для нарцисса – 60° (см. рис. 7 В расположении листьев на стеблях растений наблюдается винтовая   симметрия.   Располагаясь   винтом   по   стеблю, листья как бы раскидываются в разные стороны и не заслоняют друг друга от света ,  хотя сами листья тоже имеют ось симметрии .  Зоология  –  наука   о   животных.  Она   изучает многообразие   животного   мира,   особенности строения   и   деятельности   тела   животных,   их развития,   распределения   по   земле   и   отношений   к   окружающей     (живой     и мертвой)   природе.   Конечная   цель   ее   ­   выяснение   законов,     управляющих явлениями   животного     мира,     объяснение     с     их   помощью   происхождение современного мира  животных  и  установление естественной  системы  животных. Существует множество таких законов, и один из них это закон ­ симметрия. Как связаны животный мир и симметрия?  Первые организмы на Земле, плавающие в толще воды одноклеточные, имели максимально   возможную   симметрию   –   шаровую,   они   появились   примерно   3.5 млрд. лет назад. Например, радиолярии. Геккель описал новые виды, обитающие в 13 индийском   океане,   настоящий   размер   радиолярии   –   менее   миллиметра. Пораженный   открывшейся   ему   красотой   живых   форм,   он   создал   альбом   под названием «Красота форм в природе».  На рисунках можно увидеть плоскости и центры  симметрии.  Эти  рисунки  хорошо  иллюстрируют  многовековую   идею   о том,   что   красота   и   строение   живых   организмов   непосредственно   связаны   с симметрией.    окружающие   ротовое   Представитель простейших ­ пресноводная гидра. Тело достигает  1­1, 5см. Ловчие щупальца короче тела. Гидру можно обнаружить  на  водной растительности. Для этого необходимо выловить водоросли   и   оставить   их   на   некоторое   время   в банке   с   водой,   чтобы   гидра   расправилась.   На расправившейся       гидре  можно увидеть      тело, щупальца,     отверстие, подошву.   Питается   гидра,   захватывая     своими щупальцами  мелких животных.  Гидру относят к многоклеточным   животным,   так   как   её   тело образовано   большим   количеством   клеток. Биологи   подтверждают,   что   через   тело   гидры можно провести несколько плоскостей  симметрии. Такой тип симметрии тела животного   в   биологии   называется  лучевой.   Лучевая   симметрия   способствует тому, что животное может ловить добычу и чувствовать приближение опасности с любой   стороны.   Именно   поэтому   животные,   ведущие   малоподвижный   образ жизни, внешне похожи на зонтики, шары и цветки растений. Симметрия подводного мира. Для представителей подводного   мира   характерна   центральная  (поворотная) симметрия.   Медуза   –   обладает   лучевой   (центральной симметрией).    Морская звезда.     Величина колеблется от 2 см до 1 м, хотя большинство — 12—24 см. Многие виды ярко   окрашены.     Ось   симметрии   этих   животных показывает направление силы тяжести. Морская звезда обладает поворотной симметрией пятого порядка.  14 объекта       Радиальная   симметрия  — форма симметрии, сохраняющаяся при вращении вокруг определённой точки или прямой. Часто эта точка совпадает с центром тяжести объекта, то есть той точкой, в которой пересекается   бесконечное   количество осей   Подобными объектами   могут   быть   круг,   шар, цилиндр или конус. Тело морских ежей обычно   почти   сферическое,   размером от   2—3   до   30   см;   покрыто   рядами   известковых   пластинок.   Пластинки,   как правило,   соединены   неподвижно   и   образуют   плотный   панцирь   (скорлупу),   не позволяющий   ежу   изменять   форму.   По   форме   тела   (и   некоторым   иным признакам)   морские   ежи   подразделяются   на   правильных   и   неправильных.   У правильных   ежей   форма   тела   почти   круглая,   и   построены   они   по   строго радиальной   пятилучевой   симметрии.   У   неправильных   ежей   форма   тела уплощённая, и у них различимы передний и задний концы тела.  симметрии. Симметрия в животном мире диктуется условиями жизни. Это хорошо видно на примере рыбы камбалы. У камбалы, как  и  у  других  рыб, имеется вертикальная плоскость симметрии. Взрослая камбала лежит на дне. Ее глаза, рот, плавники переползают  на  одну сторону, и ее     плоскость   симметрии     поворачивается     на     90º. Камбала приобретает симметрию   тела     вращения, т.е. поворотную центральную симметрию. Животные,   которые   способны передвигаться   в   каком­то   избранном направлении,   приобрели  двустороннюю симметрию   тела   (осевую).   На   ее появление   оказало   влияние   направление движения       животного   и     направление силы   тяжести.   Однако   большинство животных   нашей   планеты,   например, майский   жук,   речной   рак,   слон,   имеют одинаковые парные органы на левой и на правой   сторонах   тела.   Такие   животные 15 появились   значительно   позже   кишечнополостных   в   процессе   исторического развития.   Через   их   тело   можно   мысленно   провести   только   одну   плоскость, делящую   их   на   две   зеркально   одинаковые   половины.   Такая   симметрия   тела называется   двусторонней.  Она   характерна  для  всех   активно   передвигающихся животных.  Двусторонняя   симметрия   —   симметричность   относительно   зеркального отражения.   Асимметризация   по   оси   «перед–зад»    происходила   при взаимодействии   с   пространственным   полем,   когда   понадобилось   быстрое движение (спастись от хищника, догнать жертву). В результате, в передней части тела   оказались   главные   рецепторы   и   мозг.   Билатерально   симметричные организмы господствуют последние 650–800 млн. лет. Это ракообразные, рыбы, все   прогрессивные   формы:   млекопитающие,   птицы,   насекомые.  В   этих направлениях животное устремляется за пищей или спасается от опасности.  По наблюдениям, осевая симметрия присуща большому количеству видов животных. Еж, Сова, Божья коровка, Бабочка, Паук и   другие   животные   обладают   осевой   симметрией. Например,   у   бабочки   симметрия   проявляется   с математической   строгостью   .   Такая   симметрия способствует   поступательному   движению   живого организма.  Почему же в природе царит симметрия? обусловлена Чем   упорядоченность, пропорциональность? эта     По   данным   науки,   первые   многоклеточные животные   появились   в   воде;   они   располагались   в   толще   воды   во   взвешенном состоянии,  и   любое   перемещение   для   них   было   безразлично.  Поэтому   первые многоклеточные имели форму шара. По мере развития и усложнения организмов под действием силы тяжести они стали различать «верх» и «низ» и потеряли симметрию шара. Животные, ведущие прикреплённый  образ жизни, такие, как гидра, приобрели симметрию, которая способствует ловле добычи и защиты от врагов,   появляющихся   с   любой   стороны.   Ось   симметрии   этих   животных показывает направление силы тяжести. Те животные,   которые способны   были передвигаться   в   каком­   то   избранном   направлении,   приобрели   двустороннюю симметрию тела. На её появление важное влияние оказало как направление силы тяжести, так и направление движения животного. Для двустороннесимметричных видов характерно наличие двух примерно одинаковых частей тела, что помогает им сохранять равновесие, прямолинейно передвигаться, быстрее находить пищу и т. д.  Среди бесконечного разнообразия форм  природы в изобилии встречаются такие совершенные образы, чей вид неизменно привлекает наше внимание. Наблюдая за 16 красотой   природы,   можно   заметить,   что   при   отражении   предметов   в   лужах, озерах проявляется зеркальная симметрия.  «Видите? Это же голая зеркальность!  Глупая,   глупая   природа,   ни   о   чем   она   не   заботится   так   рьяно,   как   о равновесии!» ­ писал  Венедикт Ерофеев.  Отражение   в   воде   ­   единственный   пример   горизонтальной   симметрии   в природе. Быть может, в этом и состоит тайна его очарования?...Мы любуемся пейзажами   художников,   удачными   снимками.   Горы   красиво   отражаются   на поверхности озера, придавая снимку законченность. Поверхность озера играет роль   зеркала   и   воспроизводит   отражение   с   геометрической   точностью. Поверхность   воды   есть   плоскость   симметрии...  Как   скучно   было   бы   жить   в мире, где нет водных зеркал! Чудо отражения глубоко повлияло на человека, на развитие у него чувства прекрасного. Быть может, именно возле водных зеркал человек впервые задумался о законах симметрии? Ведь отражения так наглядно и глубоко выражают суть этих законов. На планете Земля много разнообразных зеркал: и крохотных — вроде весенних лужиц; и гигантских, океанических. Вот когда   чувство   гармонии,   питаемое   симметрией   отражений,   обретает   свою полноту.  Симметрия в неживой природе В   мир   неживой   природы вносят симметрии   очарование кристаллы.    А   что   такое   кристалл?   Твердое тело,   имеющее   естественную   форму 17 многогранника. Соль, лед, песок и т.д. состоят из кристаллов. Правильная форма кристаллов   возникает   по   двум   причинам.   Во­первых,   кристаллы   состоят   из элементарных частичек ­ молекул, которые сами имеют правильную форму. Во­ вторых,   «такие   молекулы   имеют   замечательное   свойство   соединяться   между собой   в   симметричном   порядке».   Поэтому     так   красивы   и   привлекательны кристаллы. Всего существует 32 вида симметрий идеальных форм кристалла. Нельзя не увидеть симметрию и в ограненных драгоценных камнях. Многие гранильщики стараются придать бриллиантам форму тетраэдра, куба, октаэдра или икосаэдра. Так как гранат имеет те же элементы что и куб, он высоко ценится знатоками   драгоценных   камней.   Художественные   изделия   из   гранатов   были обнаружены в могилах Древнего Египта, относящихся еще к додинастическому периоду (свыше двух тысячелетий до н.э.). Каждая   снежинка­   это   маленький   кристалл   замерзшей   воды.   Форма снежинок   может   быть   очень   разнообразной,   но   все   они   обладают   поворотной симметрией и, кроме того, зеркальной симметрией . Применение законов симметрии человеком Увидев проявление симметрии в природе, мне захотелось узнать, применяет ли человек эти закономерности в своих творениях. Симметрию   можно   обнаружить   почти   везде,   если   знать,   как   ее   искать. Многие  народы  с  древнейших  времен  владели  представлением  о  симметрии   в широком смысле — как об уравновешенности и гармонии. Творчество людей во всех своих проявлениях тяготеет к симметрии. Посредством симметрии человек всегда   пытался,     «постичь   и   создать   порядок,   красоту   и   совершенство». Упорядоченность   и   подчиненность   определенному   набору   правил   мы обнаруживаем в узорах и орнаментах. Цвета, которые в себя включает белорусский флаг – красный и зеленый. Верхняя   полоса   красная   и   занимает   две   трети   ширины   полотнища,  а  нижняя, зеленая, составляет одну треть. Возле древка вертикально расположена полоса с национальным красно­белым орнаментом. Красная полоса ассоциируется с солнцем и кровными узами, символизирует братство и борьбу за правое дело. Зеленый цвет указывает на тесную связь с природой. Он ассоциируется с лесами и полями,   которыми   покрыта   большая   часть   территорий. 18 Зеленая полоса является символом добра, роста, благополучия и мира.  Каждый элемент бело­красной полосы, украшающей флаг Белоруссии возле древка, имеет свое   особое   значение.   В   центре   расположен   ромб   с   отходящими   от   него «крючками»,   также   называемыми   «веслами»   или   «рогами».   Эти   детали символизируют   движение   и   вечность.   Сам   по   себе   ромб   является   символом богини Плодородия. Это своеобразное изображение засеянного поля. Вокруг него расположены знаки, которые должны призывать удачу и богатый урожай, а также способствовать   исполнению   праведных   и   добрых   желаний.   Маленькие   ромбы означают «хлебы», пищу, которая важна и для духа, и для тела. Через такие символы орнамент, который использует флаг Белоруссии, отражает культуру и историю народа, его создавшего. Говоря об орнаменте, нельзя не сказать о знаменитых на весь мир слуцких поясах. Слуцкие пояса ткались из тонких шёлковых, золотых и серебряных нитей. Длина  пояса  достигала  от 2  до 4,5 метров,  а  ширина  от 30  до 50 см.  Пояса украшались по краям — узорной каймой, а концы — пышным, главным образом растительным орнаментом, в котором народные узоры сочетались с восточными мотивами. У слуцкого пояса не было изнанки, все стороны являлись лицевыми. Пояса  изготавливались  односторонними  (с обратной стороной), двухсторонние (обе  стороны   лицевые   или   одна   двусторонняя   с  одной   изнаночной).  Наиболее ценимыми считались четырёхсторонние слуцкие пояса — каждая сторона пояса была   разделена   на   две   части   с   разными   цветами,   пояс   складывался   вдвое. Середник пояса имел орнамент с поперечными гладкими или узорными полосами, реже узор был сетчатым, в горошек и пр. Концы пояса имели сложный орнамент, чаще с двумя мотивами: чаще всего — овал, окруженный листьями со стеблями и цветами.   В   углу   пояса   с   обеих   сторон   ткалась   метка   на   старославянском   и латинском языках (Слуцк, В городе Слуцке, Сделано в Слуцке). Концы пояса иногда обшивались бахромой. Слуцкие пояса повязывались сверху кунтуша — мужской верхней одежды, к поясу крепилось оружие.  Симметрия в архитектуре и технике Одним   из   самых   наглядных   использований   законов   симметрии   в   жизни служат   строения   архитектуры.  Это   то,  что   чаще   всего   мы   можем   увидеть.  В архитектуре   оси   симметрии   используются   как   средства   выражения архитектурного замысла.  19 Большинство   зданий   зеркально   ­   симметричны.   Общие   планы   построек, фасады, орнаменты, карнизы, колонны обнаруживают соразмерность, гармонию. Много   примеров   использования   симметрии   дает   старая   архитектура: колокольни, сторожевые башни, внутренние опорные столбы. Архитектура   –   удивительная   область   человеческой   деятельности.   В   ней тесно переплетены и строго уравновешены наука, техника и  искусство. Только соразмерное, гармоничное единство этих начал делает возводимое человеком сооружение   памятником   архитектуры,   неподвластным   времени,   подобно памятникам литературы. Архитектура  бесконечно  разнообразна. И  все  же  самый  древний  храм  и современный дом, подобно человеческим лицам, имеют множество общих черт. В своем творчестве архитекторы располагают только строительным материалом и пространством. Все остальное в архитектурном облике здания   архитектор создает   собственной   фантазией.   В   качестве   художественных   средств     он использует  композицию, пропорциональное соотношение здания и его частей, живопись и скульптуру, окружающую природу и застройку. Композиция зданий. От нее в первую очередь зависит впечатление, которое производит архитектурное сооружение. Сочетание различных объемов высоких и низких, прямолинейных и криволинейных, чередование пространств открытых и   закрытых.   Это,   пожалуй,   основные   приемы,   которые   использует   зодчий, создавая архитектурные композиции.  Мы   живем,   находясь   под   воздействием   с   одной   стороны,   симметрии   и необходимости, а с другой ­ асимметрии и случайности и используя в своей практике   диалектику   симметрии   ­   асимметрии.   Например,   строители современных   мостов,   высотных   зданий,   башен   знают,   что   конструкция   не должна   быть   безупречно   симметричной   из­за   опасности   возникновения резонансных   колебаний,  которые   могут   привести   к   ее  разрушению.  Поэтому симметрию   конструкций   сознательно   нарушают,   вводя   в   нее   отдельные асимметричные  элементы, т.  е. чистая  симметрия,  может  оказаться  опасной. Она неустойчива. Примеров использования симметрии в архитектуре множество. Любой дом, костелы, церкви, ратуша, летний амфитеатр подчиняются законам симметрии. Еще   одним   примером   использования   человеком   симметрии   в   своей практике ­ это техника. Одно из важнейших изобретений человечества, имеющих центр симметрии, является колесо, также центр симметрии есть у пропеллера и других   технических   средств.  В   жизни   большого   города   транспорт   играет значительную   роль.   И   мы   ежедневно   сталкиваемся   с   различными   его проявлениями.  В   технике   красота,   соразмерность   механизмов   часто   бывает связана   с   их   надежностью,   устойчивостью   в   работе.   Симметричная   форма дирижабля, самолета, подводной лодки, автомобиля и т.д. обеспечивает хорошую 20 обтекаемость   воздухом   или   водой,   а   значит,   и   минимальное   сопротивление движению. В технике существует своего рода постулат: наиболее целесообразные и функционально совершенные изделия являются наиболее красивыми. Палиндромы Интересное   явление,   связанное   с   симметрией   присутствует   в   языке   и математике. оо Палиндр м  (от   др.­греч.   — «назад,  снова»),  —  число  (например, 404), буквосочетание, слово (например, топот), или текст (а роза упала на лапу Азора – писал   А.Фет),   одинаково   читающееся   в   обоих   направлениях.   Иногда палиндромом неформально называют любой симметричный относительно своей середины набор символов. Примеры палиндромов: Аргентина манит негра.   На в лоб, болван!  У дуба буду.  Oколо Миши молоко. Городничему в уме чин дорог. А щи пища Существуют   также   числа­палиндромы.   Числовой   палиндром   —   это натуральное число, которое читается слева направо и справа налево одинаково. Иначе   говоря,   отличается   симметрией   записи   (расположения   цифр),   причём число знаков может быть как чётным, так и нечётным. Палиндромы встречаются в некоторых множествах чисел, удостоенных собственных названий: среди чисел Фибоначчи   —   8,   55   (6­й   и   10­й   члены   одноимённой   последовательности); фигурных   чисел   —   676,   1001   (квадратное   и   пятиугольное   соответственно); Симметрия также есть и в числах, например, √12345678987654321=111111111; √123454321=11111 и т.д. Любопытные   палиндромические   закономерности   просматриваются   и   в группах простых чисел, в записи которых присутствуют определённые цифры. Скажем, только цифры 1 и 3, причём в каждом числе. Так, двузначные простые числа составляют упорядоченные пары 13 — 31 и 31 — 13, из шести трёхзначных простые сразу пять чисел, среди которых есть два палиндрома: 131 и 313, а ещё два числа образуют пары «перевёртышей» 311 — 113 и 113 — 311. Во всех этих случаях составленные пары наглядно представляются в виде числовых квадратов. 13 31 21 31 13               313         131 113 311 131 313 311 113 Своими   свойствами   они   напоминают   магический   и   латинский   квадраты. Например,   у   среднего   квадрата   сумма   чисел,   стоящих   в   каждой   строке   и   в каждом столбце, равна 444, на диагоналях — 262 и 626. Сложив числа из всех клеток,   получим   888.   И   что   характерно,   каждая   сумма   —   палиндром.   Даже просто выписывая без пробела несколько чисел из одной таблицы, получим новые палиндромы: 3113, 131313131 и т. д. Какое наибольшее число можно составить таким способом? Будет ли оно палиндромом? А вот пары чисел­«перевёртышей» 13 — 31 и 113 — 311 при возведении в квадрат   дают   также   пары   «перевёртышей»:   169   —   961   и   12769   —   96721. Любопытно, что даже суммы их цифр оказались связаны хитрым образом:  (1 + 3)2 = 1 + 6 + 9,  (1 + 1 + 3)2 = 1 + 2 + 7 + 6 + 9. Чудесные фракталы В   журнале   «Занимательные головоломки»   я   встретила   очень красивые   картинки.   Оказалось,   они изображали фракталы. Интересно то, что фракталы   и   симметрия   связаны   между собой. 22 — Что   такое   фрактал?   Фрактал это   бесконечно   самоподобная геометрическая фигура, каждый   фрагмент   которой повторяется   при   уменьшении масштаба. Геометрический тип фракталов   получается   путем простых   геометрических построений.   Обычно   при построении   этих   фракталов поступают так: берется  набор отрезков,   на   основании которых   будет   строиться   фрактал.   Далее   к   нему   применяют   набор   правил, который преобразует ее в какую­либо геометрическую фигуру. Далее к каждой части   этой   фигуры   применяют   опять   тот   же   набор   правил.   С  каждым   шагом фигура   будет   становиться   все   сложнее   и   сложнее,   и   если   мы   проведем   (по крайней   мере,   в   уме)   бесконечное   количество   преобразований   ­   получим геометрический фрактал.    На рисунке ниже приведены  примеры геометрических фракталов  Снежинка Коха             Лист      Треугольник Серпинского Из этих геометрических фракталов очень интересным   и   довольно   знаменитым   является первый   ­   снежинка   Коха.   Строится   она   на основе равностороннего треугольника. Каждая линия которого заменяется на 4 линии каждая длиной   в   1/3   исходной   .   Таким   образом,   с каждой итерацией длина кривой увеличивается на треть. И если мы сделаем бесконечное число итераций ­ получим фрактал ­ снежинку Коха бесконечной длины. Получается, что наша бесконечная кривая покрывает ограниченную площадь.  23 Фракталы присутствуют и в человеческом теле – это лёгкие. В грудной клетке     они   занимают   немного   места,   но   если   расположить   их   на   плоской поверхности,   то в таком виде они займут площадь около 60м2.    Фрактальную структуру   имеет   развитие   некоторых   болезней,   поэтому   изучение   фракталов помогает предотвращать развитие болезни на ранних этапах. В   дальнейшем   мне   хотелось   бы   подробнее   изучить   феномен   фракталов, создать   свои   красивые   фигуры,  с  помощью   компьютерных   программ  написаль фрактальную музыку… Практическая часть          Работая над данной темой, мы провели социологическое исследование:   75 учащимся 5­11 классов был задан вопрос:  «Знаете ли Вы, что симметрия?» и предложены варианты ответа:  А) знаю и могу объяснить;  Б) слышал этот термин, но не могу объяснить, что он означает; 24  В) никогда не слышал об этом. 21  человек  (28 %) дали первый вариант ответа; 32  человека  (43 %) дали второй вариант ответа; 22  человека  (29%) дали третий вариант ответа; Результаты исследования отображены на диаграмме в приложении 1.         «Знаете ли Вы, что такое фрактал?» и предложены варианты ответа:  А) знаю и могу объяснить;  Б) слышал этот термин, но не могу объяснить, что он означает;  В) никогда не слышал об этом. 3  человека (4%) дали первый вариант ответа; 12  человек (16 %) дали второй вариант ответа; 60  человек (80 %) дали третий вариант ответа; Результаты исследования отображены на диаграмме в приложении 1 Заключение Изучив   и   исследовав   тему   «Симметрии»   я   узнала,   что   помимо   осевой, зеркальной и центральной  видов симметрии, которые мы изучаем  в школьном курсе, существуют и другие виды симметрии, например в природе – поворотная, винтовая, в кристаллографии вообще ­ 32 вида. Таким   образом,   изучая   симметрию   законов   природы,   рано   или   поздно удается глубже проникнуть в сущность живого, объяснить ход эволюции и дать возможность человеку чаще применять данные законы симметрии в жизни. Рассматривая   архитектуру   зданий,   предметы   украшения   и   быта, технические изобретения, мы видим в них присутствие центральной, поворотной, переносной,   осевой   и   зеркальной   видов   симметрии,   которые   дают   ощущение спокойной уверенности и эстетической привлекательности. Симметрия,   проявляясь   в   самых   различных   объектах   природного   мира, несомненно, отражает наиболее общие ее свойства. Поэтому изучение симметрии разнообразных природных объектах и сопоставление его (изучения) результатов удобным и надежным инструментом познания гармонии мира.  Симметрия – это не только математическое понятие. Его заимствовали из   природы.   А   так   как   человек   –   это   часть   природы,   то   человеческое 25 творчество   во   всех   его   проявлениях   тяготеет   к   симметрии.   Симметрия   в живой природе: в животном и растительном мире, – передается генетически из поколения в поколение. Можно сказать, что на симметрии держится весь мир. Когда мы видим проявления симметрии в разных областях жизни, мы невольно   испытываем   чувство   удовлетворения   тем   всеобщим   порядком, который   царит   в   природе.   Но   симметрия   –   общее   свойство   объектов окружающего   мира,   асимметрия   же   отражает   индивидуальные   свойства объектов. Мир существует благодаря единству симметрии и асимметрии. Считаю,   что   моя   работа   отражает   явление   симметрии   в   различных отраслях   знаний.  Она   имеет   познавательную   и   практическую   ценность. Материалы данной работы можно применять при решении предметных задач, в повседневной жизни, при изучении тем на других предметах. В ходе работы над этим проектом я   приобрела   не только много новых знаний, но и научилась проводить исследования, наблюдать, сравнивать, анализировать, выдвигать гипотезы и делать выводы. Кроме того, вопросы, рассмотренные   в   работе,   выходят   за   рамки   школьного   курса,   они способствуют   совершенствованию   и   развитию   важнейших   математических умений. Думаю,   что   это   пригодится   не   только   при   дальнейшем   изучении математики, но и в жизни, и при изучении других наук. Да, путь познания не гладок,     Но знаем мы со школьных лет:    Загадок больше, чем разгадок,  И поискам предела нет! 26 Литература   1)   Тарасов Л.В. Этот удивительно симметричный мир. – М.: Просвещение, 1982. 2)         Гончарова   С.Г.,   Кукин   Г.П.   Конструктор   «В   мире   симметрии» //Математика в школе. – 1996. ­ № 3. – С. 60. 3)   Кошелев А.И. Проявление симметрии в различных формах материи. 4)   Журнал «Занимательные головоломки», 2014,2015 5)    О. Иванова. Этот симметричный мир. ­ Первое сентября. – 2006 № 6. 27 Приложение 1 «Знаете ли Вы, что симметрия?» и предложены варианты ответа: 1)  знаю и могу объяснить; 2)  слышал этот термин, но не могу объяснить, что он означает; 3)  никогда не слышал об этом.   «Знаете ли Вы, что такое фрактал?»: 1)   знаю и могу объяснить; 2)   слышал этот термин, но не могу объяснить, что он означает;      3)   никогда не слышал об этом. 28 Приложение 2 «Знаете ли Вы, что такое симметрия?» 1­ Да;  2 – слышал, но не могу объяснить;  3 – не знаю  5  класс                                                           6 класс 29 30