Вопрос 36.doc
Оценка 4.9

Вопрос 36.doc

Оценка 4.9
doc
13.05.2020
Вопрос 36.doc
Вопрос 36.doc

Постановка задачи интерполяции.

Пусть известные значения функции f образуют таблицу:

 

x

x0

x1

xn

f(x)

y0

y1

yn

…(*)

 

Найдем значения функции f для аргумента x, такого что , т.е. не совпадает ни с одним значением из таблицы. Т.е. задача заключается в том, чтобы по исходной таблице построить приближенную функцию F, которая близка к f, то есть F: f(x)=F(x) (1). Требуется, чтобы функции совпадали точно для xi, где i=, т.е. F(x0)=y0,…, F(xn)=yn (2).

Процесс нахождения F, которая ведет себя согласно формулам (2), называется интерполяцией, а точки x0 , x1xn  называются узлами интерполирования. Самый простой способ поиска  F будет, если записать функцию F в виде полинома . Этот многочлен  содержит n+1 коэффициентов и n+1 условий (2), т.е. условия (2) позволяют однозначно определить коэффициенты уравнения (a0 ,a1an).  (3), i - номер уравнения, k – номер неизвестного. Выпишем определитель системы (полагая, что все xi различны):

  ¹0, он называется определителем Вандермонда.                                                                                 

Вывод: интерполяционный многочлен  (3) для функции f, которая задается таблицей, существует и он единственный.

Утверждение: Интерполяционный полином Pn(x) имеет степень, не большую, чем n.      

 

 

Интерполяционный многочлен Лагранжа.

Пусть функция f задана значениями y0 , y1,, yn  в соответствующих точках x0, x1 ,…, xn. Построим интерполяционный многочлен Ln(x), степень которого не больше n и для которого выполняется условие :F(x0)=y0, F(x1)=y1, …, F(xn)=yn (1), где приближенно f(x)=F(x). Будем искать Ln(x) в виде: Ln(x)=l0(x)+l1(x)+…+ln(x)  (2), где  li(x) – многочлен степени n, причем li(xk)=yi, если i=k и li(xk)=0, если   (3). Очевидно, что требование (3) с учетом (2) обеспечивает выполнение условий (1). Многочлены  li(x) составим следующим образом: li(x)=ci(xx0)(xx1)…(xxi–1)(xxi+1)…(xxn) (4), где ci – постоянный коэффициент, значение которого найдем из первой части условия (3): , при  этом ни один множитель в знаменателе не равен  нулю. Подставим  ci  в (4) с учетом (2), получим: .

 

 

Оценка  погрешности  интерполяции.

Если известно аналитическое выражение интерполируемой функции f, то можно применить формулы для оценки погрешности интерполирования (погрешность метода). Остаточный член интерполируемого многочлена имеет вид: Rn(x)=f(x)-gn(x)

В силу единственности интерполируемого многочлена формула оценки погрешности используется и для многочлена Лагранжа и для многочлена Ньютона. Предположим, что f(x) имеет все производные до n+1 порядка, т.е. f(n+1)(x). Введем вспомогательную функцию u(x)=f(x)-gn(x)-k*Wn+1(x)  (1), она имеет n+1 корней, это узлы интерполяции (x0, x1,..., xn). Wn+1(x)=(x-x0)(x-x1)…(x-xn), k выбирается из условия u(x*)=0, где x*точка в которой оценивается погрешность, x*xi, i=.

Из u(x*)=0 получаем: . При таком выборе k функция u(x) обращается в ноль в (n+2) точках: x0, x1,…, xn, x*.

Воспользуемся теоремой Ролля. Теорема Ролля: пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема на интервале (a,b). Если f(a)=f(b), то найдется, по крайней мере, одна точка , в которой . По т.Ролля производная обращается в ноль, по крайней мере, в n+1 точках. Применяя т.Ролля к функции , получим, что  обращается в ноль в n точках. Продолжая рассуждения, получим, что u(n+1)(x) обращается в ноль, по крайней мере, в 1 точке принадлежащей отрезку [y1,y2].

, y1=min(x0, x1,…, xn, x*), y2=max(x0, x1,…, xn, x*).

Т.к. u(n+1)(x)=f(n+1)(x)–k(n+1)! , то из условия: u(n+1)()=0 получаем

Соотношение u(x)=0  перепишем в виде: f(x)–gn(x)=, где .

Если принять , (x0xxn), то оценочная формула, применяемая для подсчета погрешности методом интерполяции по формуле Лагранжа.

 


Постановка задачи интерполяции

Постановка задачи интерполяции

Интерполяционный многочлен Лагранжа

Интерполяционный многочлен Лагранжа

Оценка погрешности интерполяции

Оценка погрешности интерполяции
Скачать файл