Вопрос 38.doc

Построение кубического интерполяционного сплайна Шонберга.

При большом количестве узлов интерполяции сильно возрастает степень интерполяционных многочленов, и они не удобны для вычисления. Высокой степени можно избежать, разбив отрезок интерполяции на несколько частей и на каждой части построить интерполяционный многочлен некоторой степени. Но есть недостаток: в точках стыка разных интерполяционных многочленов будет разрывной их первая производная. В этом случае удобно использовать особым видом кусочно-полиномиальной интерполяции – интерполяции сплайнами.

Сплайн – это функция, которая на каждом частичном отрезке интерполяции является алгебраическим многочленом, а на всем заданном отрезке непрерывна вместе с несколькими своими производными. Рассмотрим способ построения кубических сплайнов (сплайны третьей степени), которые наиболее распространены на практике.

Пусть интерполируемая функция f задана значениями f_i в узлах x_i, i=. Длину частичного отрезка [x_i–1, x_i] обозначим h_i=x_i –x_i–1, i=. Будем искать кубический сплайн на каждом из отрезков в виде: S(x)=a_i + b_i (x–x_i–1) + c_i (x–x_i–1)²+d_i (x–x_i–1)³, где a_i, b_i, c_i, d_i  4 неизвестных коэффициента (всего коэффициентов 4n). Можно доказать, что задача на нахождение кубического сплайна имеет единственное решение. Потребуем совпадений значений S(x) в узлах с табличными значениями функции f_i.

S(x_i–1)=f_i–1=a_i  (1), S(x_i)=f_i=a_i+b_ih_i+c_ih_i²+d_ih_i³  (2)

Число этих уравнений 2n – это в 2 раза меньше числа неизвестных коэффициентов. Для получения дополнительных условий потребуем непрерывности  и  во всех точках, включая узлы. Для этого приравняем левые и правые производные: S’(x_i+0), S’(x_i–0), S’’(x_i+0), S’’(x_i–0) во внутреннем узле x_i. Сначала продифференцируем производные по х:    S’(x)=b_i+2c_i(x–x_i–1)+3d_i(x–x_i–1)² ;    S’’(x)=2c_i+6d_i(x–x_i–1)

       S’(x_i–0)=b_i+2c_i h_i+3d_i h_i² ;    S’(x_i+0)=b_i+1     (для b, c, d, x_i–1 увеличиваем индекс i на 1, тогда  x–x_i–1~ x–x_i=0)  ;    S’’(x_i–0)=2c_i+6d_ih_i ;  S’’(x_i+0)=2c_i+1                       

Приравниваем левые и правые части производных: b_i+1=b_i+2c_i h_i+3d_i h_i²(3), c_i+1=c_i+3d_i h_i (4), i=. Эти уравнения дают 2(n–1) условий => не хватает ещё 2-х. Их берут из требования поведения сплайна в граничных точках x₀ и x_n. Потребуем нулевой кривизны сплайна на концах, т.е. равенство нулю второй производной: c₁=0, c_n+3d_n h_n=0.(5)

Перепишем уравнения (2)-(5), исключив n неизвестных a_i согласно (1).

b_i h_i–c_i h²–d_i h_i³=f_i–f_i–1 (i=)

    b_i+1–b_i–2c_i h_i–3d_i h_i²=0  (i=)

   c_i+1–c_i–3d_i h_i=0 (i=)

c₁=0, c_n+3d_n h_n=0

Система состоит из n+2(n-1)+2 уравнений. Решив её, получим значения неизвестных c_i, b_i, d_i  Получим   S_i(x)=f_i–1+b_i(x–x_i–1)+c_i(x–x_i–1)²+d_i(x–x_i–1)³        (i=)