Вопрос 39.doc

Вычисление определенных интегралов по квадратурным формулам Ньютона–Котеса, формулам прямоугольников и трапеций, их погрешность.

Формулы, используемые для приближенного вычисления однократных интегралов, называются квадратурными формулами (квадратурами).

Самый простой способ построения квадратур: подынтегральная функция f(x) на [a;b] заменяется интерполяционным многочленом L_n(x). . , где R_n(f)–остаточный член квадратурных формул. При этом отрезок [a;b] разбивается точками на n частей: a=x₀, x₁, x₂,…, x_n=b или узлами, которые подразумеваются при построении L_n(x). Подставив выражение для L_n(x), получим: ,W_n+1(x)=(x–x₀)(x–x₁) …(x–x_n)       Т.о. , где

Разобьем отрезок интегрирования [a;b] на n равных частей системой точек x_i=x₀+ih, i=, x₀=a, x_n=b, h=(b–a)/n. Преобразуем выражение W_n+1(x)=(x-x₀)(x-x₁)…(x-x_n) (1). Введем подстановку t=(x–x₀)/h =>x–x₀=ht, x–x₁=x–(x₀+h)=h(t–1), x–x₂=x–(x₀+2h)=h(t–2),…, x–x_i=h(t–i)  

Подставим эти разности в (1), получим: W_n+1(x)=hⁿ⁺¹ t(t+1)…(t–n)

Т.к.  x_i–x₀=hi, x_i–x₁=h(i–1),…, x_i–x_n=h(n–i),  то   W’_n+1(x_i)=(x_i–x₀)...(x_i–x_i–1)( x_i–x_i+1)… ( x_i–x_n) =hⁿ i(i–1)...1(–1)...(–(n–i))=hⁿ i!(n–i)!(–1)^n–i

Подставим полученные значения в A_i, тогда:

Перейдем к переменной t: x–x₀=ht => dx=h dt=(b–a)dt/n

При x=x₀  t=0, x=x_n  t=n; 

Числа A_i называются коэффициентами Котеса, они не зависят от f(x), а зависят от числа n.  Формулы Ньютона–Котеса:    

Пусть в точке (b+a)/2 известно значение функции f(x), т.е. f((b+a)/2)

Тогда формула прямоугольника имеет вид:  с оценкой остаточного члена . Обобщенная формула прямоугольников с левыми ординатами: , с правыми ординатами:

Абсолютную погрешность формулы прямоугольников можно оценить по формуле , где

При n=1,i=0,1из формул Ньютона–Котеса , Подставим H₁, H₀ в формулы Ньютона–Котеса:

Распространяя последнюю формулу на все отрезки разбиения, получим обобщенную формулу трапеций для отрезка [a,b]:  Оценим погрешность интегрирования по формуле трапеций. Вначале получим формулу остаточного члена для отрезка [x₀,x₁]:; R=R(h), R(0)=0

 Должно выполнятся R’(0)=0  

Определим R, последовательно интегрируя R’’(x) на отрезке [0,h]

 Из двух последних равенств получаем (вместо h z):

 Применяя теорему о среднем, получим:

, ,  зависит от h.

,

Т.о. погрешность метода интегрирования по формуле трапеций на отрезке [x₀,x₁] имеет величину , где ;

на [a,b] , , где . При >0 формула дает приближение с избытком, при <0 с недостатком.