Вопрос 39.doc
Оценка 4.9

Вопрос 39.doc

Оценка 4.9
doc
13.05.2020
Вопрос 39.doc
Вопрос 39.doc

Вычисление определенных интегралов по квадратурным формулам Ньютона–Котеса, формулам прямоугольников и трапеций, их погрешность.

Формулы, используемые для приближенного вычисления однократных интегралов, называются квадратурными формулами (квадратурами).

Самый простой способ построения квадратур: подынтегральная функция f(x) на [a;b] заменяется интерполяционным многочленом Ln(x). . , где Rn(f)–остаточный член квадратурных формул. При этом отрезок [a;b] разбивается точками на n частей: a=x0, x1, x2,…, xn=b или узлами, которые подразумеваются при построении Ln(x). Подставив выражение для Ln(x), получим: ,Wn+1(x)=(xx0)(xx1) …(xxn)       Т.о. , где

Разобьем отрезок интегрирования [a;b] на n равных частей системой точек xi=x0+ih, i=, x0=a, xn=b, h=(ba)/n. Преобразуем выражение Wn+1(x)=(x-x0)(x-x1)…(x-xn) (1). Введем подстановку t=(xx0)/h =>xx0=ht, xx1=x–(x0+h)=h(t–1), xx2=x–(x0+2h)=h(t–2),…, xxi=h(ti)  

Подставим эти разности в (1), получим: Wn+1(x)=hn+1 t(t+1)…(tn)

Т.кxi–x0=hi, xi–x1=h(i–1),…, xi–xn=h(n–i)то   W’n+1(xi)=(xi–x0)...(xi–xi–1)( xi–xi+1)( xixn) =hn i(i–1)...1(–1)...(–(ni))=hn i!(ni)!(–1)ni

Подставим полученные значения в Ai, тогда:

Перейдем к переменной t: xx0=ht => dx=h dt=(ba)dt/n

При x=x0  t=0, x=xn  t=n

Числа Ai называются коэффициентами Котеса, они не зависят от f(x), а зависят от числа nФормулы Ньютона–Котеса:    

Пусть в точке (b+a)/2 известно значение функции f(x), т.е. f((b+a)/2)

Тогда формула прямоугольника имеет вид:  с оценкой остаточного члена . Обобщенная формула прямоугольников с левыми ординатами: , с правыми ординатами:

Абсолютную погрешность формулы прямоугольников можно оценить по формуле , где

При n=1,i=0,1из формул Ньютона–Котеса , Подставим H1, H0 в формулы Ньютона–Котеса:

Распространяя последнюю формулу на все отрезки разбиения, получим обобщенную формулу трапеций для отрезка [a,b]:  Оценим погрешность интегрирования по формуле трапеций. Вначале получим формулу остаточного члена для отрезка [x0,x1]:; R=R(h), R(0)=0

 Должно выполнятся R’(0)=0  

Определим R, последовательно интегрируя R’’(x) на отрезке [0,h]

 Из двух последних равенств получаем (вместо h z):

 Применяя теорему о среднем, получим:

, ,  зависит от h.

,

Т.о. погрешность метода интегрирования по формуле трапеций на отрезке [x0,x1] имеет величину , где ;

на [a,b] , , где . При >0 формула дает приближение с избытком, при <0 с недостатком.


Вычисление определенных интегралов по квадратурным формулам

Вычисление определенных интегралов по квадратурным формулам

Пусть в точке ( b + a )/2 известно значение функции f ( x ) , т

Пусть в точке ( b + a )/2 известно значение функции f ( x ) , т

Должно выполнятся R ’(0)=0

Должно выполнятся R ’(0)=0
Скачать файл