Вычисление объемов тел вращения с помощью определенного интеграла

Найти какой объем занимает обод автоколеса

Как видно: боковая поверхность обода вогнута,
Обод похож на цилиндр, но это другое тело

Такие тела называют телами вращения.
Давайте познакомимся с ними подробнее

Нам уже знакомо понятие –
криволинейная трапеция.

Давайте представим : что будет, если
криволинейную трапецию будем вращать
вокруг оси ОХ

Получим вот такое тело.

Обратим внимание, что каждая точка плоской
криволинейной трапеции совершает
круговую траекторию.
Значит, в поперечном сечении этого тела- круг

Итак,

Тело, полученное при вращении криволинейной
трапеции вокруг её основания, называют
телом вращения

Такое тело можно
«набрать» из плоских кругов,
на которые это тело можно
разрезать поперек.

Площадь круга вычисляется
по формуле:

Надо заметить, что радиус
каждого сечения постоянно
изменяется и равен значению
функции в точке, через которую
проводится сечение

Таким образом, площадь каждого сечения равна: 𝑺 𝒌 𝑺𝑺 𝑺 𝒌 𝒌𝒌 𝑺 𝒌 =𝝅𝝅 𝒇 𝟐 𝒇𝒇 𝒇 𝟐 𝟐𝟐 𝒇 𝟐 𝒙 𝒌 𝒙 𝒌 𝒙𝒙 𝒙 𝒌 𝒌𝒌 𝒙 𝒌 𝒙 𝒌

Соберем все сечения, мы получим
объемное тело.
А на сколько помним,
соединение, совокупность- это
есть интегрирование.

Тогда объем тела вращения равен:

Запишем формулу вычисления объема тела , полученного
вращением плоской фигуры вокруг оси ОХ:

Алгоритм вычисления объема тел вращения с помощью
определенного интеграла:

Построить графики всех заданных функций и
определить плоскую фигуру.

2. Определить пределы интегрирования по оси ОХ.

3. Вычислить объем с помощью формулы

Примечание: изображать объемное тело в ходе решения
необязательно.
Главное построить плоскую фигуру.