Вычисление площадей плоских фигур (занятие элективного курса) для 11 класса (профильный уровень)

Вычисление площадей плоских фигур (занятие элективного курса) Класс: 11 (профильный уровень) Тип занятия: урок – тренинг Цели урока: ­ обучающая: повторить и обобщить типы задач на вычисление площадей фигур, в том числе фигур сложной геометрической конфигурации, учить построению геометрических  моделей и снятию соответствующей информации с чертежа, необходимой для вычисления  площади фигуры, сформировать начальное представление об истории развития интегрального исчисления; ­ развивающая: научить мыслить и оперировать математическими знаниями,  стимулировать мышление учащихся; ­ воспитательная: развивать у учащихся коммуникативные компетенции (умение  работать в группе, культуру общения), способствовать развитию интеллектуальной  деятельности учащихся. Оборудование и материалы для урока: проектор, интерактивная доска,  презентация для сопровождения урока. Форма работы: групповая. Структура занятия Блиц ­ опрос 1. Организационный момент 2. 3. Практическое применение теоретических знаний: ­ задайте аналитически заштрихованную фигуру; ­ ответьте на вопросы; ­ вычислите площадь фигуры Коррекция знаний по теме. Решение задач 5. Постановка проблемы, пути ее решения 6. 7. Немного истории  8. Подведение итогов 9. 10. Домашнее задание Самооценка усвоения темы   Содержание презентации. 1. 2. 3. 4. Тема урока. (Слайд 1.) Цели урока. (Слайд 2.) План урока.( Слайд 3.) Опрос. (Вопросы для проверки теоретических знаний по теме) При первом щелчке по слайду 4 появляется вопрос №1. При втором щелчке появляется ответ на вопрос №1 для проверки и коррекции ответа ученика. При третьем щелчке ответ  удаляется. Аналогично выполняется работа со следующими вопросами. 5. Практическое применение теоретических знаний. Задайте аналитически фигуру. При первом щелчке по слайду 5 появляется рисунок, после ответа учащихся по второму  щелчку появляется ответ для выполнения учеником самоконтроля своего ответа. При третьем щелчке ответ удаляется, одновременно появляется следующий рисунок. Аналогично  выполняется работа со следующими рисунками. Ответить на вопросы учителя по представленным рисункам. На слайде 6 все  рисунки.  Вычислить площадь фигуры на рисунках 2, 3 и 5.  6. 7. 8. Защита домашних задач.  На слайдах 9,10 – рисунок и решение задачи I группы. На слайдах 11,12 –  рисунок и решение задачи II группы. На слайдах 13,14 – рисунок и решение задачи III  группы.  Постановка проблемы (обобщение). 9. 10. Классификация задач.  11. Коррекция знаний. Выводится задание для каждой группы. Слайд 17 12. Рисунки к задачам для каждой группы. Слайд 18.  13. Что поможет упростить вычисление площадей фигур. Щелчками на слайд 19  выводится результаты анализа решения. 14. Немного истории.  15. 16. 20 и 21 выводятся портреты и текст исторической справки. Задача Архимеда. На слайдах  22,23, 24 выводится поочередно условие и  пояснение решения задачи по методу Архимеда. 17. Итоги урока. ( слайд 25 выводятся поочередно результаты планирования и  выводы.) 18. Лист самооценки. Слайд 26 19. Домашнее задание. Слайд 27 Каждая группа учащихся должна подготовить и оформить в виде презентации  Домашнее задание  1. решение задачи на вычисление площади фигуры.  Задание I группы. Вычислить площадь фигуры, расположенной между линиями  у = х2 – 2х,     у = 4 – х2. Задание II группы. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями  у = х2, у =  , у = 2х. Задание III группы. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций  y = cosx, y = sinx  на отрезке  . 2. Подготовиться к теоретическим вопросам по теме (§21,учебник) Ход занятия I. Организационный момент (Объявление темы, постановка цели и задач урока).  Слайды 1­3  У ч и т е л ь: На предыдущих уроках мы рассмотрели различные примеры нахождения площадей плоских фигур с помощью интеграла. Сегодня мы обобщим и закрепим  рассмотренные способы и задачи более высокого уровня сложности. Так как основной задачей урока является именно вычисление площади фигуры, а не построение графиков функций, то  большинство задач решаются по готовым чертежам. II.  Опрос (Повторение основных теоретических знаний) Слайд 4  У ч и т е л ь : Вычисление площадей фигур основано на геометрическом смысле  интеграла. Учитель задает вопросы по теории и фиксирует ответы на слайдах презентации. Вопросы: ­В чем заключается геометрический смысл интеграла? (Интеграл от  неотрицательной непрерывной функции есть площадь соответствующей криволинейной  трапеции.) ­Какую фигуру называют криволинейной трапецией? (Фигура, ограниченная  отрезком оси абсцисс, отрезками вертикальных прямых x=a, x=b и графиком  непрерывной, неотрицательной на  функции, называется криволинейной трапецией)  ­ Как найти площадь фигуры в случае, если функция неположительная на  .  ( S = ) III. Практическое применение теоретических знаний (Слайды 5 – 7) У ч и т е л ь : Площади плоских фигур, не являющихся криволинейными трапециями,  почти никогда не удается найти, не выполнив чертежа. Это требует от вас наряду с умением  строить графики функций, отчетливо понимать соответствия между аналитическим и  графическим заданием фигуры. Задание. Задайте аналитически заштрихованную фигуру. Учитель демонстрирует рисунки фигур на слайдах презентации. Учащиеся устно  отвечают на вопросы. Учитель  фиксирует результаты на слайдах.  Вопросы: ­ Какие из заданных функций являются криволинейными трапециями? (На рисунках 1 и 6) ­ Почему фигура на рисунке 4 не является криволинейной трапецией? Как найти ее  площадь? (Функция у = cosx на промежутке   неположительная, S= ) ­ Площадь, каких фигур можно найти как разность площадей криволинейных  трапеций? (Фигуры на рисунках 2, 3, 5) ­ Площадь, какой фигуры можно найти методами элементарной математики, то есть  без помощи интеграла? ( Фигуру на рисунке 6 можно достроить до прямоугольника,  получатся две симметричные относительно точки с координатами ) ­ Вычисление площадей фигур должно проводиться рационально. Какое свойство  фигуры для этого можно использовать в примерах 1, 2, 3, 5? (Симметрию фигуры  относительно оси ординат) Задание. Вычислить площади фигур, изображенных на рисунках: I группа ­ на рис.2,  II группа ­ на рис.3, III группа ­ на рис.5. Учащиеся обдумывают решение, и представители от каждой группы выполняют  его  на  доске. Проверка результатов ответов осуществляется выводом решения на  экран.  Решение. I. II. = 2 = 2(2 =  (кв.ед.) ) =   (кв.ед.) III. = 2(2 )=   (кв.ед.) IV. Защита домашних задач  (Слайды 8 – 14)   У ч и т е л ь: Домашнее задание к этому уроку предусматривало решение задач на  вычисление площади фигуры сложной конфигурации. Для этого вы должны были  самостоятельно или с помощью подсказки учебника найти способ решения. Какие проблемы  вы обозначили по ходу решения этих задач?   Учитель помогает учащимся сформулировать проблемы, направляя  предложения учащихся по классификации заданных условий. По одному ученику от  каждой группы защищают решение домашних задач по подготовленным презентациям,  обозначая проблему.  Y.    Постановка проблемы и пути ее решения (обобщение) (Слайд 15) После прослушивания решения домашних задач, учитель совместно с учащимися  обобщает и классифицирует задачи на вычисление площадей плоских фигур с помощью  интеграла. YII.    Коррекция знаний по теме. Решение задач (Слайды 16 – 18) Каждая группа получает задание на готовых чертежах. Учащиеся работают в  группах, обсуждают решение. После этого представители групп показывают решение с  помощью интерактивной доски. ) (2  0  1 2  0   2 ) sin xdx cos x  (2  4 π │ │ 1  2 2   Задание I группы. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:  y = sin│x и │ y=│x ­ .│ π Решение. На отрезке [0; ]  х = х. S ф Задание I группы. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями  у = ­2х, у =2х+4, у = ­1/2sin xπ /2. Решение.  1 S ф 2 Задание III группы. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: у =  4х, у = 2х­х2+3. Решение. Выполним параллельный перенос фигуры вдоль оси ординат на 12.  1(2 2    21  x 2 едкв . .)  x 2  2  (  1 2   (2 ) dx )  2 (  1 2 sin 1 2 0 cos 0  1 ) ( едкв . .) S ф   2( 1  3 х  2 х  3 )12 dx  1 2  416 x ( 2 3 x 3  15 x ) 1  3  32  10 2 3 ( едкв .) . (Слайд 19)   У ч и т е л ь: Что помогло нам упростить вычисление площадей в этих задачах? Учащиеся высказывают свое мнение, называют свойства, которые они применяли при решении. YIII.    Историческая справка   (Слайды 20 – 24) У ч и т е л ь : Строгое изложение теории интеграла появилось только в 19 веке. Но  задачами на вычисление площадей занимались математики Древней Греции. Методы вычисления площадей фигур, которые создал Архимед вслед за другим  древнегреческим ученым Евдоксом Книдским, фактически предвосхитили идею  интегрирования – за 18 веков до того, как дифференциальное и интегральное исчисление  было построено Ньютоном и Лейбницем. В частности, Архимеда интересовал вопрос в каком отношении парабола у=х2 делит  площадь единичного квадрата. В нескольких словах метод Архимеда можно изложить  следующим образом. Рассмотрим сегмент параболы, отсекаемый хордой АС. Прямая,  параллельная хорде, касается параболы в точке В.   чтобы они проецировались в середины отрезков AD и  DC, получим многоугольник, по  площади более близкий к сегменту параболы. Далее на хордах можно строить новые  треугольники. В результате все более точно узнавать площадь сегмента. <   Отметив точки G и  H так,  Попробуем, вслед за Архимедом, ответить на этот вопрос, вычислив площадь  параболического треугольника через интеграл S =   | Следовательно, парабола делит квадрат в отношении 2:1. Таким образом, уже Архимед успешно находил площади фигур, несмотря на то, что в математике его времени не было понятия интеграла. Но лишь интегральное исчисление дает  общий метод решения всех подобных задач.  IX.    Подведение итогов (Слайды 25 – 26) Учитель предлагает учащимся обобщить результаты работы, демонстрирует на слайдах итоги урока.  Подводя итоги, учитель еще раз напоминает, что в ходе решения задач на  вычисление площадей фигур с помощью интеграла, они должны были показать  необходимые для этого  знания и умения: построение графиков функций, выделение  площади искомой фигуры, определение пределов интегрирования и др. Учащимся  предлагается заполнить лист самооценки. Выставляются оценки за урок. X. Домашнее задание