ЯВНЫЕ СХЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЗАДАЧАХ С БОЛЬШИМ ПАРАМЕТРОМ

ЯВНЫЕ СХЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЗАДАЧАХ С БОЛЬШИМ ПАРАМЕТРОМ

Целью этой работы – создание программы решения задачи Коши для жестких и сингулярно возмущенных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод решения основан на удвоении переменных. Эти дополнительные переменные задают для каждого уравнения свой параметр «времени», что позволяет избавится от быстрого роста правых частей в исходных уравнениях. Для представления правых частей уравнений использован явный метод Рунге-Кутта четвертого порядка. В программе было реализовано управление шагом по исходному времени. Это управление осуществляется за счет введения нескольких параметров управления вычислениями:

1. величина шага зависит от нормы правой части (эта зависимость обратно пропорциональна, при этом шаг может изменятся в пределах некоторого диапазона, т.к. сильное уменьшение шага приводит обычно к накоплению ошибок округления, а его большая величина приводит к ошибкам вычисления при высокочастотных колебаниях решений);

2. абсолютная величина изменения решений за один шаг не должна превышать определенной величины;

3. когда абсолютная величина хотя бы одного решения становится меньше наперед заданной константы шаг начинает уменьшаться пропорционально величине решения (но не может стать меньше определенного значения). Это делается для того, чтобы не только иметь возможность изучать поведение решения в окрестности нуля более точно, но и из-за того факта, что при постоянном шаге или шаге, определенном из первого описанного пункта, есть вероятность прохождения вычислительного процесса мимо нуля решения;

Программа тестировалась на специально подобранных тестовых задачах из [1], составленных для выявления рабочих характеристик программ и анализа их поведения в зависимости от свойств решаемой задачи. Рассматриваемые в [1] тесты были в разные годы применены для сертификации программ Библиотеки численного анализа НИВЦ МГУ [2] из главы “Обыкновенные дифференциальные уравнения”. Было рассмотрено двадцать тестовых задач. Положительный результат программа показала только на шестнадцати из них, неудовлетворительный результат – на задачах: быстроосциллирующей, жесткоосциллирующей и рассматриваемых на положительной полуоси (в первой: одна компонента решения и ее производная быстро растут, а другая компонента решения и ее производная быстро убывают; а у второй решение является неустойчивым по отношению к начальным данным и ошибкам округления).

Литература

1. Арушанян О.Б., Залеткин С.Ф., Калиткин Н.Н. Тесты для вычислительного

практикума по обыкновенным дифференциальным уравнениям //

Вычислительные методы и программирование. Т. 3, №1. 2002. 141-149.

2. Арушанян О.Б. Автоматизация конструирования библиотек программ. 1988.