Задачи и решения отборочного тура многопрофильной олимпиады школьников "Будущее Арктики" 2019 года по математике для уча

Представлены задачи и решения отборочного тура многопрофильной олимпиады школьников "Будущее Арктики" в 2018-2019 уч. году по математике для учащихся 5--8 классов.

ª Łº ºŁ Ł łŒ º ŁŒ	` ø	Œ ŁŒŁ¿
ŁŒ . — ł Ł	5 Œº ææ
˙ 1. ºßł ˜Ł ß Æ	Æ º ł ,	ºßłŒŁ ºŁ.
Æ Œæ… ˚ ºŁ Æ æ º Œ , æŒ º Œ	˜Ł ß Ł ºŁ	æ ßı,
ł , ÆŁ º ª ´Ł Ł. ´æ ª Æ . Œ º Œ Œ ª Æ ?	Łı ßı	Łı Ł æ 64
— ł Ł . æ Æ I. ˇ æ ºßłŒŁ	ºŁ x Æ . ª	˜Ł ß
(x + 2) Æ , ˚ ºŁ x + x + 2 = 2x + 2,	´Ł Ł 2 · (2x + 2) = 4x + 4.
¨ æ , æ ª Łı 64 Æ . æ Ł	Ł .

x + 2 + x + 2x + 2 + 4x + 4 = 64,

8x + 8 = 64,

8x = 56, x = 7.

ŒŁ Æ , ˜Ł ß 7+2 = 9 Æ , ºŁ 7, ˚ ºŁ 2·7+2 =

16, ´Ł Ł 4 · 7 + 4 = 32.

æ Æ II. ´Ł Ł Æ Æ º ł , ˚ ºŁ. ˙ Ł ,

B = K + K = K + + ˜.

ˇ æº æ æ ºŁ , Œ Œ Œ ˚ ºŁ Æ æ	º Œ , æŒ º Œ
ºŁ Ł ˜Ł ß. ŒŁ Æ , ´Ł Ł º Ł æ ı Æ	, . . 32.	˚ ºŁ
ł 16. ˙ Ł , ºŁ Ł ˜Ł ß æ Ø Ł, ºŁ 7 Æ , ˜Ł ß 9.	16. ˛ æ	º ªŒ
˛ . ˜Ł ß 9, ºŁ 7, ˚ ºŁ 16, ´Ł Ł	32.
˙ 2. ˝ æŒ º Œ æ 1 + 3 + 5 + ... + 99 2 + 4 + 6 + ... + 100?	ł ,	æ
— ł Ł . ˙ Ł , Œ æ æ æ Ł Ł 50 æº ª		ßı. ˇ Ł
Œ æº ª Ø æ æ æ æº ª		Ø

æ , Œ 1 Æ º ł . . .

2 − 1 = 4 − 3 = 6 − 5 = ... = 100 − 99 = 1.

˙ Ł , æ 50 ł , .

˛ . 50.

˙ 3. ¸ ŁŒ Łæ º Œ ı Łæº , ł º æ ª Ł Ł Łæ º º , º ł ł º æ Ł æº ª Łæº Ł Łæ º º . ´æ Ł Ł Łæº Łæ Œ: . (˛ Ł Œ ß Łª ß æ æ Ł Œ ß Ł .)

´ ææ Ł Łæ , Œ æ º º ¸ ŁŒ.
— ł Ł . Œ Œ Œ æ Ł Łæº # , # = 0. Ł ı ª Łæº △△ #. ˝ 27. ˙ Ł , = 1 ŁºŁ = 2. ¯æºŁ = 1, △ + 1 + △ = 10. — ł ŁØ . ¯æºŁ = 2, △ + 2 + △ = 20. ˛ æ △ = 9. ŒŁ Æ , ¸ ŁŒ æ º º æº ø Łæ : 929, 20, 2. ˛ . 929, 20, 2.	æı	Ł
˙ Ł . º Œ ßØ Œ æ æ Ł	Æ º	5
Æ ºº . ´ º ł ŁŁ º Æß Æ æ , ªŁı ł	ŁØ	.
˙ 4. ˚ łŒ æ Æßº Œ Ł Ł ß 15 Œ		.

æ Œ Łº 8 Œ Ł ßº 9 Œ . ˇ æº ª ß æ Łº æ ,

5 Œ Œ º ß, ß ß. Œ º Œ Œ Œ º ß Ł ß ß?

— ł Ł . æº Ł Ł Ł ł Ł Æ Ł Ł ÆºŁ ß.

	Œ	º	ß	Œ	º	ß	æ ª
ß ß
ß ß
æ ª

¨æı Ł æº Ł , ß º Ł æº øŁ Œº ŒŁ.

	Œ	º	ß	Œ	º	ß	æ ª
ß ß							9
ß ß		5
æ ª		8					15

¨ æº ª æ ºÆ Ł , ß æ ª 15−9 = 6 Œ . Ł æ ŒŁ ß ß¿ Ø , Œ º Ł ß 6−5 = 1 Œ … Œ.

	Œ	º	ß	Œ	º	ß	æ ª
ß ß							9
ß ß		5		1			6
æ ª		8					15

˙ Ł , ł Ł Ł Ł Æ ÆºŁ ß.

˛ . 1 Œ … Œ.

ª Łº ºŁ Ł łŒ º ŁŒ ` ø Œ ŁŒŁ¿

ŁŒ . — ł Ł 6 Œº ææ

˙ 1. ˚ ºŁ æ øŁıæ V VI Œº ææ Ø Ł łŒ º ß æ ı ß Łæº . ¯æºŁ Ø Ł Ł Ł Ł ª Łæº ,

Ł Ł Ł º ª Łæº , æ Ł Ł Łæº Łæ

Œ: ^△##; △; . (˛ Ł Œ ß Łª ß æ æ Ł Œ ß Ł -

.) Œ º Œ łŒ º øŁıæ V VI Œº ææ ?

— ł Ł . ˇ Ł Ł Ł Łæº △ . º º ,

△ = 1. ²

ˇ Ł Ł Ł Łæº 1## 1 · # · # = # , Ł 1.

, æºŁ º Œ = 6, # = 4. ŒŁ Æ , V VI Œº ææ ı æ 144 łŒ º ŁŒ .

˛ . 144 łŒ º ŁŒ .

˙	2.	Œ ´ º Ł Æœ Łº, Æ ª æ æŒ æ	50
/ Ł . ¯		ŁºŁ, Ł Łº : æ º ´ º Ł æ…	-
º Ł	º,	60 æ Ł , Ł 100 æ Œ .	Œ Œ Ø
æŒ æ	(	º ßı¿ / Ł ) Æ ª Œ ´ º Ł ?
— ł	Ł .	Œ ´ º Ł æŒ º, Æ ª 50	1 Ł-
. ˝	Œ Œ Œ	æ Ł º, 1 60 æ Ł , 1 Ł	100
æ Œ ,	æ	º 100 æ Œ Æ ª 50·60 = 3000 æ . ˙	Ł ,
1 æ Œ	æ	º 3000 : 100 = 30 æ , Ł

30æ · 60 = 1800æ = 18.

ŒŁ Æ , ª æŒ æ æ æ º 18 / Ł .

˛ . 18 / Ł .

˙ 3. ˝ ØŒ ı º æº Ł Œ º Œ º Łæº . ˝ ÆŁ

Łæº , æº Ø º Œ ºŁł ŁØ º . ˇ æ 2331 ª º Łº æ 7641. ˚ ŒŁ Łæº ı º æº Ł ˝ ØŒ ?

— ł Ł . ˚ ª ˝ ØŒ Ł Łæ º Łæº ºŁł ŁØ 0, ºŁ Łº æ

10	. ˇ º	æ Œ º æ Æ º ł	Ł Ø
Łæº ,		. ˙ Ł , Łæº	(7641−2331) : 9 =
= 590,	Łæº	2331 − 590 = 1741.
˛	. 1741 Ł 590.

˙ 4. ˚ Œ Ł æ 1 + 3 + 5 + ... + 2019 Ł 2 + 4 + 6 + ... + 2018 Æ º ł Ł æŒ º Œ ?

— ł Ł . æ Æ I. ˛ 1 2019 Łæº ßı Łæ º 1 Æ º ł , Łæº ßı. ˙ Ł , æ æ æ Ł Ł 1010 æº ª ßı,

Ł 1009. — ææ Ł æ Ø Ł Ø æ ß. ¯ Łæ

1009 æ Ø

1009 æº ª ßı

ŒŁ Æ , æ Æ º ł Ø 1010.

æ Æ II. ºŁ Ł æ 1010, ŁÆ Ł Œ Œ æº ª -

1. ª æ Ł Ł

2 + 4 + 6 + ... + 2018 + 2020.

˛ Ł , º æ ºŁ æ Ø æº ª 2020.

˙ Ł , º æ Æßº Æ º ł Ø 2020 − 1010 = 1010.

	ª Łº		ºŁ Ł łŒ º ŁŒ ` ø ŁŒ . — ł Ł 7 Œº ææ	Œ ŁŒŁ¿
	˙ 1. —		Œ ª º ŁŒ Œ,	Æß º ø
	ª Ł Łı	ª º	ŁŒ º æ æ º ø Ø æ	łŁıæ .
	— ł Ł . ˇ		º Æ Ł ª º (æ . Łæ),	Ł
Ł	º ßı	ª º	ŁŒ Ł º ß Æ 4	ª º ŁŒ . ˇ Ł
Œ	æ æ Æ	Ł	º ø ª Ł ª º ŁŒ	æ º -
ø	Ø ß ı æ	łŁıæ .

˙ 2. Œ ´ º Ł Æœ Łº, Æ ª æ æŒ æ

50 / Ł . ¯ ŁºŁ, Ł Łº : æ º ´ º Ł æ… º Ł º, 60 æ Ł , Ł 100 æ Œ . Œ Œ Ø

æŒ æ ( º ßı¿ / Ł ) Æ ª Œ ´ º Ł ?

— ł Ł . Œ ´ º Ł æŒ º, Æ ª 50 1 Ł-

. ˝ Œ Œ Œ æ Ł º, 1 60 æ Ł , 1 Ł 100 æ Œ , æ º 100 æ Œ Æ ª 50·60 = 3000 æ . ˙ Ł ,

1 æ Œ æ º 3000 : 100 = 30 æ , Ł

30æ · 60 = 1800æ = 18.

ŒŁ Æ , ª æŒ æ æ æ º 18 / Ł .

˛ . 18 / Ł .

˙ 3. Œ º Œ æ ø æ æ æ Æ æ Ł Æ Œ ß æº ´ ˝˝ ¿, Æß ŁŒ ŒŁ Ł Œ ß Æ Œ ß æ ºŁ ?

— ł Ł . — ææ Ł æ º æ æ ŒŁ Æ Œ , ˝, ˝, (

, Ł Œ ßı Ł Œ ß Æ Œ ß æ ). ˝ æ , ŒŁı æ Œ ª , Æ æ ø æ Ł ª Ł ßØ Æ .

I. Æ Œ Ł ªŁı Æ Œ : ˝˝, ˝ ˝, ˝˝ .

II. Æ Œ Ł Æ Œ ˝: ˝ ˝, ˝ ˝ .

III. Æ Œ Ł Æ Œ ß ˝: ˝˝ .

ŒŁ Æ , Ł ß Łæ ß æ ŁæŒ ß æ ŒŁ (æº ).

ˇ æ æ æ Ł Æ Œ ´ Œ, Æß ŁŒ ŒŁ Ł Œ ß Æ Œ ß æ ºŁ . ˜º ª ææ Ł æ 6 æº , º ßı ßł .

1. ´ æº ˝˝ º æ Ł Æ Œ ´ Œ ß æ æ Æ .

2. ˝ ˝. ` Œ ´ æ Ł		º Œ æ Ł . ˇ º Ł æº
˝ ´ ˝, . . Ł æ º Œ Ł Ł		.
3. ˝˝ . º øŁı æº Ł		Ł æº º Ł	º .
4. ˝ ˝. ` Œ ´ æ ˝ ˝ . ˇ º Ł 5 æº .		Ł º Æ Ł	5 Ł ŁØ:
5. ˝ ˝ . ˜º Æ Œ ß ´ æ æ 5		ßı Ł ŁØ:	˝ ˝ ,
Œ ß ø 5 º Ł º ßı æº		.
6. ´ æº ˝˝ Æ Œ ´ æ		Ł º Œ	. ˇ º Ł 1
æº .
ŒŁ Æ	, ß ææ ºŁ æ	ß æº Ł Ł	º ŁºŁ 1 +
+ 5 + 5 + 1 = 12 ˛ . 12.	ºŁ ßı æº , º	øŁı æº Ł	Ł.
˙ 4. ´ æ	º ı	Łæº . ¨ Ł ª	Łæº (Æ Łı
ŁØ)	æ æ Ł 6 ºŁ ßı ßı Łæ º, æ		Œ ßı
Æ º ł Łæı	ª Łæº . ˚ Œ Łæº º ´ æ ?
— ł Ł . ˛Æ	Ł abc Łæº , Œ º ´ æ . ˝ Ł ,
Œ Ø ŁæŁ æŁ	º a Æ Łæº æ , æŁ º b Łæº æ Œ ,
æŁ º c Łæº	Ł Ł , . . abc = 100a + 10b + c.
¨ Ł ª	Łæº (Æ Łı ŁØ) æ æ Ł æº øŁ
6 ºŁ ßı	ßı Łæ º: ab = 10a + b, ac = 10a + c, ba = 10b + a,
bc = 10b + c, ca = 10c + a, cb = 10c + b. ˙ Ł , Ł 6 Łæ º ºŁ ß º Œ æº , Œ ª æ Ł Ł a, b Ł c ßı. ˇ æº Ł Ł æ º ßı Łæ º Æ º ł Łæº

ŁŒ . ˇ º Ł æ

2 · abc = ab + ac + ba + bc + ca + cb,

200a + 20b + 2c = 22a + 22b + 22c, 100a + 10b + c = 11a + 11b + 11c,

89a = 10c + b.

ŒŁ Æ , 89·a = cb. º æ æ Ł

Łæº . ˙ Ł , a = 1. ª cb = 89, Œ c = 8, b = 9. ¨ Œ, ´ æ º

Łæº 198.

˛ . 198.

ª Łº	ºŁ Ł łŒ º ŁŒ ` ø Œ ŁŒŁ¿ ŁŒ . — ł Ł 8 Œº ææ
˙ 1. ´ßı	łŒ º , ´ æŁºŁØ º æ æ Æ Ø 20 Œ . ´ -
łŁæ , Łº,	ª łŒ º æœ º º Æ º ł
Œ , łŒ º ,	ª Ø º ł ,
łŒ º . Œ º Œ Œ .	æ º æ ´ æŁºŁ ? ˝ Æ Æ æ æ Ø
— ł Ł . ¨ æº	Ł Ł æº , ª Ł łŒ ºß ´ æŁºŁØ
æœ º ł æ ª Œ	. ˇ æ , Ł Ø, æœ º x Œ . ª łŒ º

æœ º Œ , ª łŒ º Œ . ˛ æ æº ,

x^...4.
¯æºŁ x = 4,	ª	łŒ º ´ æŁºŁØ æœ º 9 Œ , łŒ º 6,
ª Ø 4. ˇ æº	ª	ª æ æ 20 − (9 + 6 + 4) = 1 Œ .

¯æºŁ x > 8, Œ ºŁ æ æœ ßı Œ ,

Ł		Ł	æº Ł .
ŒŁ	Æ		, ´ æŁºŁ	ªº	æ	æ	º Œ	Œ	.

˛ . 1 Œ .

˙ 2. ˜ ª º ßØ ª º ŁŒ. ¨ łŁ ß ª ªº ß Ł Ł ßæ . ˝ Ø Ł ªºß ª º ŁŒ , æºŁ Ł ºŁ ßæ ß.

— ł Ł . — ææ Ł ª º ßØ ª º ŁŒ ABC æ ß ªº C (æ . Łæ.). ´ ª º ŁŒ CH ßæ , CM Ł .

1. ª º ŁŒ CHM ª º ßØ, Ł . º º , ∠CMH = 30^◦.

2. ¨ æ , ª º ª º ŁŒ Ł Ł łŁ ß ª ªº º Ł ªŁ ß. ˙ Ł , CM = BM Ł ª º ŁŒ CBM Æ ßØ æ æ Ł BC.

3. ´ Æ ª º ŁŒ CBM Ł æ , ª º ∠CMB =

= 30^◦. ª .

4. .

˙	3. ˝ Ø Ł æ Ł x, y, z, º øŁ (x − y + z)²= x²− y²+ z².			æ
— ł	Ł . æ Æ I. ˇ æ æº ª z²Ł Ø æ Ł			º	Ł
Ł Ł	Æ Łı æ ı º æ Ł Œ . ˇ º Ł
		(x − y + z)²− z²= x²− y², (x − y + z − z)(x − y + z + z) = (x − y)(x + y),
		(x − y)(x − y + 2z) = (x − y)(x + y).
(˙	Ł ,	æ Œ ø (x−y) æº æ	º	.) ˇ	Æ-
	æº	æº ª Œ Ł (x − y)(x − y + 2z) − (x − y)(x + y) = 0.
´ß	æ	ÆøŁØ Ł º (x − y) æŒ ÆŒŁ. ¨ (x − y)(x − y + 2z − x − y) = 0, (x − y)(2z − 2y) = 0.
˛ æ	º	, ŁºŁ x = y, ŁºŁ y = z.
˙	Ł . ˛ , Œ ßØ Łæ ßł , æ æ		.	º æ
Æß, Æß łŒ º ŁŒ Ł º, º æ			æ	x = y Ł

y = z, ºŁ ß Æ ß Œ Łæ º (x, y, z), Œ ßı ŁºŁ x = y, ŁºŁ y = z.

` º æ ª Łæ Œ:

 x = a,  x = a,

y = a, Ł y = b, z = b, ª a ∈ R, b ∈ R, z = b, ª a ∈ R, b ∈ R.

˛ łŒ º ŁŒ 8 Œº ææ , Œ , Æ æ .

æ Æ II. ´ º Ø æ Ł Łæı ª æ Ł Ł Ł æ º (a + b + c)²= a²+ b²+ c²+ 2ab + 2bc + 2ac, º Ł a = x, b = −y, c = z, ŁºŁ ß æ Ł , æ æ æŒ ß æŒ ÆŒŁ ß ŁŁ

(x − y + z)(x − y + z).

ˇ º Ł

x²+ y²+ z²− 2xy − 2yz + 2xz = x²− y²+ z².

ˇ æ æ æº ª ß º æ . ª

2y²− 2xy − 2yz + 2xz = 0,

y²− xy − yz + xz = 0, y(y − x) − z(y − x) = 0,

(y − x)(y − z) = 0.

˛ æ º ŁºŁ y = x, ŁºŁ y = z.

˙ Ł ø , Ł y²− (x + z)y + xz = 0 łŁ Œ Œ

Œ ŁæŒ Ł Ł ŁºŁ Ł Ł ´Ł .

˛ . x = y ŁºŁ y = z. (` º æ ª : ØŒŁ Łæ º (x, y, z), Œ ßı

ŁºŁ x = y, ŁºŁ y = z.)

˙ 4. ˝ ł ı Ø æŒ 7 × 7 æ Ł Ø Œ ºŁ æ æ ı Œ , ª Ł ß Œ ßı ı ª Ł Œº Œ.

— ł Ł . ˚ 1 × 1, Ł , 7 · 7 = 49.

˝ Ø Łæº Œ 2×2. — ææ Ł Œ 2×2. ˇ ª Ł ºŁ

Ł ŁŒ ºŁ ª Ł æ 6 Ł æ º Ł . ¨ ª º Ł

6 · 6 = 36 Œ 2 × 2.

º ªŁ , Œ 3×3 æ 5 Ł æ º Ł ª Ł ºŁ Ł 5 Ł ŁŒ ºŁ. ´æ ª º Ł 5 · 5 = 25 Œ 3 × 3. ˚ 4 × 4 16, 5 × 5 9, 6 × 6 4, 7 × 7 1.

˛Æø Łæº Œ 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 = 140.

˛ . 140 Œ .

Задачи и решения отборочного тура многопрофильной олимпиады школьников "Будущее Арктики" 2019 года по математике для учащихся 5-8 классов

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20.01.2020