Задачи и решения отборочного тура многопрофильной олимпиады школьников "Будущее Арктики" 2019 года по математике для учащихся 5-8 классов
Оценка 4.8

Задачи и решения отборочного тура многопрофильной олимпиады школьников "Будущее Арктики" 2019 года по математике для учащихся 5-8 классов

Оценка 4.8
Занимательные материалы +1
pdf
математика
5 кл—11 кл
20.01.2020
Задачи и решения отборочного тура многопрофильной олимпиады школьников "Будущее Арктики" 2019 года по математике для учащихся 5-8 классов
Представлены задачи и решения отборочного тура многопрофильной олимпиады школьников "Будущее Арктики" в 2018-2019 уч. году по математике для учащихся 5--8 классов.
Решения Будущее Арктики 2019. Математика 5-8 классы. отборочный этап.pdf

                        ª              Łº              ºŁ      Ł          łŒ º       ŁŒ

           `          ø

Œ ŁŒŁ¿

                                                                                 ŁŒ . — ł      Ł

5 Œº ææ

 

            ˙                1.              ºßł        ˜Ł ß                           Æ

Æ º ł ,

ºßłŒŁ           ºŁ.

    Æ Œæ…       ˚ ºŁ        Æ     æ    º Œ         , æŒ º Œ

˜Ł ß Ł                ºŁ

æ                   ßı,

ł , ÆŁ º ª ´Ł Ł. ´æ ª Æ . Œ º Œ Œ ª Æ ?

           Łı                      ßı

Łı         Ł æ   64

             — ł             Ł . æ Æ I. ˇ æ                             ºßłŒŁ

ºŁ x           Æ    .        ª

˜Ł ß

(x + 2)       Æ ,        ˚ ºŁ            x + x + 2 = 2x + 2,

´Ł Ł                 2 · (2x + 2) = 4x + 4.

¨       æ      ,            æ ª           Łı 64       Æ .      æ      Ł

Ł .

x + 2 + x + 2x + 2 + 4x + 4 = 64,

8x + 8 = 64,

8x = 56, x = 7.

                 ŒŁ     Æ           ,       ˜Ł ß          7+2 = 9      Æ    ,          ºŁ       7,       ˚ ºŁ           2·7+2 =

16,           ´Ł Ł         4 · 7 + 4 = 32.

                æ Æ II.            ´Ł Ł       Æ                               Æ º ł ,                    ˚ ºŁ. ˙           Ł ,

                                                                             B = K + K = K +             + ˜.

ˇ 溠                        æ       æ              ºŁ     ,    Œ Œ Œ     ˚ ºŁ       Æ       æ

º Œ          , æŒ º Œ

                ºŁ Ł ˜Ł ß.         ŒŁ     Æ            ,       ´Ł Ł        º     Ł         æ ı         Æ

, . . 32.

˚ ºŁ

ł      16. ˙    Ł ,       ºŁ Ł ˜Ł ß       æ Ø Ł,       ºŁ 7    Æ        ,           ˜Ł ß    9.

16. ˛ æ

º ªŒ

            ˛           .         ˜Ł ß        9,           ºŁ       7,        ˚ ºŁ         16,             ´Ł Ł

32.

 

            ˙                 2. ˝     æŒ º Œ  æ                1 + 3 + 5 + ... + 99

2 + 4 + 6 + ... + 100?

ł ,

æ

             — ł          Ł . ˙              Ł ,            Œ              æ           æ æ    Ł     Ł     50 æº ª

ßı. ˇ Ł

              Œ                 æº ª                              Ø æ          æ            æ           æº ª

Ø

æ        , Œ                       1 Æ º ł .        . .

2 − 1 = 4 − 3 = 6 − 5 = ... = 100 − 99 = 1.

˙          Ł ,                 æ                  50             ł ,                           .

            ˛           . 50.

˙ 3. ¸ ŁŒ Łæ º Œ ı Łæº , ł º æ ª Ł Ł Łæ º º , º ł ł º æ Ł æº ª Łæº Ł Łæ º º . ´æ Ł Ł Łæº Łæ Œ: . (˛ Ł Œ ß Łª ß æ æ Ł Œ ß Ł .)

´ ææ           Ł            Łæ , Œ               æ      º º ¸         ŁŒ.

 

 

— ł           Ł .     Œ Œ Œ æ    Ł          Łæº # , # = 0. Ł       ı           ª          Łæº △△   #. ˝

27. ˙                Ł ,  = 1 ŁºŁ  = 2.

               ¯æºŁ  = 1,              △ + 1 + △ = 10. — ł        ŁØ        .

               ¯æºŁ  = 2,             △ + 2 + △ = 20. ˛ æ              △ = 9.

                 ŒŁ      Æ             , ¸       ŁŒ æ    º º 溠           ø               Łæ : 929, 20, 2.

            ˛           . 929, 20, 2.

æı

Ł

            ˙                   Ł .         º Œ                    ßØ                   Œ                 æ   æ      Ł

Æ º

5

Æ ºº      . ´       º               ł      ŁŁ       º          Æß       Æ æ             ,                  ªŁı          ł

ŁØ

.

            ˙                   4. ˚ łŒ                  æ                   Æߺ         Œ       Ł       Ł           ß       15 Œ

.

              æ       Œ       Łº    8 Œ          Ł           ߺ    9 Œ         . ˇ 溠           ª        ß æ Łº æ ,

5 Œ Œ º ß, ß ß. Œ º Œ Œ Œ º ß Ł ß ß?

             — ł        Ł .     溠   Ł                Ł Ł        ł      Ł          Æ                   Ł             Ł              ƺŁ ß.

 

Œ

º

ß

Œ

º

ß

æ ª

ß ß

 

 

 

 

 

 

 

ß ß

 

 

 

 

 

 

 

æ ª

 

 

 

 

 

 

 

            ¨æı         Ł      溠    Ł ,      ß                            º Ł       溠          øŁ Œº     ŒŁ.

 

Œ

º

ß

Œ

º

ß

æ ª

ß ß

 

 

 

 

 

 

9

ß ß

 

5

 

 

 

 

 

æ ª

 

8

 

 

 

 

15

¨ æº ª æ ºÆ Ł , ß æ ª 15−9 = 6 Œ . Ł æ ŒŁ ß ß¿ Ø , Œ º Ł ß 6−5 = 1 Œ … Œ.

 

Œ

º

ß

Œ

º

ß

æ ª

ß ß

 

 

 

 

 

 

9

ß ß

 

5

 

1

 

 

6

æ ª

 

8

 

 

 

 

15

            ˙            Ł ,                                 ł      Ł                                 Ł      Ł Æ           ƺŁ ß.

            ˛           . 1 Œ    …   Œ.


                        ª              Łº              ºŁ      Ł          łŒ º      ŁŒ         `          ø               Œ ŁŒŁ¿

                                                                                 ŁŒ . — ł      Ł               6 Œº ææ

˙ 1. ˚ ºŁ æ øŁıæ V VI Œº ææ Ø Ł łŒ º ß æ ı ß Łæº . ¯æºŁ Ø Ł Ł Ł Ł ª Łæº ,

          Ł              Ł       Ł             º               ª       Łæº ,         æ       Ł       Ł    Łæº                         Łæ

Œ: ##; △; . (˛ Ł                            Œ    ß        Łª     ß æ            æ                  Ł     Œ    ß          Ł -

           .)     Œ º Œ        łŒ º             øŁıæ     V VI Œº ææ     ?

             — ł          Ł . ˇ        Ł              Ł        Ł            Łæº                         .        º                º        ,

△ = 1.                                                                                                             2

            ˇ      Ł              Ł       Ł           Łæº     1##                  1 · # · # = # , Ł                                 1.

, æºŁ º Œ  = 6, # = 4. ŒŁ Æ , V VI Œº ææ ı æ 144 łŒ º ŁŒ .

            ˛            . 144 łŒ º      ŁŒ .

˙

2.

Œ      ´ º         Ł     Æœ    Łº,                        Æ ª       æ 挠     æ

50

/ Ł . ¯

 

ŁºŁ, Ł                  Łº        :        æ                   º ´ º          Ł     æ…

-

º Ł

º,

                    60 æ       Ł               ,              Ł           100 æ Œ       .

Œ Œ Ø

挠  æ

(

º         ßı¿        / Ł ) Æ ª                   Œ       ´ º          Ł ?

 

— ł

Ł .

Œ        ´ º         Ł   挠    º,                  Æ ª        50

1      Ł-

. ˝

Œ Œ Œ

æ Ł       º,              1               60 æ      Ł               ,         1     Ł

100

æ Œ     ,

æ

        º        100 æ Œ                     Æ ª           50·60 = 3000 æ . ˙

Ł ,

1 æ Œ

æ

                                 º         3000 : 100 = 30 æ ,                              Ł

 

30æ  · 60 = 1800æ      = 18.

                 ŒŁ      Æ             , ª   挠    æ    æ æ      º        18       / Ł .

            ˛           . 18       / Ł .

            ˙                 3. ˝           ØŒ ı       º 溠     Ł             Œ º Œ º                         Łæº . ˝ ÆŁ

Łæº , æº Ø º Œ ºŁł ŁØ º . ˇ æ 2331 ª º Łº æ 7641. ˚ ŒŁ Łæº ı º æº Ł ˝ ØŒ ?

             — ł          Ł . ˚ ª         ˝        ØŒ             Ł Łæ º Łæº ºŁł ŁØ 0,                                ºŁ Łº æ

10

. ˇ                       º

        æ             Œ         º æ Æ º ł

Ł             Ø

Łæº ,

 

. ˙              Ł ,                   Łæº

(7641−2331) : 9 =

= 590,

Łæº

2331 − 590 = 1741.

 

˛

. 1741 Ł 590.

 

 

1

˙ 4. ˚ Œ Ł æ 1 + 3 + 5 + ... + 2019 Ł 2 + 4 + 6 + ... + 2018 Æ º ł Ł æŒ º Œ ?

— ł Ł . æ Æ I. ˛ 1 2019 Łæº ßı Łæ º 1 Æ º ł , Łæº ßı. ˙ Ł , æ æ æ Ł Ł 1010 æº ª ßı,

Ł 1009. — ææ          Ł                æ                 Ø Ł             Ø æ         ß. ¯                           Łæ

Ł

1009 æ Ø

.

                                                                                                                        1009 æº ª        ßı

                 ŒŁ      Æ           ,                æ              Æ º ł                 Ø       1010.

                æ Æ II.               ºŁ Ł                      æ                  1010,      ŁÆ    Ł   Œ Œ                  æº ª -

                   1.       ª                     æ                 Ł            Ł

2 + 4 + 6 + ... + 2018 + 2020.

            ˛        Ł        ,              º                  æ                ºŁ         æ                    Ø       æº ª            2020.

˙          Ł ,              º                   æ               Æߺ Æ º ł                  Ø          2020 − 1010 = 1010.

2


 

              ª              Łº

ºŁ       Ł          łŒ º      ŁŒ         `          ø

            ŁŒ . — ł      Ł                7 Œº ææ

Œ ŁŒŁ¿

 

˙                1. —

 

Œ                                          ª º     ŁŒ          Œ,

Æß º ø

 

ª Ł              Łı

ª º

ŁŒ                   º æ æ                 º ø            Ø æ

łŁıæ .

 

— ł           Ł . ˇ

 

º Æ               Ł ª        º     (æ .    Łæ),

Ł

Ł

º                ßı

ª º

ŁŒ             Ł       º      ß      Æ                  4

ª º          ŁŒ . ˇ Ł

Œ

      æ   æ Æ

Ł

        º ø                     ª Ł              ª º     ŁŒ

         æ               º -

ø

Ø           ß           ı æ

łŁıæ .

 

            ˙                2.            Œ        ´ º         Ł      Æœ    Łº,                          Æ ª        æ  æŒ     æ

50 / Ł . ¯ ŁºŁ, Ł Łº : æ º ´ º Ł æ… º Ł º, 60 æ Ł , Ł 100 æ Œ . Œ Œ Ø

挠  æ         (                   º      ßı¿        / Ł ) Æ ª                   Œ       ´ º          Ł ?

             — ł        Ł .            Œ        ´ º         Ł   挠    º,                  Æ ª        50                        1      Ł-

. ˝ Œ Œ Œ æ Ł º, 1 60 æ Ł , 1 Ł 100 æ Œ , æ º 100 æ Œ Æ ª 50·60 = 3000 æ . ˙ Ł ,

       1 æ Œ                 æ                            º         3000 : 100 = 30 æ ,                           Ł

30æ  · 60 = 1800æ      = 18.

                 ŒŁ      Æ             , ª   挠    æ    æ æ      º        18       / Ł .

            ˛           . 18       / Ł .

˙ 3. Œ º Œ æ ø æ æ æ Æ æ Ł Æ Œ ß æº ´ ˝˝ ¿, Æß ŁŒ ŒŁ Ł Œ ß Æ Œ ß æ ºŁ ?

             — ł       Ł . — ææ          Ł    æ         º      æ           æ          ŒŁ Æ Œ        , ˝, ˝,         (

, Ł Œ ßı Ł Œ ß Æ Œ ß æ ). ˝ æ , ŒŁı æ Œ ª , Æ æ ø æ Ł ª Ł ßØ Æ .

I.                                                                        Æ Œ    Ł          ªŁı Æ Œ         :           ˝˝, ˝   ˝, ˝˝   .

II.                                                                      Æ Œ    Ł          Æ Œ   ˝:         ˝ ˝, ˝ ˝ .

III.                                                                    Æ Œ    Ł          Æ Œ ß ˝:       ˝˝ .

                 ŒŁ      Æ           ,          Ł     ß Łæ      ß æ ŁæŒ      ß             æ          ŒŁ (溠     ).

ˇ æ æ æ Ł Æ Œ ´ Œ, Æß ŁŒ ŒŁ Ł Œ ß Æ Œ ß æ ºŁ . ˜º ª ææ Ł æ 6 æº , º ßı ßł .

            1. ´ 溠                ˝˝        º          æ      Ł      Æ Œ      ´    Œ           ß    æ   æ Æ     .

            2. ˝          ˝. ` Œ         ´                      æ      Ł

º Œ           æ        Ł       . ˇ º       Ł     æº

˝ ´ ˝, . . Ł                      æ        º Œ         Ł            Ł

.

 

             3. ˝˝        .            º                   øŁı     溠   Ł

               Ł 溠          º        Ł

            º       .

           4.          ˝ ˝.       ` Œ          ´                           æ

        ˝            ˝ . ˇ º         Ł     5 溠   .

Ł                    º Æ            Ł

5                 Ł ŁØ:

                   5. ˝ ˝ . ˜º Æ Œ ß ´ æ                  æ     5

                  ßı                Ł ŁØ:

˝         ˝           ,

Œ        ß                     ø 5              º Ł      º         ßı æº

.

 

            6. ´ 溠             ˝˝      Æ Œ      ´                      æ

        Ł           º Œ

. ˇ º             Ł     1

溠     .

 

                 ŒŁ      Æ

,     ß     ææ           ºŁ    æ

                      ß æº           Ł Ł

       º        ŁºŁ 1 +

+ 5 + 5 + 1 = 12 ˛ . 12.

ºŁ          ßı 溠    ,           º

                  øŁı     溠   Ł

Ł.

            ˙                   4. ´ æ

                       º         ı

Łæº . ¨         Ł                ª

Łæº (Æ            Łı

ŁØ)

æ æ       Ł      6         ºŁ      ßı                        ßı Łæ º, æ

               Œ           ßı

Æ º ł Łæı

        ª        Łæº . ˚ Œ         Łæº                    º ´ æ ?

 

             — ł             Ł . ˛Æ

            Ł    abc       Łæº , Œ                               º ´ æ . ˝                Ł ,

          Œ Ø         ŁæŁ æŁ

º a Æ                             Łæº æ         , æŁ        º b         Łæº       æ   Œ    ,

æŁ           º c          Łæº

Ł Ł , . . abc = 100a + 10b + c.

            ¨        Ł                  ª

Łæº       (Æ      Łı                      ŁØ)                 æ æ      Ł      溠             øŁ

6         ºŁ       ßı

            ßı                Łæ º: ab = 10a + b, ac = 10a + c, ba = 10b + a,

bc = 10b + c, ca = 10c + a, cb = 10c + b.

            ˙            Ł ,                  Ł 6     Łæ º          ºŁ      ß       º Œ                  溠        , Œ ª      æ       Ł

Ł a, b Ł c ßı.

            ˇ       溠   Ł                 Ł æ                  º             ßı      Łæ º                             Æ º ł          Łæº

            ŁŒ      . ˇ º       Ł                æ

2 · abc = ab + ac + ba + bc + ca + cb,

200a + 20b + 2c = 22a + 22b + 22c, 100a + 10b + c = 11a + 11b + 11c,

89a = 10c + b.

      ŒŁ     Æ             , 89·a = cb.                           º                              æ      æ    Ł

Łæº . ˙              Ł , a = 1.        ª      cb = 89,      Œ          c = 8, b = 9. ¨       Œ, ´ æ                   º

Łæº 198.

            ˛           . 198.


                        ª              Łº

ºŁ        Ł          łŒ º      ŁŒ          `          ø               Œ ŁŒŁ¿

              ŁŒ . — ł      Ł                8 Œº ææ

            ˙                  1. ´ßı

                         łŒ º , ´ æŁºŁØ          º æ æ Æ Ø 20 Œ            . ´      -

           łŁæ ,                      Łº,

                            ª         łŒ º           æœ º          º                            Æ º ł

Œ           ,                       łŒ º ,

                         ª              Ø                 º                                   ł ,

łŒ º .         Œ º Œ   Œ

.

æ        º æ            ´ æŁºŁ ? ˝           Æ              Æ æ               æ   Ø

             — ł         Ł . ¨           æº

Ł                Ł 溠          ,                                     ª Ł łŒ ºß ´ æŁºŁØ

æœ º           ł      æ ª Œ

. ˇ æ         , Ł                Ø,     æœ º x Œ           .      ª              łŒ º

æœ º  Œ                ,                    ª        łŒ º     Œ             . ˛ æ          溠         ,

x...4.

 

 

¯æºŁ x = 4,

ª

łŒ º ´ æŁºŁØ æœ º 9 Œ                 ,       łŒ º 6,

ª                Ø 4. ˇ æº

ª

       ª     æ            æ 20 − (9 + 6 + 4) = 1 Œ                .

             ¯æºŁ x > 8,          Œ ºŁ    æ      朠          ßı Œ               ,

Ł

 

Ł

溠     Ł .

 

 

 

 

 

 

ŒŁ

Æ

 

,       ´ æŁºŁ

ªº

æ

æ

º Œ

Œ

.

            ˛           . 1 Œ              .

˙ 2. ˜ ª º ßØ ª º ŁŒ. ¨ łŁ ß ª ªº ß Ł Ł ßæ . ˝ Ø Ł ªºß ª º ŁŒ , æºŁ Ł ºŁ ßæ ß.

— ł Ł . — ææ Ł ª º ßØ ª º ŁŒ ABC æ ß ªº C (æ . Łæ.). ´ ª º ŁŒ CH ßæ , CM Ł .

1.                       ª º ŁŒ CHM ª º ßØ, Ł . º º , CMH = 30.

2.                       ¨ æ , ª º ª º ŁŒ Ł Ł łŁ ß ª ªº º Ł ªŁ ß. ˙ Ł , CM = BM Ł ª º ŁŒ CBM Æ ßØ æ æ Ł BC.

3.                       ´           Æ        ª º       ŁŒ CBM Ł    æ        ,           ª º CMB =

= 30.       ª      .

4.                       .

˙

            3. ˝ Ø Ł          æ                 Ł      x, y, z,            º                  øŁ

(x y + z)2 = x2 y2 + z2.

æ

 

— ł

Ł . æ Æ I. ˇ                           æ      æº ª              z2 Ł                Ø         æ Ł

º

Ł

       Ł          Ł

             Æ Łı      æ     ı                º               æ Ł Œ                    . ˇ º       Ł

 

 

 

(x y + z)2 z2 = x2 y2,

(x y + z z)(x y + z + z) = (x y)(x + y),

(x y)(x y + 2z) = (x y)(x + y).

 

Ł ,

           æ Œ    ø                 (xy)       溠                      æ

º

.) ˇ

Æ-

 

æº

           æº ª              Œ Ł

(x y)(x y + 2z) − (x y)(x + y) = 0.

 

 

 

´ß

æ

ÆøŁØ             Ł         º (x y) æŒ ÆŒŁ. ¨

(x y)(x y + 2z x y) = 0,

(x y)(2z − 2y) = 0.

 

 

 

˛ æ

º

          ,              ŁºŁ x = y, ŁºŁ y = z.

 

 

˙

                Ł . ˛           , Œ         ßØ        Łæ           ßł ,          æ   æ

.

º æ

Æß,          Æß łŒ º      ŁŒ         Ł      º,                                  º        æ

æ

x = y Ł

y = z, ºŁ ß Æ ß Œ Łæ º (x, y, z), Œ ßı ŁºŁ x = y, ŁºŁ y = z.

             ` º       æ      ª                                      Łæ           Œ:

    x = a,                                 x = a,

y = a,     Ł y = b, z = b, ª a R, b R, z = b, ª a R, b R.

               ˛ łŒ º        ŁŒ 8 Œº ææ         , Œ              ,                Æ       æ .

æ Æ II. ´ º         Ø         æ Ł Łæı         ª          æ        Ł          Ł          Ł          æ º (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac,         º          Ł          a = x, b = −y, c = z, ŁºŁ ß            æ Ł     ,           æ            æ        æŒ ß æŒ ÆŒŁ    ß         ŁŁ

(x   y + z)(x y + z).

             ˇ º       Ł

x2 + y2 + z2 − 2xy − 2yz + 2xz = x2 y2 + z2.

ˇ            æ        æ æº ª        ß        º                æ    .       ª

2y2 − 2xy − 2yz + 2xz = 0,

y2 xy yz + xz = 0, y(y x) − z(y x) = 0,

(y   x)(y z) = 0.

            ˛ æ               º                  ŁºŁ y = x, ŁºŁ y = z.

            ˙           Ł        ø ,                                  Ł y2 − (x + z)y + xz = 0                             łŁ      Œ Œ

Œ                                     ŁæŒ Ł Ł             ŁºŁ                       Ł        Ł                          ´Ł        .

            ˛                . x = y ŁºŁ y = z. (` º          æ       ª :        ØŒŁ     Łæ º (x, y, z),      Œ           ßı

ŁºŁ x = y, ŁºŁ y = z.)

˙ 4. ˝ ł ı Ø æŒ 7 × 7 æ Ł Ø Œ ºŁ æ æ ı Œ , ª Ł ß Œ ßı ı ª Ł Œº Œ.

             — ł         Ł . ˚                       1 × 1,           Ł        , 7 · 7 = 49.

            ˝ Ø            Łæº Œ                   2×2. — ææ         Ł    Œ                 2×2. ˇ ª        Ł             ºŁ

Ł            ŁŒ ºŁ           ª     Ł         æ          6         Ł                  æ    º             Ł . ¨       ª         º         Ł

6 · 6 = 36 Œ                    2 × 2.

º ªŁ , Œ 3×3 æ 5 Ł æ º Ł ª Ł ºŁ Ł 5 Ł ŁŒ ºŁ. ´æ ª º Ł 5 · 5 = 25 Œ 3 × 3. ˚           4 × 4       16, 5 × 5      9, 6 × 6         4, 7 × 7 1.

            ˛Æø         Łæº Œ                                   1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 = 140.

            ˛          . 140 Œ                  .

Задачи и решения отборочного тура многопрофильной олимпиады школьников "Будущее Арктики" 2019 года по математике для учащихся 5-8 классов

Задачи и решения отборочного тура многопрофильной олимпиады школьников "Будущее Арктики" 2019 года по математике для учащихся 5-8 классов

Задачи и решения отборочного тура многопрофильной олимпиады школьников "Будущее Арктики" 2019 года по математике для учащихся 5-8 классов

Задачи и решения отборочного тура многопрофильной олимпиады школьников "Будущее Арктики" 2019 года по математике для учащихся 5-8 классов

Задачи и решения отборочного тура многопрофильной олимпиады школьников "Будущее Арктики" 2019 года по математике для учащихся 5-8 классов

Задачи и решения отборочного тура многопрофильной олимпиады школьников "Будущее Арктики" 2019 года по математике для учащихся 5-8 классов

Задачи и решения отборочного тура многопрофильной олимпиады школьников "Будущее Арктики" 2019 года по математике для учащихся 5-8 классов

Задачи и решения отборочного тура многопрофильной олимпиады школьников "Будущее Арктики" 2019 года по математике для учащихся 5-8 классов

Задачи и решения отборочного тура многопрофильной олимпиады школьников "Будущее Арктики" 2019 года по математике для учащихся 5-8 классов

Задачи и решения отборочного тура многопрофильной олимпиады школьников "Будущее Арктики" 2019 года по математике для учащихся 5-8 классов

Задачи и решения отборочного тура многопрофильной олимпиады школьников "Будущее Арктики" 2019 года по математике для учащихся 5-8 классов

Задачи и решения отборочного тура многопрофильной олимпиады школьников "Будущее Арктики" 2019 года по математике для учащихся 5-8 классов

Задачи и решения отборочного тура многопрофильной олимпиады школьников "Будущее Арктики" 2019 года по математике для учащихся 5-8 классов

Задачи и решения отборочного тура многопрофильной олимпиады школьников "Будущее Арктики" 2019 года по математике для учащихся 5-8 классов

Задачи и решения отборочного тура многопрофильной олимпиады школьников "Будущее Арктики" 2019 года по математике для учащихся 5-8 классов

Задачи и решения отборочного тура многопрофильной олимпиады школьников "Будущее Арктики" 2019 года по математике для учащихся 5-8 классов

Задачи и решения отборочного тура многопрофильной олимпиады школьников "Будущее Арктики" 2019 года по математике для учащихся 5-8 классов

Задачи и решения отборочного тура многопрофильной олимпиады школьников "Будущее Арктики" 2019 года по математике для учащихся 5-8 классов

Задачи и решения отборочного тура многопрофильной олимпиады школьников "Будущее Арктики" 2019 года по математике для учащихся 5-8 классов

Задачи и решения отборочного тура многопрофильной олимпиады школьников "Будущее Арктики" 2019 года по математике для учащихся 5-8 классов

Задачи и решения отборочного тура многопрофильной олимпиады школьников "Будущее Арктики" 2019 года по математике для учащихся 5-8 классов

Задачи и решения отборочного тура многопрофильной олимпиады школьников "Будущее Арктики" 2019 года по математике для учащихся 5-8 классов

Задачи и решения отборочного тура многопрофильной олимпиады школьников "Будущее Арктики" 2019 года по математике для учащихся 5-8 классов

Задачи и решения отборочного тура многопрофильной олимпиады школьников "Будущее Арктики" 2019 года по математике для учащихся 5-8 классов

Задачи и решения отборочного тура многопрофильной олимпиады школьников "Будущее Арктики" 2019 года по математике для учащихся 5-8 классов

Задачи и решения отборочного тура многопрофильной олимпиады школьников "Будущее Арктики" 2019 года по математике для учащихся 5-8 классов