Задачи и решения заключительного тура многопрофильной олимпиады школьников "Будущее Арктики" 2019 года по математике для учащихся 5-8 классов
Оценка 4.7

Задачи и решения заключительного тура многопрофильной олимпиады школьников "Будущее Арктики" 2019 года по математике для учащихся 5-8 классов

Оценка 4.7
Занимательные материалы +1
pdf
математика
5 кл—11 кл
20.01.2020
Задачи и решения заключительного тура многопрофильной олимпиады школьников "Будущее Арктики" 2019 года по математике для учащихся 5-8 классов
Представлены задачи и решения заключительного тура многопрофильной олимпиады школьников "Будущее Арктики" 2019 г по математике для школьников 5-8 классов
Будущее Арктики Математика 5--8 Финал 2019 Задачи и решения.pdf

 

ª

Łº

ºŁ         Ł          łŒ º      ŁŒ         `          ø               Œ ŁŒŁ¿

               ŁŒ . — ł      Ł                5 Œº ææ

 

˙

 

1. ´ æ

Łæ º          ŁÆ º ł       æ     Ł                     Łæº ,       ˇ

Ł-

ł

æ

Ł

Łæº ,    æ      Ł      ß Œ          ßı          ºŁ        ß. ˝ Ø Ł        æ

 

Łæ º,           Łæ          ßı ´ æ Ø Ł ˇ          Ø.

             — ł         Ł . 9876543 Ł 1023456                ŁÆ º ł        Ł       Ł            ł      æ    Ł               ß

Łæº , æ          Ł      ß Œ          ßı          ºŁ      ß.      ŒŁ     Æ            ,        Æı     Ł            Ø Ł æ     -

9876543 + 1023456. ˛ ˛  . 10899999.

10899999.

 

            ˙                 2. ˜     Œ

æŁº                 ` ÆŒŁ, ` ÆŒ

                   æŁº            ´       ŒŁ,

´         Œ                     æŁº

ŒŁ, ˘       Œ                    æŁº

                 ˚ łŒŁ, ˚ łŒ             ł -

æ         æŁº                ßłŒŁ. `

ßłŒŁ     æ    æ    º         ß —

Œ       ß      øŁ                  ª    ,

æ        Ø      ª     .     Œ º Œ

            ßł Œ,          Æß        Ł æ

Ł ß            øŁºŁ —     Œ ?

— ł Ł . Œ Œ Œ ˚ łŒ ł æ æŁº ßłŒŁ, Ł ł æ ßłŒ Ł, . . Łæ , ˚ = 6.

˘  Œ        æŁº    ˚ łŒŁ, 溠    º          , ˘        . º ªŁ   , ´ = 4˘ = 4 · 30      = 120, ` = 3´ ˜ = 2` = 2 · 360    = 720.

            ˇ       溠   Ł                  Ł ˜       Œ , ` ÆŒ , ´           Œ , ˘                  Œ Ł ˚ łŒ —

Œ

ß     -

øŁ                    ª      . ˙          Ł , 720 + 360 + 120 + 30 + 6 = 1236               ßł Œ

           Æß ß       øŁ      —   Œ ,     1237          æ     ª         … ß      øŁ     .

            ˛           . 1237.

ı

Ł ,

            ˙                3. ´ Œ                 7×7 Œº      Œ    Œ   æ          Œ         ß Œº        ŒŁ

Œ,

Æß

Œ             Ø æ      Œ   Ł      Œ               æ   ºÆ        Œ      º æ                          3       Œ

Œº   ŒŁ.

ł

ßı

             — ł          Ł . ˇ Ł                          Ł                       ßı        ł      ŁØ (æ .    Łæ. 5.3).

—Łæ. 5.3

            ˙                 4. ¨            Œ             A Œ F                                    ºŁ     Ø                  ª

ºŁ     Ø

35 Œ . ˛æ            ŒŁ         Æ æ       æ    º           ß                 Œ ı B, C, D, E. ¨             æ

,

AC = 12 Œ , BD = 11 Œ , CE = 12 Œ , DF = 16 Œ . ˝ Ø Ł                                 ææ

AB, BC, CD, DE, EF.

             — ł         Ł . ˛             Ł               ß                Ł                           (æ .    Łæ. 5.4).

Ł :

—Łæ. 5.4

            ˇ                          Ł        ,         :

AB = AF BF = AF − (BD + DF) = 35 − (11 + 16) = 8 (Œ );

BC = AC AB = 12 − 8 = 4 (Œ );

CD = BD BC = 11 − 4 = 7 (Œ );

DE = CE CD = 12 − 7 = 5 (Œ );

 Œ , DE = 5 Œ , EF = 11 Œ .

            ˙                 5. ˚ Œ                     ºŁ

Ł 8                                     º łŁ           , æºŁ

º

æ           ø Ø,                           łŁ         Ł

                      ł         ßı       æ ı Æ      ªŁ     ?

 

             — ł        Ł . —          ºŁ           æ

                                       Ł Œ    ŒŁ        3, 3 Ł 2

ß.

´  æŁ      Œ        ŒŁ      Ł .

ß (

łŁ              Ł ). ´

æº -

               º        Ø 1. ¯æºŁ

             łŁ         ŁŁ

æß      ı         æ

æŁŁ,

 

           º łŁ                                 ı        Ł æ

Œ       Œ æ

       æ        łŁ Łæ

Ł. ´

-

ß łŁ Ł æ Ł º łŁ .

æ         Łı                ı

               . ˝ Ø            Æ º

º

,

               º        Ø 2. ¯æºŁ       Ł

                 łŁ            ŁŁ

             Ł Œ                    æŁº

ª

,

                   º łŁ                               Æ º

º Ø. ´

                            łŁ        ŁŁ æ

Ł

æ

º Æßı             ı                 Ł           Ø Œ

Ł. ¯æºŁ            æß

                         æŁŁ,                º łŁ

 

                       æ       ł     æ                     , Ł

Æ º

º         .

 

            ˙                  6. ´ ª               27

Ø. ˝ŁŒ ŒŁ

                      ŒŁ                        æ          Ł

-

Œ   ß     Œ ºŁ    æ                º       ŁŒ

. ˚ Œ              ŁÆ º ł        Œ ºŁ    æ                    Œ

 

Æß         ª            ?

— ł

Ł . ˇ æ

ª

n

Œ. ˇ            æº

Ł

Ł

º        ŁŒ

º          Æß

Œ Œ

 

ł . ˇ

Œ

 

Ł

Ł æ        -

Ł       º          ŁŒ      . ´        Œ        Ł          º Œ æ            Ł          º          ŁŒ      , æ      Ł .        . ˇ æº n-            Œ        Ł æ n−1        º          ŁŒ      . ´ æº ª          n Œ Ł n − 1 º          ŁŒ. ¨  ,           n + n − 1 = 27, Œ n = 14.         ŒŁ      Æ        ,           ŁÆ º ł Œ ºŁ   æ        Œ        14.

˙                           Ł .

 

ł          Ł

 

Æ æ

Æ º        æ

ª . ¯æºŁ

Łæº

º     ŁŒ                  ł

 

(n − 1),

 

                Ł      Ł

˜Ł Łıº

Ø       æ

-

ŒŁ, Œ          ß

 

æ              Ł

Œ

ß         Łæº

º       ŁŒ        .

ŒŁ            Æ

,

Ł            ł          Łæº

º

ŁŒ

 

(n − 1).

 

 

 

˛                . 14

Œ.

 

 

 

 

 

 


 

                        ª              Łº              ºŁ      Ł          łŒ º      ŁŒ         `          ø               Œ ŁŒŁ¿

                                                                                 ŁŒ . — ł      Ł               6 Œº ææ

˙ 1. ˝ ŁłŁ Ł ł º Łæº , º ø æ Æ æ Œ 5, ŁæŁ Œ ª Łæ º ß æ Ł ß.

             — ł        Ł .      Œ Œ Œ  Łæº        ºŁ æ          5,                    Œ       Ł        æ           0 ŁºŁ 5.

           ¯æºŁ        溠                 Ł           ŁæŒ      ª        Łæº                     0,                        Łæº

1234567890.

           ¯æºŁ      溠               Ł          5,      ŁæŒ            Łæº        1023467895.

            ˛        Ł        ,                                  Łæº                 ł ,                              .        ŒŁ        Æ            ,

102346789 Ł ł º Łæº , º ø æ Æ æ Œ 5, ŁæŁ Œ ª Łæ º ß æ Ł ß.

            ˛          . 1023467895.

˙ 2. Ł æº ŁŒ ºŁºŁ Œ ßØ æ ßØ æ Œ æ æ Ø 60 Ł ª º ß æ Ł Ø º ø Ł. ˇ Ł

Œ ß æº ŁŒ æ ºŁ æ æ Ł. ˚ Œ Æø ºŁ Æ , æ ª Ł æ Œ º º Ł ı æ Ø ª ª ?

             — ł          Ł . ˝            Ł                   ª º      ß          æ Ł æ                                          Œ

                                                                   æ   æ Æ     Ł (æ .     Łæ.6.2 Ł 6.2Æ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

—Łæ. 6.2

 

—Łæ. 6.2Æ

 

 

 

˝ ,          Œ Œ Œ             溠           Ł

Œ         ß                 溠     ŁŒ

æ     ºŁ æ æ

Ł,

 

 

ı      Ł         º Œ ßØ æ

æ Æ.

 

 

 

Œ

Œ Œ Œ º ø æ ª ª    ª º ŁŒ

         æ Œ                60      · 60

3600 2 : 3 = 1200 2.

= 3600 2,

º ø

 

 

` º ł              æ           ı

ª                      ª º     ŁŒ

          60    ,      ª

ª

-

ł

æ           1200 2 : 60

         = 20 .       º                     º

,              ŁŒ º

æ

 

 

            ª º     ŁŒ    æ Ł

        60     − 20        = 40.

 

 

 

       ŒŁ     Æ       , Æø

ºŁ           Æ      ,     æ

ª                Ł        æ Œ ,

 

40     + 60       = 100.

            ˛            . 100 .

            ˙                 3. ˛               º       Ł     º

Łæº

 

º

ºŁºŁ                  ª

. ˝ Ø-

Ł              æ        ,     æºŁ Ł      æ      ,

Æ º ł             ºŁ     º .

4

 

Æ º ł

          ºŁ      ª       Ł

8

             — ł         Ł . ˇ æ        x           ºŁ          º .

Œ Œ Œ

 

æ              8

Æ º ł

ºŁ       º ,

æ 8x. ˇ                                         溠   Ł

Ł

æ

4

Æ º ł

ºŁ        ª .

˙ Ł , ºŁ 8x : 4 = 2x. ºŁ º , . . æ 2.

ŒŁ    Æ

 

          ,        ºŁ

 

Æ º ł

            ¨          Ł                 ª          ł      Ł        º ªŒ

Ø Ł

 

ºŁ              Ł

ºŁ                 º . ¨

,

8x = 2,       Œ                   ºŁ       º ,             ºŁ        .

 

˛              . 2.

 

 

 

 

 

 

 

˙                   4.

Ł 20

Ł

æ

º łŁ

. ˝ Ø Ł

      …            Ł

 

łŁ             Ł

ł           ßı

æ ı Æ

ªŁ           ,

æºŁ Ł        æ

,

º ª                -

æ

ø Ø.

 

 

 

 

 

 

 

— ł                 Ł . —

ºŁ

ß

Œ

ŒŁ       9

Ł

Œ   Œ      Ł 2

 

       .              Ł

Œ     ŒŁ

9

. ¯æºŁ

æß

æŁŁ,

º łŁ

 

                    ı     Ł æ

Ø Œ

Œ Ł

ß

łŁ

Ł         ßÆ

º łŁ-

 

(Æ º          º ªŒ

). ¯æºŁ

Ł

                      łŁ         ŁŁ

           Ł   Œ

æŁº

ª , º łŁ ı Ł æ Ø Œ Œ , Œ º ª . ˜ º Æ ææ Ł º Œ Œ Œ .

          —         ºŁ     9                      3 Œ    ŒŁ        3              ß.               Ł           æ º Æßı               ı Ł

Łı. ¯æºŁ           æß                     æŁŁ,                º łŁ

Ł                                 Ø ŁºŁ             Ø, Œ               º ª      .

           æ      Ł    æ       łŁıæ             ı,

                 ŒŁ      Æ            ,   æ   ºŁæ   3               ß, Ł Œ

ßı                     ßÆ                      Æ -

º       º ªŒ       . ´       æŁ     º Æß                           ß,        æºŁ

            Ł         Łı º ª       ,

           º łŁ          ,        æºŁ Łı      ææß          ß,                    º łŁ

                  æ       ł     æ                 .

            ˙                  5. ´ ª               27          Ø. ˝ŁŒ ŒŁ

              ŒŁ                        æ      Ł     -

Œ        ß         Œ ºŁ   æ        º          ŁŒ      . ˚ Œ   ŁÆ º ł Æß            ª          ?

Œ ºŁ        æ                    Œ

             — ł          Ł . ˇ æ              ª               n                      Œ. ˇ

溠     Ł                  Ł        º        ŁŒ

º               Æß    Œ Œ                            ł . ˇ                           Œ

                                              Ł        Ł æ      -

Ł             º    ŁŒ      . ´                         Œ                                  Ł

         º Œ æ         Ł          º    ŁŒ     ,

                          æ                Ł .      . ˇ 溠              n-               Œ

               Ł æ n−1         º    ŁŒ       . ´

              溠             ª                     n Œ Ł n − 1              º     ŁŒ. ¨           ,             n + n − 1 = 27,

Πn = 14.

ŒŁ     Æ            ,         ŁÆ º ł           Œ ºŁ

æ                     Œ      14.

 

            ˙                       Ł .

                     ł      Ł                      Æ æ

Æ º        æ              ª . ¯æºŁ

Łæº

       º    ŁŒ                  ł

                   (n − 1),                      Ł      Ł

˜Ł Łıº              Ø

æ

-

         ŒŁ, Œ         ß

                    æ      Ł     Œ    ß        Łæº

º       ŁŒ    .       ŒŁ

Æ

,

Ł                 ł          Łæº

           º    ŁŒ                   (n − 1).

 

 

 

            ˛           . 14

Œ.

 

 

 

            ˙                    6. ˝

              ª         Ø     æ                              Œ

        Łº             ºŁæ Ł

æŒ

ª -

Ł         º Æ

                    Œ æ      Łº 1         Æ. ˇ Ł

Œ Œ        ß          æ

Ł Œ

º      -

ß               Œ

               º æ Æ æ º          ,          Œ

æ                   º

ßı

Œ

ø                ŁºŁ 5

Œ. ˙          º     Ł      æ  æ    Ł               ªŁ

ŒŁ

ª

Ł      ,

¨ª                Ł Æ     º 200           Œ.    Œ º Œ                   ª Æߺ

ª?

 

 

             — ł         Ł . ˇ æ        abc      ƺ Ø Æߺ         ¨ª

       Œ    ŒŁ.

 

            ˙                  Ł . ˙      Łæ   abc   Æ                           ı

          Łæº ,     Œ

, c Ł-

Ł , b          æ   Œ     Ł a æ           , . . abc = 100a + 10b + c.

Œ Œ Œ Œ

                         Œ æ      Łº 1       Æ.,        ¨ª                 º     Łº                  abc Œ. ´

æº

a æ                   Œ                               ŁºŁ 5a Œ, ab               æ   Œ

Œ

¨ª                º      Łº

                             Œ ø ab = 10a + b             Œ.      Œ Æ             , Æø

Łæº

º                   ßı

Œ

abc + ab + 5a = 200,

100a + 10b + c + 10a + b + 5a = 200,

115a + 11b + c = 200.

 

 

˛         Ł        ,

a = 1.        ª       11b + c = 85,     Œ        b = 7,      c = 8.

 

 

                 ŒŁ         Æ

           ,      ¨ª           Æߺ 178       ƺ Ø.

 

 

ˇ Ł

           ßł           ł      Ł                                  Ł       Æ                  Ł

 

ßı.

            ˙ Œ           ß 11             Œ ¨ª                        Æߺ          º     Ł      10      ƺ Ø,

Œ

ß

115          Œ      100      ƺ Ø.        Œ Œ Œ 200 = 1·115+7·11+8,          ¨ª

 

Łº

1 · 100 + 7 · 10 + 8 = 178 ƺ Ø.

                        ª              Łº              ºŁ      Ł          łŒ º      ŁŒ         `          ø               Œ ŁŒŁ¿

                                                                                 ŁŒ . — ł      Ł                7 Œº ææ

            ˙                 1. ˝                     Ø            Œ                     º     ŁŒ         …   æ     º º       Œ

Œ ºŁ    æ            Łæ         ŁØ,      溠       ª           łŁº,            Œ       ßØ æº           øŁØ

Æ              º                               Łæ              Ł Æ º ł . ˙                  º               æ

Ł .         Œ º Œ        Łæ         ŁØ         …   æ     º º                ßØ           ?

º º 161

       Łæ      -

             — ł         Ł . ˇ æ                           º     ŁŒ         …    æ     º º n        Łæ

ŁØ.

ª

ŁŒ (n+1)                        Łæ         Ł ,     æ                  (n+2), ...,          æŒ

æ

(n+6).

´æ ª                    º           æ     º º 161       Łæ         Ł .       æ      Ł

n + (n + 1) + (n + 2) + ... + (n + 6) = 161,

7n + 21 = 161, n = (161 − 21) : 7 = 20.

Ł .

 

                 ŒŁ      Æ           ,                    º     ŁŒ         …   æ     º º 20       Łæ

            ˛           . 20      Łæ         ŁØ.

ŁØ.

 

˙ 2. ºŁ æ º Ł º æŒ æ Ł 8 Œ ßØ æ Œ ºæ æ ªŁ Ł?

             — ł          Ł . ˜ ,               Ł       , Œ Œ         Łæ     Œ 7.2.

Œ

Œ,       Æß

            ˙                  3. ´ M- Æ

Ø º                                         Ø ABCDE AB = BC = CD = DE,

ABC = CDE, M                 æ

        Ł        BD. ˜ Œ        Ł     ,             AM = ME.

             — ł         Ł . ˜ Œ                ,

                ABM = △EDM (æ .         Łæ. 7.3).

               1. AB = DE (               æº

Ł ).

2.   BM = MD, .Œ. æ        Ł          BD.

3.   ABC = CDE (   溠     Ł );

                   CBD = BDC, .Œ. DCD                   Æ                 ßØ, BC = CD.         º       Ł          -

º             ß               æ          ªº      . ¨

ABD = EDB.

                 ŒŁ      Æ                 , ABM = △EDM (                      æ                  Ł     ªº                       Ł-

Ł). ¨                    æ                 ª º     ŁŒ     溠                      æ       æ            æ           ßı æ            ,

. . AM = EM.

            ˙                       Ł . ŒŁ A, C Ł E              ª                  Ł        º                        Ø             Ø.

            ˙                 4. ˇ æ          n = 99...9 (2019                 Œ).    Œ º Œ                 Œ        æ      Ł -

Ø            ŁæŁ     Łæº n2?

             — ł          Ł . ´ß         º Ł     溠          øŁ             Æ                Ł

.

                 ŒŁ     Æ            ,        æ    Ł       Ø         ŁæŁ Łæº n2 æ               Ł æ 2018             Ł

9.

            ˛           . 2018.

˙ 5. ´ ª Ł ßØ ı ¿ æ Łæ æ . ˛Œ º æ , æß 3 æ æ 2 3 Ł ß. ˛ æ 1 Ł æß

1 æŁ º æ 2, æß 4 æŁ º æ 3, æß 5 æŁ º æ 1. ¯æºŁ æº Ł Œ Ł æ ı Ł æ Ł æ

ºŁ 5, º Ł æ . ¨ æ Œ , Ł Ł Łı æ Œ ß Łº ( ) . ˚ ŒŁ Ł ?

— ł

Ł . ˇ æ                  æß     1     Œ    ß            x     Ł       ,      ª           æß     2         (x+1),

æß           3

(x+1)−3 = x−2,                æß     4          (x−2)−1 = x−3,         æß     5        (x−1)

Ł                 .

                       Œ          ŁØ æ ı       æ                          x+(x+1)+(x−2)+(x−3)+(x−1) =

5x − 5.

Œ Œ Œ (5x − 5) : 5 = x − 1,                      Œ         Ł        æ         5,            Ł      æß

Œ        ß

.

˛

.         æß     5.

˙

        6. ¯æ     1      º         , 3 æ     Æ       ßı Ł 5 Æ               ßı             º Ø. ¨       æ      ,

Ł        Łı          º łŁ          , º ª           æ        ø Ø. ˝ æ         øŁ               ºŁ Ł                ª

ºº

æ            Ł     Œ        (    Ł              ßı                   Ł    Œ       ). ˚ Œ                             łŁ-

Ł

ł                ßı       æ ı Æ      ªŁ            Ø Ł          º łŁ                       º ?

— ł

Ł . ´                                      łŁ         ŁŁ         Œ                      ł         æ           º      Ł

Ø æ

Æ           Ø Ł         Æ              ßı                ß. ´                             溠        .

º

Ø 1. ´ æß           ı         æ                         æŁŁ. ´              溠                 º łŁ                -

º                 ı

Ł æ       æ      Ł          ı    æ       łŁıæ               º Ø:       º      Ø, æ     Æ         Ø            Ł

Æ               Ø       `.

             ˇ Ł                              łŁ         ŁŁ Æ                      æ     Æ               Ł             Æ                          -

ºŁ, Œ ß Ł æ , Ł º łŁ ß . ˇ º Ł Łı ß łŁ æ Ł Æ Ł Œ Ł ºŁ Ł ` Œ, Æß Œ Ø ł Œ -

º æ Ø æ Æ Ø Ł Ø Æ Ø ºŁ. ¯æºŁ ßł ł æ º , º łŁ , æºŁ ßł ł æ `, ` º łŁ .

¯æºŁ      æß                     æŁŁ,               º łŁ                     º

º .

               º        Ø 2. ¯æºŁ                                 łŁ         ŁŁ              Ł

ł                   æŁº           ª      .

´              溠                 º łŁ                     º          ı      Ł æ æ        Ł

ı              º Ø (           æ    Æ-

Ł Æ ß ), º øŁı Æ º º ªŒ Ø Æ º ł Łæ º , Ł æ øŁ .

ł . ˛æ         º      ß               ºŁ

             ˇ Ł                             łŁ        ŁŁ æ          Ł        æ       ı Æ

ßı              º Ø. ¯æºŁ     æß

                           æŁŁ,                º łŁ       Ø       º      æ  æ     Æ

º . ¯æºŁ                  Ł           ł

                  æŁº            ª      ,                 º łŁ                 Æ

º , º              ø                    ł ,

Œ               º ª      .

                        ª              Łº              ºŁ      Ł          łŒ º     ŁŒ

             `          ø               Œ ŁŒŁ¿

                                                                                 ŁŒ . — ł      Ł

8 Œº ææ

            ˙                1.              ł Ø Æߺ         ı , Œ

Łª               ŁºŁ          Łæ ß        Æ        ª

                                                             Ø    ßÆ ºŒŁ,       ,        Ł

Œ ºŁ               ª         ß     ,       º        ŁºŁ

           …      º     æ ºŁ,                           Łłº æ               æ ºŁ

                   æ    º       . ´           ª Ø

Œ                Œ ºŁ    æ           ıŁ        Ł       º       ŁºŁ         2

                 Æ º ł æ ºŁ,                            ßØ

         ,         Ł                                   Łłº æ             æ ºŁ

         ı ,                  , Łæ     º                     º

         ª         2                        ł     æ ºŁ,                            ßØ

          . ˚ Œ              º             Æı     Ł        ª

Œ ºŁ    æ        æ ºŁ ÆߺŁ       º                     ı

                          ßØ        ?

             — ł         Ł . ˇ æ                ı           Æ     æ        º

Ł         æ ª     M ª                   æ ºŁ,

             ßØ         Æߺ         º              m ª           .      ª

ı         Œ æ ºŁ æ æ            Łº (M m)

ª            . ´                 Ø          æ ºŁ       º       ŁºŁ

                     Æ º ł , . . 2m ª,             Ł

                                  Łłº æ             æ ºŁ              ı , Łæ           º

                  º           ª        2                           ł

                                                                                M       m

æ ºŁ,                        ßØ          , . .          −       ª.         ŒŁ

2

Æ               , Ł                       æ

M m

                                                                                 2m +                    = M.

2

˛ Œ          .

º º , ßØ ı º ŁºŁ  Æı Ł ª Œ ºŁ æ æ ºŁ.

            ˛            .

˙

2. ´ æ

ª º

                   ª º        ŁŒ ABC

ß

Ł

BM

Ł ßæ

CH. ˝ Ø Ł

ºŁ

AC, æºŁ MH = 10 æ .

 

 

 

— ł

Ł . AHC

 

ª º        ßØ (æ .    Łæ. 8.2).

 

 

 

HM

Ł

,

Ł

łŁ ß

ª

ªº .

º

º

,

,       Œ            AC = 2MH = 2 · 10 = 20 (æ ).

            ˛             . AC = 20 æ .

            ˙                 3. ´

Ł Œ

ª                   ŁºŁ

Œ . —

Œ

ª

æ Ł

Œ,           Æß Ł           Łı

 

Æߺ æ æ       Ł

ßØ Œ

ª,    Œ

ª

 

Œ Æ

.

 

 

 

 

 

             — ł            Ł . ˇ æ

(æ .    Łæ. 8.3).

 

ΠM,

Œ

ª                  ı

Ł æ

ΠO

            ´ß                 Ł Œ      ª                    ª º     ŁŒ    Œ,        Æß            ª               ºº º       ß æ     -

           ß º         ºŁ              Ł

Œ                 ææ

ŁŁ               Ł              , æ                ø ª            ŒŁ O

Ł M,

ªŁ æ

             ß Œ       ºŁæ

                                       ææ        ŁŁ                  Œ O Ł M.

¯æºŁ

ß               ßØ

                ª º         ŁŒ

                         ,                                          ŒŁ O Ł M æ

æ

Ł, Ł              Œ M

 

Œ       ª .

 

º ªŁ         ß       æ

æ Æ

ß                          łŁØ Œ     ª æ                      æ      -

Ł

Œ OM, æ

øŁØ Æ

       ŒŁ Ł º         øŁØ                 Ł Æ º ł ª Œ         ª .

˙

4. ˜ æ

Ł                   Łæ

Łæº      A = 33...3 æ                Ł    999             Œ,

Łæ

Łæº          B = 66...6           999 ł æ            Œ. ¨ Œ ŒŁı      Ł       æ æ    Ł            Ł       -

Ł A · B?

             — ł        Ł .

.

            ˛            ..

            ˙                5. ¯æ     1      º

, 3 æ      Æ       ßı Ł 5 Æ

ßı

º Ø. ¨        æ      ,

                           Ł        Łı           º łŁ

, º ª            æ        ø Ø. ˝ æ

øŁ

ºŁ Ł                    ª

             ºº        æ          Ł    Œ          (

Ł               ßı                   Ł        Œ

). ˚ Œ

łŁ-

          Ł                 ł         ßı       æ ı Æ

ªŁ                Ø Ł          º łŁ

º ?

 

 

             — ł          Ł . ´

łŁ               ŁŁ         Œ

ł             æ

            º          Ł

 

           Ø æ     Æ         Ø Ł          Æ

            ßı                ß. ´

æº

.

 

               º         Ø 1. ´ æß         ı

æ                        æŁŁ. ´

æº

º łŁ

-

º ı Ł æ æ Ł ı Æ    Ø `.

æ        łŁıæ                º Ø:         º

Ø, æ

Æ         Ø

Ł

             ˇ Ł                              łŁ         ŁŁ Æ                      æ     Æ

Ł               Æ

-

ºŁ,                Œ          ß Ł       æ      ,               Ł                    º łŁ ß . ˇ º            Ł      Łı

ß

łŁ             æ     Ł      Æ    Ł    Œ    Ł               ºŁ        Ł `       Œ,        Æß       Œ          Ø       ł

Π-

º æ                        Ø æ     Æ         Ø Ł           Ø Æ               Ø             ºŁ. ¯æºŁ       ßł           ł

æ

º , º łŁ , æºŁ ßł ł æ `, ` º łŁ ¯æºŁ æß æŁŁ, º łŁ º º .

.

               º        Ø 2. ¯æºŁ                                 łŁ         ŁŁ              Ł          ł                æŁº           ª

.

´              溠                 º łŁ                     º          ı      Ł æ æ        Ł         ı            º Ø (             æ

Æ-

Ł Æ ß ), º øŁı Æ º º ªŒ Ø ł . ˛æ º ß Æ º ł Łæ º , Ł æ øŁ .

ºŁ

             ˇ Ł                             łŁ        ŁŁ æ          Ł        æ       ı Æ               ßı                º Ø. ¯æºŁ

æß

                           æŁŁ,                º łŁ       Ø       º      æ   æ

Æ

 

º . ¯æºŁ

         Ł           ł

æŁº  ª          ,           º łŁ     Æ Œ   º ª       .

 

 

º , º

ø

ł ,

            ˙                  6. ˇ               ª º         ŁŒ 3 × 100

ÆŁ

 

Ł Ł

ß     Œ

ŁŒŁ.

Œ º Œ æ ª ª º ŁŒ Æ ª ºŁ?

æ

æº

 

Ł

           Ø     Ł -

— ł Ł . ˇ Ł Ł ª ª º ŁŒ 3 × 10 (æ . Łæ. 8.6).

Ł              º

 

ßı

ª º

ŁŒ             º

 

 

—Łæ. 8.6

 

 

˙

Ł ,              æ

ŒŁ             ª º      ŁŒŁ                 ª º       ß ,

Ł

             łŁ     Ø

ª

ªº                   Æß

º Æ Ø              º      ł… ŒŁ 4×101, Œ

º

, º            øŁı

             Ł ª         ºŁ. ˇ æŒ º Œ                   ß                  ª º       ŁŒ (3 Ł 100)         Ł                 æ ß,

             Ł ª         ºŁ º                                        º         Œ       ß        Ø     Ł ª         ºŁ. ˙          Ł ,        Æø

Łæº                ª º     ŁŒ                   4 · 101 − 2 = 402.

            ˛           . 402.

Задачи и решения заключительного тура многопрофильной олимпиады школьников "Будущее Арктики" 2019 года по математике для учащихся 5-8 классов

Задачи и решения заключительного тура многопрофильной олимпиады школьников "Будущее Арктики" 2019 года по математике для учащихся 5-8 классов

Задачи и решения заключительного тура многопрофильной олимпиады школьников "Будущее Арктики" 2019 года по математике для учащихся 5-8 классов

Задачи и решения заключительного тура многопрофильной олимпиады школьников "Будущее Арктики" 2019 года по математике для учащихся 5-8 классов

Задачи и решения заключительного тура многопрофильной олимпиады школьников "Будущее Арктики" 2019 года по математике для учащихся 5-8 классов

Задачи и решения заключительного тура многопрофильной олимпиады школьников "Будущее Арктики" 2019 года по математике для учащихся 5-8 классов

Задачи и решения заключительного тура многопрофильной олимпиады школьников "Будущее Арктики" 2019 года по математике для учащихся 5-8 классов

Задачи и решения заключительного тура многопрофильной олимпиады школьников "Будущее Арктики" 2019 года по математике для учащихся 5-8 классов

Задачи и решения заключительного тура многопрофильной олимпиады школьников "Будущее Арктики" 2019 года по математике для учащихся 5-8 классов

Задачи и решения заключительного тура многопрофильной олимпиады школьников "Будущее Арктики" 2019 года по математике для учащихся 5-8 классов

Задачи и решения заключительного тура многопрофильной олимпиады школьников "Будущее Арктики" 2019 года по математике для учащихся 5-8 классов

Задачи и решения заключительного тура многопрофильной олимпиады школьников "Будущее Арктики" 2019 года по математике для учащихся 5-8 классов

Задачи и решения заключительного тура многопрофильной олимпиады школьников "Будущее Арктики" 2019 года по математике для учащихся 5-8 классов

Задачи и решения заключительного тура многопрофильной олимпиады школьников "Будущее Арктики" 2019 года по математике для учащихся 5-8 классов

Задачи и решения заключительного тура многопрофильной олимпиады школьников "Будущее Арктики" 2019 года по математике для учащихся 5-8 классов

Задачи и решения заключительного тура многопрофильной олимпиады школьников "Будущее Арктики" 2019 года по математике для учащихся 5-8 классов

Задачи и решения заключительного тура многопрофильной олимпиады школьников "Будущее Арктики" 2019 года по математике для учащихся 5-8 классов

Задачи и решения заключительного тура многопрофильной олимпиады школьников "Будущее Арктики" 2019 года по математике для учащихся 5-8 классов

Задачи и решения заключительного тура многопрофильной олимпиады школьников "Будущее Арктики" 2019 года по математике для учащихся 5-8 классов

Задачи и решения заключительного тура многопрофильной олимпиады школьников "Будущее Арктики" 2019 года по математике для учащихся 5-8 классов

Задачи и решения заключительного тура многопрофильной олимпиады школьников "Будущее Арктики" 2019 года по математике для учащихся 5-8 классов

Задачи и решения заключительного тура многопрофильной олимпиады школьников "Будущее Арктики" 2019 года по математике для учащихся 5-8 классов

Задачи и решения заключительного тура многопрофильной олимпиады школьников "Будущее Арктики" 2019 года по математике для учащихся 5-8 классов

Задачи и решения заключительного тура многопрофильной олимпиады школьников "Будущее Арктики" 2019 года по математике для учащихся 5-8 классов

Задачи и решения заключительного тура многопрофильной олимпиады школьников "Будущее Арктики" 2019 года по математике для учащихся 5-8 классов

Задачи и решения заключительного тура многопрофильной олимпиады школьников "Будущее Арктики" 2019 года по математике для учащихся 5-8 классов
Скачать файл