Задачи на построение. Геометрия 7 класс

В 1672 г. Датский математик Георг Мор, а затем в 1797 г. итальянский учёный Лоренцо Маскерони доказали независимо один от другого такое утверждение: всякая задача на построение, разрешимая с помощью циркуля и линейки, разрешима также с помощью одного только циркуля. Эти название построения носят построения Мора - Маскерони.
Швейцарский геометр Якоб Штейнер в 1883 г., а несколько раньше французский математик Ж.Понселе доказали тоже независимо друг от друга такое утверждение: любая задача на построение, разрешимая с помощью циркуля и линейки, может быть разрешена с помощью линейки, если только в плоскости чертежа задана окружность и её центр. Такие построения носят название построения Понселе -Штейнера.

1. Окружностью называется геометрическая фигура, которая
а) состоит из точек плоскости, расположенных на данном расстоянии от данной точки плоскости;
б) состоит из всех точек плоскости, расположенных на данном расстоянии от данной точки плоскости.

2. Центром окружности является
а) точка, от которой одинаково удалены некоторые точки;
б) точка, от которой одинаково удалены все точки окружности.

3. Радиусом окружности называется
а) отрезок, соединяющий любую точку окружности с центром;

б) отрезок, соединяющий любую точку окружности с центром окружности.

4. Хордой окружности называется
а) отрезок, соединяющий две любые точки окружности;

б) отрезок, соединяющий две любые точки.

Тест(продолжение)

5. Диаметром окружности называется
а) прямая, проходящая через центр окружности;

б) хорда, проходящая через центр окружности.

А

В

С

Дано: угол А.

О

D

E

Теперь докажем, что построенный угол равен данному.

Построение угла, равного данному.

Дано: угол А.

А

Построили угол О.

В

С

О

D

E

Доказать: А = О
Доказательство: рассмотрим треугольники АВС и ОDE.
АС=ОЕ, как радиусы одной окружности.
АВ=ОD, как радиусы одной окружности.
ВС=DE, как радиусы одной окружности.
АВС= ОDЕ (3 приз.) А = О

Докажем, что луч АВ – биссектриса А
П Л А Н
Дополнительное построение.
Докажем равенство
треугольников ∆ АСВ и ∆ АDB.




3. Выводы

АС=АD, как радиусы одной окружности.
СВ=DB, как радиусы одной окружности.
АВ – общая сторона.

∆АСВ = ∆ АDВ, по III признаку
равенства треугольников

Луч АВ – биссектриса

Докажем, что а РМ
АМ=МВ, как радиусы одной окружности.
АР=РВ, как радиусы одной окружности
АРВ р/б
3. РМ медиана в р/б треугольнике является также ВЫСОТОЙ.
Значит, а РМ.

Посмотрим
на расположение
циркулей.

АМ=АN=MB=BN,
как равные радиусы.

МN-общая сторона.

MВN= MAN,
по трем сторонам

Докажем, что О – середина отрезка АВ.

Треугольник АРВ р/б.
Отрезок РО является биссектрисой,
а значит, и медианой.
Тогда, точка О – середина АВ.

Докажем, что О –
середина отрезка АВ.