Задачи с практическим содержанием в процессе обучения математике

Задачи с практическим содержанием в процессе обучения математике

В повседневной жизни люди постоянно сталкиваются с решением тех или иных ситуаций. Зачастую школьникам приходится прилагать много усилий для разрешения возникших трудностей реальной жизни: они не знают с чего начать, как действовать, какое решение лучше предпринять. Для того, чтобы в реальной жизни ученики могли не бояться встретившихся на их пути проблем, необходимо разбирать такие задачи, которые будут отражать реальную действительность и которые можно с легкостью решить математическими методами.

Актуальность данной проблемы обосновывает выбор темы мастер класса «Задачи с практическим содержанием в процессе обучения математике».

Цель данной работы — описать роль и место, которые выполняют и занимают задачи с практическим содержанием в процессе обучения математике.

Задачи:

1.     Раскрыть понятие задачи с практическим содержанием.

2.     Описать методику решения задач с практическим содержанием.

3.     Охарактеризовать какую роль выполняют и какое место занимают задачи с практическим содержанием в процессе обучения математике.

4.     Описать применение практических задач в мотивации обучения математике.

Под практической задачей следует понимать задачу, в которой отражаются реальные ситуации из жизни и после решения которой ученики научаться применять математические знания на практике.

Необходимо рассмотреть разновидность задач с практическим содержанием. Задачи на движение: движение лодки, катера по реке; движение автомобиля, пешехода по дороге; движение навстречу друг другу, в противоположные стороны либо в одном направлении.

Пример «два велосипедиста одновременно выехали из пункта А в одном и том же направлении. Скорость первого на 2 км/ч больше скорость второго. Через 12 мин первый велосипедист остановился на 6 мин, чтобы устранить неисправность, и, возобновив движение, догнал второго велосипедиста на расстоянии 14 км от места своей остановки. Определите скорость велосипедистов»

Задачи на производительность: изготовление деталей или изделий токарем либо бригадой, уборка урожая комбайном, вспашка поля трактором и так далее.

Пример «двое рабочих выполняют некоторую работу. После 45 мин совместного труда первый рабочий был переведен на другую работу, а второй закончил оставшуюся часть работы за 2 ч 15 мин. За какое время мог бы выполнить всю работу каждый рабочий в отдельности, если известно, что второму на это понадобиться на 1 ч больше, чем первому?»

Задачи на смеси и сплавы, которые у большинства обучающихся вызывают затруднения, потому что для получения ответа, кроме математических вычислений, требуется применение знаний на проценты.

Пример «в сплав меди и цинка, содержащий 5 кг цинка, добавили 15 кг цинка, после чего содержание цинка в сплаве повысилось на 30%. Какова первоначальная масса сплава, если известно, что в нём меди было больше, чем цинка?»

Задачи на проценты. К ним относятся задачи о вкладах в банк, о кредитах, о прибыли либо об изменении цены на товар. Такие задачи крайне актуальны и очень полезны для обучающихся, потому что, благодаря им, ученики не только учатся работать с процентами, но и могут применить данные знания на практике самостоятельно.

Пример «первый банк даёт 5% годовых, а второй — 10%. Вкладчик часть своих денег положил в первый банк, а остальные — во второй. Через 2 года суммарное число вложенных денег увеличилось на 18,85%. Какую долю своих денег положил вкладчик в первый банк?»

Житейские задачи, в которых требуется найти, сколько понадобиться краски для забора, рулонов обоев для комнаты, досок для строительства, килограммов ягод для варенья, кирпичей для камина и так далее.

Пример: «сколько рулонов обоев необходимо приобрести для того, чтобы оклеить стены квадратной комнаты, высота которой равна 3 м, площадь пола — 9 м2, окна — 1,5 м2, двери — 1,8 м2, если одним рулоном можно оклеить 7,2 м2?»

Экономические задачи. К ним обычно относятся задачи, требующие рассчитать расходы семьи за услуги ЖКХ, рассчитать экономическую выгоду от установления счётчика на воду, рассчитать выгоду от использования энергосберегающих приборов и так далее. К сожалению, экономических задач с практическим содержанием очень мало предлагается для решения ученикам, но данный вид формирует у обучающихся, не только математические навыки, но и подготавливает их к реальной жизни, учит экономии и бережливости.

Пример «в квартире Ивана Петровича установлен двухтарифный счётчик, который позволяет учитывать расход электроэнергии по разным тарифам в дневное и ночное время. В январе расход электроэнергии в дневное время составил 200 киловатт (кВт), а в ночное — 20 кВт. По квитанции Иван Петрович заплатил 640 р. В июле расход электроэнергии в дневное время составил 20 кВт, а в ночное — 10 кВт. По квитанции Иван Петрович заплатил 380 р. Вычислите дневной и ночной тариф расходы электроэнергии (Тариф — это цена 1 киловатта электроэнергии)»

Исторические или старинные задачи. Рассмотрение таких задач на уроке повышает мотивацию учеников к обучению математике, расширяет их познавательную сферу.

Пример: «говорят, что на вопрос о том, сколько у него учеников, древнегреческий математик Пифагор ответил так: «половина моих учеников изучает математику, четверть изучает природу, седьмая часть проводит время в молчаливом размышлении, остальную часть составляют три девы». Сколько учеников было у Пифагора?»

Геометрические задачи, которые непосредственно связаны с реальной жизнью и практической деятельностью учеников.

Пример: «стаканчик для мороженого конической формы имеет глубину 12 см и диаметр верхней части 5 см. На него сверху положили две ложки мороженого в виде полушарий диаметром 5 см. Переполнит ли мороженое стаканчик, если оно растает?»

Способность самостоятельно решить задачу — главное умение для всех обучающихся. В реальной жизни люди ежедневно ставят и решают задачи, конечно, они отличаются от задач, предлагаемых школьными учебниками математики, поэтому важным является умение решать именно задачу практического содержания, которая в наименьшей степени будет отличаться от задач повседневной жизни. Умение организовать и самостоятельно решить практическую задачу присуще активным, самостоятельным, высокоинтеллектуальным ученикам.

Чтобы научиться решать задачу с практическим содержанием, необходимо уметь анализировать условие данной задачи; уметь применять полученные ранее знания на практике, т.е. понимать, когда и какие знания нужно использовать; также следует уметь абстрагироваться и находить общее решение, которое можно будет использовать при решении другой задачи; и, конечно, нужно контролировать и проверять каждое своё действие, т.е. проводить самоконтроль. Именно из этих действий складывается умение решать практическую задачу.

На уроках учитель обязательно должен объяснить школьникам, для чего они учатся решать практические задачи. Во-первых, главная цель решения таких задач — сформировать умение решать задачи, которые могут встретиться каждому в реальной жизни. Во-вторых, немаловажная цель решения практических задач состоит в том, чтобы показать ученикам важность и практическую нужность изучения математики. В-третьих, решение задач практического содержания в короткой перспективе пригодится для сдачи ГИА, а в долгой перспективе пригодится в любой профессии либо увлечении, потому что решать и ставить задачи людями приходится постоянно, чем бы они не занимались.

Особенность процесса решения задач с практическим содержанием состоит в том, что необходимо более детально анализировать текст задачи, проверить задачу на избыток и недостаток условий, выявить взаимную связь с другими разделами математики и с различными сферами деятельности, правильно составить математическую модель для решения, не упустив важных условий задачи, и, наконец, необходимо верно интерпретировать полученный результат.

Решение любой задачи как с практическим содержанием, так и нет, можно осуществить по четырём этапам. Л.В. Виноградова выделяет следующие этапы решения задачи: «1) анализ условия; 2) поиск пути решения — выдвижение гипотез — составление плана решения; 3) реализация полученного плана; 4) исследование полученного решения — «взгляд назад» … На деле эти этапы резко друг от друга не отделены».

Для рассмотрения каждого этапа решения задачи более подробно, необходимо разобрать конкретный пример. Задача: «в жилом доме всего 215 квартир. Сколько из них однокомнатных, если известно, что трёхкомнатных квартир на 10 меньше, чем двухкомнатных, и на 5 больше, чем однокомнатных?» На первом этапе проводится анализ условия задачи, где должны быть осознанны все данные, необходимо четко понимать, что дано, какие условия и что нужно найти. Для этого с учениками проводится работа по составлению списка вопросов и ответов к ним

Список вопросов и ответов к тексту задачи

По возможности все данные сводятся в единую схему, таблицу, чертеж, рисунок или краткую запить. К данной задаче можно составить краткую запись:

Однокомнатная - ?

Двухкомнатная - ?

Трёхкомнатная - ? на 10 меньше, чем 2к,    на 5 больше, чем 1к

Второй этап выполняется через введения взаимных связей между тем, что дано, и тем, что надо найти. Если напрямую этого сделать не получается, то следует переформулировать данные задачи и заново попытаться связать условия и требования. Поиск пути решения может осуществляться как от условия к заключению, так и наоборот, либо двигаться сразу с двух сторон. Применительно к данной задаче ученики, скорее всего, предложат её решить через введение новой переменной. Данный способ распространен и несложен. Для упрощения, лучше всего за x обозначить количество однокомнатных квартир, чтобы сразу получить нужный ответ. Тогда представленная таблица по тексту задачи (табл. 2) будет выглядеть следующим образом (табл. 3):

Запись условия по тексту задачи после введения переменной:

Однокомнатная - х

Двухкомнатная – х+5+10

Трёхкомнатная – х+5

Далее необходимо сложить количество однокомнатных, двухкомнатных и трёхкомнатных квартир, полученное введением переменной x, и приравнять к общему количеству квартир в доме, т.е. к 215. Поиск пути решения завершен.

На третьем этапе важно грамотно и достаточно развернуто записать решение, каждое действие должно быть обосновано и доказано. Применительно к данной задаче решение оформляется с помощью уравнения: 

x + (x+5+10) + (x+5) = 215

3x = 195

x = 65

Ответ: 65 однокомнатных квартир в жилом доме.

На четвёртом этапе проверку полученного ответа можно осуществить, подставив его в краткую запись. Можно допустить, что полученный ответ равен не 65, а, например, 30. Подставив его в таблицу 3, можно заметить, что однокомнатных квартир 30, двухкомнатных — 45, трёхкомнатных — 35, а всего 30 + 45 + 35 = 110. Дети заметят, что задача решена неверно, а, подставив полученный ранее ответ, всё получается правильно. Кроме того, на данном этапе можно предложить ученикам решить туже задачу, только за x взять количество не однокомнатных квартир, а двухкомнатных или трёхкомнатных, и сравнить получившиеся результаты.

Как было сказано ранее, результативным обучение в области математики станет тогда, когда предложенные задания будут активизировать мыслительную деятельность обучающихся, помогать овладению математическими знаниями, побуждать у учеников желание и интерес к математике, развивать способность каждого школьника и, конечно, прививать умения самостоятельно использовать приобретенные математические знания в реальной жизни. Для достижения этих целей лучше всего использовать решение задач практического содержания, а одно из главных условий достижения их — мотивация. Желаемый процесс обучения математике будет способствовать достижению наиболее лучших результатов в учёбе. Чтобы добиться такого обучения, изначально необходимо мотивировать учеников тем, что полученные новые знания будут необходимы и полезны для них в дальнейшем; показать, как математика применяется на практике и где она используется в других областях знаний.

Можно рассмотреть некоторые способы мотивации учеников с помощью практических задач.

Во-первых, если изначально рассмотреть какие-либо физические явления или технические проблемы и на основе этого сформулировать для решения практическую задачу, то обучающиеся воспримут её намного лучше и будут решать её с большим желанием, потому что они наглядно рассмотрели, из чего и как именно она возникла.

Во-вторых, для мотивации обучения математике можно использовать исторические или старинные задачи, которые создадут эмоциональный настрой в классе, вызовут интерес к новой теме, несмотря на то, что изначально она им может показаться совершенно неинтересной. Для большей стимуляции детей к обучению можно использовать задачи с необычной формулировкой, ссылаясь на древний источник.

В-третьих, перед изучением новой темы можно предложить практическую задачу, которая изначально покажется ученикам простой и ответ на которую они дадут незамедлительно.

Но полученные ответы окажутся разными, из-за чего возникнет спор. Активные дискуссии во время спора увлекут учащихся, им захочется узнать верное решение и ответ, который они смогут получить, только изучив новую тему.

В-четвертых, в начале урока учитель может предложить ученикам практическую задачу, ответом на которую будет некруглое число. Школьники подумают, что допустили где-то ошибку и получили неверный ответ, проверив все вычисления, дети придут в недоумение, которое учитель должен развить, изучив новую тему урока.

В-пятых, для мотивации обучения можно использовать практические задачи из банка заданий по ГИА, мотивировав учеников тем, что полученные навыки и умения пригодятся им для сдачи экзамена. В-шестых, для мотивации можно использовать практические задачи, которые будут проиллюстрированы с помощью компьютерной техники, способствующей творческому умению решать задачи, устойчивой мотивации получения нового знания. В дополнение, задачи с практическим содержанием можно использовать на уроке для того, чтобы показать дальнейшую перспективу применения полученных знаний в повседневной жизни.

Предлагаю решить практические задачи 5-6 класса.

Задача 1. Известно, что площадь г. Луганска равна 269,61 км кв, а площадь г. Кировска равна 34,94 км кв . Во сколько раз площадь Луганска больше площади г. Кировска? Ответ округлите до десятых.

Задача 2. Длина ямы равна 2 м, ширина 5м, а её высота равна 3 м. Сколько нужно кирпича, чтобы выложить эту яму, если в одном метре квадратном 40 кирпичей?

Задача 3. Расстояние на карте ЛНР между г. Луганск и г. Кировск равно 2 см. Найти расстояние на местности, если масштаб карты 1 : 5000000.

Задача 4. Один килограмм мяса стоит 320 рублей. Мама купила 1,5 килограмма мяса и отдала 1 тысячу рублей. Сколько рублей сдачи мама должна получить?

Задача 5. Магазин открывается в 10 часов утра, а закрывается в 10 часов вечера. Обеденный перерыв длится с 15 до 16 часов. Сколько часов в день открыт магазин?

Задача 6.  Сколько штук обрезной доски нужно для 2 кубов досок, если одна обрезная доска имеет размеры 15 см *4 см *6,5 м? Ответ округлите до целых

Более сложные задания

Задача 7: В комиссионном магазине цена товара, выставленного на продажу, уменьшается на одно и то же число % от прежней цены. Определите, на сколько % каждый месяц уменьшалась цена магнитофона, если выставленный на продажу за 4 тыс. рублей после двух снижений он был продан за 2250 рублей?

Задача 8. Семья из трех человек едет из Томмота в Якутск. Можно ехать поездом, а можно — на своей машине. Билет на поезд стоит 780 рублей на одного человека. Автомобиль расходует 9 литров бензина на 100 километров пути, расстояние по шоссе равно 700 км, а цена бензина равна 18 руб. за литр. Сколько рублей придется заплатить за наиболее дешевую поездку на троих?

Задача 9. Ма­га­зин дет­ских то­ва­ров за­ку­па­ет по­гре­муш­ку по опто­вой цене 260 руб­лей за одну штуку и продаёт с 40-про­цент­ной на­цен­кой. Сколь­ко будут сто­ить 3 такие по­гре­муш­ки, куп­лен­ные в этом ма­га­зи­не?

В качестве домашнего задания можно предложить задачу, которую школьники могут решать вместе с родителями. Примером такой задачи может служить задача «Ремонт». Обычно это бывает мини- проект.

Задача 10 «Ремонт». Семья Ивановах решила отремонтировать полы в своей квартире, было также решено, что их расходы на ремонт пола не должны превышать 50000 руб. Используя предложенные источники, произведите необходимые расчеты, сделайте вывод и дайте практические рекомендации семье Ивановых, подкрепленные математическими расчетами и содержащие объяснения, почему следует воспользоваться данной рекомендацией.

Стоимость материала

Джордж Пойа говорил: «Математический опыт учащегося нельзя считать полным, если он не имел случая решать задачу, изобретенную им самим».

Предлагаю составить самим практическую задачу.