Задачи на движение по физике.

Задачи на движение по физике.  11 класс Задача 1 Материальная   точка   движется   прямолинейно   по   закону  x(t)=t3­4t². Найти   скорость   и   ускорение   в   момент  t=5c.(Перемещение   измеряется   в метрах.) Производная от координаты по времени есть скорость, а от скорости по времени – ускорение. v(t) – скорость: a(t) – ускорение; t0=5. V(t) = x´(t) = (t³ ­ 4t²)´ = 3t² ­ 8t. V(5) = 3 ∙5² ­8 ∙5 = 75 ­40 = 35(м/c) A(t) = v´(t) = (3t² ­8t)´ = 6t – 8. a(5) = 6 ∙5 – 8 = 30 ­8 = 22(м/c). Ответ: 35 м/с; 22 м/с Задача 2 Вращение тела вокруг оси совершается по закону Ф(t) = 3t² ­4t +2. Найти угловую скорость w(t) в произвольный момент времени t и при t =4c. ( Ф(t) – угол в радианах,  w(t)­ скорость в радианах в секунду,  t­ время в секундах) Скорость есть производная от расстояния по времени. Ф(t)= 3t²­ 4t + 2. w(t)= Ф´(t)= (3t² ­ 4t +2)´ =6t – 4(рад/с);                         w(4) = 20(рад/с). Ответ: 20 рад/с Задача 3 Маховик, задерживаемый тормозом, за время t поворачивается на угол Ф(t) =4t­ 0,3 t².  Найти: а) угловую скорость w(t) вращения маховика в момент времени t = 2с; б)такой момент времени, когда маховик остановится (Ф(t)­угол радианах, t­ время в секундах) Скорость­ производная от расстояния по времени. Ф(t)=4t­0,3t². w(t)=(4t­0,3t²)´=4­0,6t 1)w(2)=4­0,6∙2=2,8(рад/с) 2)Маховик остановится, если w (t)= 0,т. е. 4­0,6t=0, t=4 с Ответ: 2,8 рад/с; 4 с Задача 4 Точка движения прямолинейно по закону X(t)=2t²+t­1. Найти ускорение в момент времени  t. В какой момент времени ускорение будет равно:  а) 1см/c²;  б)2см/с². Х(t)­ перемещение  в метрах, t­ время в секундах) Ускорение   ­   вторая   производная   от   расстояния   по   времени,   т.   е. производная от скорости по времени. x(t)=2t³+t­1;V(t)=(2t³+t­1) ´=6t²+1; а(t)=(6t²+1) ´=12t. А)а(t)=1см/с², если 12t=1,т. е.t=1/12 c Б)а(t)=2см/с², если 12t=2, т. е. t=1/6 с. Ответ: 1/12 c; 1/6 с. Задача 5 Точка движется прямолинейно по закону x(t)=­t³/6+3t²­5. (координата  в метрах, t­ время в секундах) Найти: а) момент времени t, когда ускорение точки равно нулю;   б) скорость движения точки в этот момент. Скорость ­ производная от расстояния по времени, а ускорение производная скорости по времени. x(t)=­t³/6+3t²­5; v(t)=x ´(t)=­t²/2+6t;  a(t)=v`(t)=­t+6 a) a(t)=0 при –t+6=0; t=6 с; b) v(6)=­6²/2+6∙6=­18+36= 18 (м/с). Ответ: 6 с; 18 м/с Задача 6 Точка движется прямолинейно по закону х(t)=√t.  Покажите, что ее ускорение пропорционально кубу скорости. x(t) = √t; v(t) = x`(t)= ½∙t­½;  v³(t)= (½∙t­½)³= 1/8∙t­³/² a(t) = v ´(t) = (½∙t­½) = ­¼ ∙ t­³/². Таким образом, v³(t)/a(t) = 1/8 ∙ t­³/² : (­¼ ∙ t­³/²) =1/8 : (­¼) = ­½ Вывод: ускорение пропорционально кубу скорости. Задача 7 Найдите   силу   F,   действующую   на   материальную   точку   с   массой   m, движущуюся прямолинейно по закону x(t)=2t³­t² при t=2. Ускорение – есть производная от скорости по времени.  F=m∙a x(t)=2t³­t²; v(t)=x'(t)=(2t³­t²)'=6t²­2t¸  a(t)=v'(t)=(6t²­2t)'=12t­2 F=m∙a=m(12t­2);  при t=2 F=m(12 ∙ 2­2)=22m Ответ: 22m Задача 8 Тело   массой   2   кг   движется   прямолинейно   по   закону  x(t)=t²+t+1. Координата х измеряется в сантиметрах, время t – в секундах.  Найдите:  а) действующую силу; б) кинетическую энергию Е тела через 2 с. после начала движения. x(t)=t²+t=1;  v(t)=(t²+t+1)`=2t+1  a(t)=(2t+1)´=2(c) а)F=m∙a=2 ∙ 2 (кг ∙ см/с²)= 4(кг ∙ см/с²)=0,004(кг ∙ см/с²)=0,04Н б)Е=m∙v²/2; при    t=2c ; v(2)=2 ∙ 2+1=5    E=2 ∙ 5²/2 (кг ∙см/с² )=0,0025 Дж. Ответ: 0,04 Н; 0,0025 Дж Задача 9 Известно, что для любой точки  C  стержня  АВ  длиной 20 см, отстоящей от  точки   А  на расстояние  l, масса куска стержня  АС в граммах определяется  по формуле  m(l) = 3t² + 5l. Найдите  линейную плотность стержня: а) в середине отрезка  АВ;  б) в конце  В  стержня. Линейная плотность стержня  d(l)  есть производная от массы по длине.  m(l) = 3l² + 5l;  d(l) = m´(l) = (3l² + 5l)´ = 6l + 5.    а) Линейная плотность в середине отрезка  АВ = 20 см: d(10) = 6 ∙ 10 + 5 = 65 (г/см).    б) Линейная плотность в конце  В  отрезка  АВ: d(20) = 6 ∙ 20 + 5 = 125  (г/см). Ответ: 65 г/см; 125 г/см Задача 10 По прямой движутся две материальные точки по законам  x1(t) = 4t² ­ 3  и   x2(t) = t³.  В каком промежутке времени  скорость первой точки больше скорости второй точки?    x1(t) = 4t² ­ 3, значит,  v1(t) = (4t² ­ 3)  = 8t .    x2(t) = t³,  значит v2(t) = (t³)´ = 3t².    Скорость первой точки больше скорости второй точки, поэтому:    8t > 3t² ,    3t/22 ­ 8t < 0 ,    t ∙ (3t – 8) < 0 ,    t = 0 или  t =2  .⅔                                                     0*                            *22 3                                                      t                      Ответ: при t € (0 =2 ).⅔ Задача11 Из пункта  О  по двум лучам, угол между которыми 60˚, движутся два тела:  первое – равномерно со скоростью 5км/ч, которое – по закону s(t) = 2t² + t .  С какой скоростью они удаляются друг от друга? (s измеряется в километрах, t – в секундах.) S1(t)=S(t)                   0)   600                      S(t)                                   S2(t)=S(t)    По теореме косинусов:  s²(t) = (5t)² + (2t² + t)² ­ 2 ∙ 5t ∙ (2t² + t) ∙ cos60˚  = 25t² + 4t² +4t³ + +t² ­ 10t³ ­ 5t² = 4t4 – 6t³ + 21t² ,  т.е. s(t) =t∙√4t2 ­6t + 21, где t > 0. v(t) = s´(t) =(t ∙ √4t2 ­6t + 21)´=t ∙√4t2 ­6t + 21 + t ∙ (4t ( 8t                                                                                        √4t2 ­6t + 21              1            2√4t2 ­6t + 21 8t   2   – 12t +42 + 8t         2√4t2 ­6t + 21           2√4t2 ­6t + 21  √4t2 ­6t + 21     2   – 18t + 42   8t   2   – 9t +21  2   – 6t   16t     – 6 )    2   ­6t + 21) =  4t   2  ­6t + 21  +   t ∙     при t > 0.