Задачи по геометрии

Медиана прямоугольного треугольника   Точка D— середина   1.1. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 4. Найдите радиус описанной окружности. 1.2. Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна 6 и делит прямой угол в отношении 1:2. Найдите стороны треугольника. 1.3. Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, разбивает его на два треугольника с периметрами 8 и 9. Найдите стороны треугольника. 1.4.   В   треугольнике ABC  к   стороне АС проведена   высота ВК   и   медиана MB. причем AM=ВМ. Найдите косинус угла КВМ, если АВ=1, ВС = 2. 1.5.   Окружность,   построенная   на   катете   прямоугольного   треугольника   как   на диаметре, делит гипотенузу в отношении 1:3. Найдите острые углы треугольника. 1.6. треугольника ABC. Окружность,   вписанная   в   треугольник ACD, касается   отрезка CD  в   его середине. Найдите острые углы треугольника ABC. 1.7.  В прямоугольном треугольнике ABC  из вершины прямого угла С проведены биссектриса CL и медиана СМ. Найдите площадь треугольника ABC, если LM= а, СМ=Ь. 1.8.   Вне   прямоугольного   треугольника ABC на   его   катетах АС и ВС  построены квадраты ACDE и BCFG. Продолжение медианы СМ треугольника ABC пересекает прямую DF в точке N. Найдите отрезок CN, если катеты равны 1 и 4. 1.9. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна а и образует угол а с медианой, проведённой  из той же вершины. Найдите катеты треугольника. гипотенузы АВ прямоугольного   Тренировочные задачи 1.10. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, разбивает его на два треугольника с периметрами тип. Найдите стороны треугольника. 1.11.   В  прямоугольном   треугольнике   АВС  (угол C =  90°) проведена   высота CD и медиана СЕ. Площади   треугольников ABC  и CDE равны   соответственно   10   и   3. Найдите АВ. 1.12.   В   прямоугольном   треугольнике   АВС   катеты   АВ   и   АС   равны   4   и   3 соответственно. Точка D делит гипотенузу ВС пополам. Найдите расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольники ADC и ABD. 1.13.   Катет   прямоугольного   треугольника   равен   2,   а   противолежащий   ему   угол равен   30°.   Найдите   расстояние   между   центрами   окружностей,   вписанных   в треугольники, на которые данный треугольник делится медианой, проведённой из вершины прямого угла. 1.14.   В   четырёхугольнике ABCD диагонали   АС   и BD перпендикулярны   и пересекаются   в   точке   Р.   Отрезок,   соединяющий   вершину   С   с   серединой   М отрезка AD. равен 5/4, АР = 1. Расстояние от точки Р до — 1отрезка ВС равно ½. Найдите AD, если   известно,   что   вокруг   четырёхугольника ABCD можно   описать окружность. 1.15.   Средняя   линия   трапеции   равна   5,   а   отрезок,   соединяющий   середины оснований,   равен   3.   Углы   при   большем   основании   трапеции   равны   30°  и   60°. Найдите основания и меньшую боковую сторону трапеции. Указание. Если   сумма   углов   при   основании   трапеции   равна   90°,   то   отрезок, соединяющий середины оснований, равен полуразности оснований. Прямая,       параллельная 1.16. Средняя линия трапеции равна 4, углы при одном из оснований равны 40°  и 50°. Найдите основания трапеции, если отрезок, соединяющий середины оснований, равен 1. 1.17.   Диагонали   трапеции   перпендикулярны.   Одна   из   них   равна   6.   Отрезок, соединяющий середины оснований, равен 4,5. Найдите площадь трапеции. гипотенузе АВ прямоугольного 1.18. треугольника ABC, пересекает   катет   АС   в   точке D,   а   катет   ВС   —   в   точке   Е, причём DE= 2,   a BE=   1.   На   гипотенузе   взята   такая   точка F,что BF=1. Известно также, что LFCB= а. Найдите площадь треугольника АВС. Указание. Пусть   М   —   середина DE. Тогда BEMF— ромб,   а CF—   биссектриса угла МСЕ. 1.19.   Гипотенуза АВ прямоугольного   треугольника   АВС   является   хордой окружности   радиуса   10.   Вершина   С   лежит   на   диаметре   окружности,   который параллелен гипотенузе. Угол CAB равен75 °. Найдите площадь треугольника АВС. Указание. Опустите перпендикуляр из центра окружности на хорду АВ и соедините его основание с точкой С. 1.20.   Гипотенуза КМ прямоугольного   треугольника КМР является   хордой окружности   радиуса   7.   Вершина Р находится   на   диаметре,   который   параллелен гипотенузе.   Расстояние   от   центра   окружности   до   гипотенузы   равно   3. Найдите острые углы треугольника КМР. 1.21.   В   треугольнике ABC  известно,   что АВ   =   с,   АС   = b(b>с), AD—биссектриса. Через точку D проведена прямая, перпендикулярная ADи пересекающая АС в точке Е. Найдите АЕ. Указание. Соедините точку Dс серединой отрезка АЕ. 1.22. Точка Е лежит на стороне АС равностороннего треугольникаABC; точка К — середина   отрезка АЕ. Прямая,   проходящая   через   точку   £   перпендикулярно прямой АВ, и   прямая,   проходящая   через   точку   С   перпендикулярно прямой ВС, пересекаются в точке D. Найдите углы треугольника BKD. Указание. Точки В,   С, D,   К и   точка   пересечения   прямых АВ и DEлежат   на окружности с диаметром BD, 1.23.   В   трапеции ABCD  точка К —   середина   основания АВ,   М   —  середина основания CD. Найдите   площадь   трапеции,   если   известно,   что DK— биссектриса угла D, ВМ — биссектриса угла   В, наибольший из углов при основании АВ равен 600, а периметр равен 30. 1.24.   В   треугольнике   АВС   известны   углы:   А   =   45°, В   = 15°.   На   продолжении стороны АС за точку С взята точка М, причём СМ = 2АС. Найдите угол АМВ. Указание. Пусть К — середина СМ, а О — основание перпендикуляра, опущенного из   точки   М   на   ВС.   Тогда AOK= 90°,а   О   —   центр   описанной   окружности треугольника АМВ. 1.25. В треугольнике АВС известно, что АВ = АС и угол ВАС тупой, Пусть BD— биссектриса треугольника АВС, М — основание перпендикуляра, опущенного из А на сторону ВС, Е—основание перпендикуляра, опущенного из D  на сторону ВС. Через точкуDпроведён также перпендикуляр к BDдо пересечения со стороной ВС в точке F. Известно, что ME = FC = a. Найдите площадь треугольника ЛВС. Указание. Пусть Т — середина BF. Тогда DT= DC. 1.26.   Острый   угол   при   вершине   А   ромба ABCD равен   40°.   Через   вершину   А   и середину   М   стороны CD проведена   прямая,   на   которую   опущен перпендикуляр ВН из вершины В. Найдите угол AHD. Указание. Пусть прямые AM и ВС пересекаются в точке Р. Тогда С —  середина BP и НС=ВС = CD.